KUNCI HARTA ALGEBRA: BUKTI, CONTOH - MATEMATIK - 2025

The harta kunci algebra adalah satu fenomena yang berkaitan dua unsur bagi set dengan operasi, di mana keadaan yang diperlukan ialah, selepas 2 elemen diproses di bawah operasi berkata, hasilnya juga milik set awal.

Sebagai contoh, jika kita mengambil nombor genap sebagai satu set dan jumlah sebagai operasi, kita akan mendapatkan kunci set itu berkenaan dengan jumlahnya. Ini kerana jumlah 2 nombor genap akan selalu menghasilkan nombor genap yang lain, sehingga memenuhi syarat kunci.

Sumber: unsplash.com

ciri-ciri

Terdapat banyak sifat yang menentukan ruang atau badan algebra, seperti struktur atau gelang. Walau bagaimanapun, harta kunci adalah salah satu yang terkenal dalam algebra asas.

Tidak semua aplikasi sifat ini didasarkan pada unsur berangka atau fenomena. Banyak contoh sehari-hari dapat dikendalikan dari pendekatan teori-algebra tulen.

Contohnya ialah warganegara negara yang mempunyai hubungan hukum dalam bentuk apa pun, seperti perkongsian komersial atau perkahwinan antara lain. Setelah operasi atau pengurusan ini dijalankan, mereka tetap menjadi warganegara. Dengan cara ini kewarganegaraan dan operasi pengurusan berkenaan dengan dua warganegara merupakan kunci.

Algebra berangka

Berkenaan dengan nombor, terdapat banyak aspek yang menjadi subjek kajian dalam arus matematik dan aljabar yang berbeza. Sebilangan besar aksioma dan teorema telah muncul dari kajian-kajian ini yang berfungsi sebagai asas teori untuk penyelidikan dan kerja kontemporari.

Sekiranya kita bekerja dengan set berangka kita dapat menetapkan definisi lain yang sah untuk kunci harta. Set A dikatakan sebagai kunci bagi set B yang lain jika A adalah set terkecil yang mengandungi semua set dan operasi yang dikandung oleh B.

Demonstrasi

Bukti kunci digunakan untuk elemen dan operasi yang terdapat dalam set nombor nyata R.

Biarkan A dan B menjadi dua nombor yang termasuk dalam set R, penutupan unsur-unsur ini ditentukan untuk setiap operasi yang terdapat dalam R.

Jumlah

- Jumlah: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Ini adalah cara algebra untuk mengatakan bahawa Untuk semua A dan B yang termasuk dalam nombor nyata, kita mempunyai jumlah A plus B sama dengan C, yang juga milik yang sebenarnya.

Sangat mudah untuk memeriksa sama ada cadangan ini benar; cukup untuk melakukan penjumlahan di antara sebarang nombor nyata dan mengesahkan apakah hasilnya juga milik nombor nyata.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Diperhatikan bahawa syarat kunci dipenuhi untuk nombor nyata dan jumlahnya. Dengan cara ini dapat disimpulkan: Jumlah nombor nyata adalah kunci algebra.

Pendaraban

- Pendaraban: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Untuk semua A dan B yang tergolong dalam reals, kita mempunyai pendaraban A dengan B sama dengan C, yang juga milik real.

Semasa mengesahkan dengan elemen yang sama dari contoh sebelumnya, hasil berikut diperhatikan.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Ini cukup bukti untuk menyimpulkan bahawa: Pendaraban nombor nyata adalah kunci algebra.

Definisi ini dapat diperluas ke semua operasi nombor nyata, walaupun kita akan menemui pengecualian tertentu.

Sumber: pixabay.com

Kes khas di R

Bahagian

Kes khas pertama adalah pembahagian, di mana pengecualian berikut dilihat:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Untuk semua A dan B yang tergolong dalam R, kita mempunyai bahawa A di antara B tidak termasuk dalam real jika dan hanya jika B sama dengan sifar.

Kes ini merujuk kepada sekatan untuk tidak dapat membahagi dengan sifar. Oleh kerana sifar adalah milik nombor nyata, maka ia menunjukkan bahawa: pembahagian itu bukan kunci pada real.

Pemfailan

Terdapat juga operasi penguatan, lebih spesifiknya radikalisasi, di mana pengecualian diberikan untuk kekuatan radikal genap indeks:

Untuk semua A yang tergolong dalam real, akar A ke-9 adalah kepunyaan real, jika dan hanya jika A tergolong dalam reals positif yang bergabung dengan satu set yang satu-satunya elemen adalah sifar.

Dengan cara ini dilambangkan bahawa akar genap hanya berlaku pada kenyataan positif dan disimpulkan bahawa potensi tidak merupakan kunci dalam R.

Logaritma

Dengan cara homolog, ia dapat dilihat untuk fungsi logaritmik, yang tidak ditentukan untuk nilai kurang dari atau sama dengan sifar. Untuk memeriksa apakah logaritma adalah kunci R, teruskan seperti berikut:

Untuk semua A yang tergolong dalam real, logaritma A adalah milik real, jika dan hanya jika A tergolong dalam real positif.

Dengan mengecualikan nilai negatif dan sifar yang juga milik R dapat dinyatakan bahawa:

Logaritma bukan kunci nombor sebenar.

Contoh

Periksa kunci untuk penambahan dan pengurangan nombor semula jadi:

Jumlahkan dalam N

Perkara pertama adalah memeriksa keadaan kunci untuk elemen yang berbeza dari set yang diberikan, di mana jika diperhatikan bahawa beberapa elemen pecah dengan keadaan, keberadaan kunci dapat ditolak secara automatik.

Properti ini berlaku untuk semua kemungkinan nilai A dan B, seperti yang dilihat dalam operasi berikut:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Tidak ada nilai semula jadi yang melanggar keadaan kunci, sehingga dapat disimpulkan:

Jumlahnya adalah kunci di N.

Kurangkan di N

Elemen semula jadi yang mampu memecahkan keadaan dicari; A - B milik orang asli.

Mengendalikannya mudah untuk mencari pasangan unsur semula jadi yang tidak memenuhi syarat kunci. Sebagai contoh:

7 - 10 = -3 N a N

Dengan cara ini kita dapat menyimpulkan bahawa:

Pengurangan bukanlah kunci pada set nombor semula jadi.

Latihan yang dicadangkan

1-Tunjukkan jika harta kunci dipenuhi untuk set nombor rasional Q, untuk operasi tambah, tolak, pendaraban dan pembahagian.

2-Terangkan jika set nombor nyata adalah kunci bagi set nombor bulat.

3-Tentukan set berangka yang boleh menjadi kunci nombor sebenar.

4-Buktikan sifat kunci untuk set nombor khayalan, berkenaan dengan penambahan, pengurangan, pendaraban dan pembahagian.

Rujukan

1. Panorama matematik tulen: pilihan Bourbakist. Jean Dieudonné. Reverte, 1987.
2. Teori nombor algebra. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Universiti Autonomi Nasional Mexico, 1975.
3. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Struktur algebra V: teori badan. Hector A. Merklen. Organisasi Negara Amerika, Sekretariat Umum, 1979.
5. Pengenalan algebra komutatif. Michael Francis Atiyah, IG MacDonald. Reverte, 1973.