TITIK COPLANAR: PERSAMAAN, CONTOH DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2026

Titik koplanar semuanya tergolong dalam satah yang sama. Dua titik selalu coplanar, kerana titik-titik ini menentukan garis di mana pesawat tak terbatas melewati. Kemudian, kedua-dua titik itu tergolong dalam setiap satah yang melewati garis dan oleh itu, ia akan sentiasa berbentuk koplan.

Sebaliknya, tiga titik mendefinisikan satah tunggal, dari mana ia menunjukkan bahawa tiga titik akan selalu bersamaan dengan satah yang mereka tentukan.

Rajah 1. A, B, C dan D adalah koplanar ke satah (Ω). E, F dan G bukan koplanar ke (Ω) tetapi koplanar ke satah yang mereka tentukan. Sumber: F. Zapata.

Lebih daripada tiga titik boleh berbentuk coplanar atau tidak. Contohnya dalam rajah 1, titik A, B, C dan D adalah koplanar ke satah (Ω). Tetapi E, F dan G bukan koplanar ke (Ω), walaupun koplanar ke satah yang mereka tentukan.

Persamaan satah diberi tiga titik

Persamaan satah yang ditentukan oleh tiga titik yang diketahui A, B, C adalah hubungan matematik yang menjamin bahawa setiap titik P dari koordinat generik (x, y, z) yang memenuhi persamaan itu adalah kepunyaan satah tersebut.

Pernyataan sebelumnya setara dengan mengatakan bahawa jika P koordinat (x, y, z) memenuhi persamaan satah, maka titik tersebut akan sama dengan tiga titik A, B, C yang menentukan satah.

Untuk mencari persamaan satah ini, mari mulakan dengan mencari vektor AB dan AC :

AB =

AC =

Produk vektor AB X AC menghasilkan vektor tegak lurus atau normal ke satah yang ditentukan oleh titik A, B, C.

Sebarang titik P dengan koordinat (x, y, z) tergolong dalam satah jika vektor AP tegak lurus dengan vektor AB X AC , yang dijamin jika:

AP • (AB X AC) = 0

Ini sama dengan mengatakan bahawa produk tiga kali ganda AP , AB, dan AC adalah sifar. Persamaan di atas boleh ditulis dalam bentuk matriks:

Contohnya

Biarkan titik A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) dan D (a, 0, 1). Nilai apa yang mesti dimiliki untuk keempat-empat mata itu bersamaan?

Penyelesaian

Untuk mencari nilai a, titik D mestilah bahagian satah yang ditentukan oleh A, B dan C, yang dijamin jika memenuhi persamaan satah.

Membangunkan penentu yang kita ada:

Persamaan sebelumnya memberitahu kita bahawa a = -1 agar persamaan dapat dipenuhi. Dengan kata lain, satu-satunya cara titik D (a, 0,1) adalah koplanar dengan titik A, B dan C adalah menjadi -1. Jika tidak, ia tidak akan menjadi coplanar.

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Sebuah satah saling memotong paksi Cartesian X, Y, Z pada 1, 2, dan 3 masing-masing. Persimpangan satah ini dengan paksi menentukan titik A, B dan C. Cari komponen Dz bagi titik D, yang komponen Cartesiannya adalah:

Dengan syarat bahawa D adalah koplanar dengan titik A, B dan C.

Penyelesaian

Apabila pintasan satah dengan paksi Cartesian diketahui, bentuk segmen dari persamaan satah dapat digunakan:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Oleh kerana titik D mestilah milik pesawat sebelumnya, ia mesti:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Maksudnya:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Dari atas dinyatakan bahawa titik D (3, -2, -3) adalah coplanar dengan titik A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) dan C (0, 0, 3).

- Latihan 2

Tentukan apakah titik A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) dan D (2, 3, 1) adalah coplanar.

Penyelesaian

Kami membentuk matriks yang barisnya adalah koordinat DA, BA, dan CA. Kemudian penentu dikira dan disahkan sama ada sifar atau tidak.

Setelah melakukan semua pengiraan, disimpulkan bahawa mereka adalah koplanar.

- Latihan 3

Terdapat dua garisan di angkasa. Salah satunya ialah garis (R) yang persamaan parametriknya adalah:

Dan yang lain adalah garis (S) yang persamaannya adalah:

Tunjukkan bahawa (R) dan (S) adalah garis koplanar, iaitu, mereka terletak di satah yang sama.

Penyelesaian

Mari kita mulakan dengan sewenang-wenangnya mengambil dua titik pada baris (R) dan dua di garis (S):

Garis (R): λ = 0; A (1, 1, 1) dan λ = 1; B (3, 0, 1)

Biarkan x = 0 di garisan (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Dan sebaliknya, jika kita membuat y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Maksudnya, kita telah mengambil titik A dan B yang termasuk dalam garis (R) dan titik C dan D yang termasuk dalam garis (S). Sekiranya titik-titik itu berbentuk koplanar, maka kedua-dua garis itu juga.

Sekarang kita memilih titik A sebagai pangsi dan kemudian kita mencari koordinat vektor AB , AC dan AD. Dengan cara ini anda mendapat:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Langkah seterusnya adalah membina dan mengira penentu yang baris pertama adalah pekali vektor AB , baris kedua adalah AC dan baris ketiga vektor AD :

Oleh kerana penentu berubah menjadi batal, maka kita dapat menyimpulkan bahawa keempat-empat titik tersebut adalah koplanar. Selain itu, dapat dinyatakan bahawa garis (R) dan (S) juga coplanar.

- Latihan 4

Garis (R) dan (S) adalah koplanar, seperti yang ditunjukkan dalam Latihan 3. Cari persamaan satah yang mengandunginya.

Penyelesaian

Titik A, B, C sepenuhnya menentukan satah itu, tetapi kami ingin memaksakan bahawa titik koordinat X (x, y, z) ada di dalamnya.

Agar X tergolong dalam satah yang ditentukan oleh A, B, C dan di mana garis (R) dan (S) terkandung, adalah mustahak penentu yang terbentuk pada baris pertama oleh komponen AX , di baris kedua oleh AB dan yang ketiga oleh AC :

Berikutan hasil ini, kami mengelompokkan dengan cara ini:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Dan dengan serta-merta anda dapat melihat bahawa ia boleh ditulis semula seperti ini:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Oleh itu x + 2y - z = 2 adalah persamaan satah yang mengandungi garis (R) dan (S).

Rujukan

1. Fleming, W. 1989. Matematik PraKalkulus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2006. Aljabar Linear. Pendidikan Pearson.
3. Leal, JM 2005. Geometri Analitik Rata. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektor. Dipulihkan dari: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Pengiraan awal. Pendidikan Pearson.
6. Prenowitz, W. 2012. Konsep Asas Geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pendidikan Pearson.