APAKAH VEKTOR KOPLANAR? (DENGAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN) - FIZIKAL - 2026

The vektor sesatah atau sesatah adalah mereka yang terkandung di dalam pesawat yang sama. Apabila hanya ada dua vektor, ini selalu bersifat koplanar, kerana ada satah yang tidak terbatas, selalu mungkin untuk memilih yang mengandungnya.

Sekiranya anda mempunyai tiga atau lebih vektor, mungkin sebahagiannya tidak berada dalam satah yang sama dengan yang lain, oleh itu ia tidak boleh dianggap sebagai coplanar. Gambar berikut menunjukkan sekumpulan vektor koplanar yang dilambangkan dengan huruf tebal A , B , C dan D :

Rajah 1. Empat vektor koplanar. Sumber: buatan sendiri.

Vektor berkaitan dengan tingkah laku dan sifat kuantiti fizikal yang berkaitan dengan sains dan kejuruteraan; contohnya halaju, pecutan dan daya.

Kekuatan menghasilkan kesan yang berbeza pada objek ketika cara diterapkannya bervariasi, misalnya dengan mengubah intensitas, arah dan arah. Walaupun hanya mengubah salah satu parameter ini, hasilnya jauh berbeza.

Dalam banyak aplikasi, baik dalam statik dan dinamika, kekuatan yang bertindak pada tubuh berada pada bidang yang sama, oleh itu mereka dianggap sebagai coplanar.

Syarat untuk vektor menjadi koplanar

Agar tiga vektor menjadi koplanar, mereka mesti berada di satah yang sama dan ini berlaku sekiranya mereka memenuhi syarat berikut:

-Vektor selari, oleh itu komponennya berkadar dan bergantung secara linear.

-Produk campuran anda adalah batal.

-Jika anda mempunyai tiga vektor dan salah satu daripadanya boleh ditulis sebagai kombinasi linear dari dua yang lain, vektor ini adalah koplanar. Sebagai contoh, vektor yang dihasilkan dari jumlah dua yang lain, ketiga-tiga semuanya berada dalam satah yang sama.

Sebagai alternatif, keadaan koplanariti dapat ditetapkan seperti berikut:

Produk campuran antara tiga vektor

Produk campuran antara vektor didefinisikan dengan tiga vektor u , v dan w, menghasilkan skalar yang dihasilkan dari melakukan operasi berikut:

u · ( v x w ) = u · (v x w )

Pertama, produk silang yang berada dalam kurungan dijalankan: v x w , yang hasilnya adalah vektor normal (tegak lurus) ke satah di mana kedua-dua v dan w terletak .

Sekiranya u berada pada satah yang sama dengan v dan w , secara semula jadi produk skalar (produk titik) antara u dan vektor normal yang dinyatakan mestilah 0. Dengan cara ini, disahkan bahawa ketiga-tiga vektor itu adalah koplanar (terletak pada satah yang sama).

Apabila produk campuran tidak sifar, hasilnya sama dengan isipadu paralel yang mempunyai vektor u , v dan w sebagai sisi bersebelahan.

Permohonan

Kekuatan koplanar, serentak dan tidak bertembung

Daya serentak semuanya diterapkan pada titik yang sama. Sekiranya mereka juga coplanar, mereka dapat digantikan oleh satu, yang disebut kekuatan yang dihasilkan dan mempunyai kesan yang sama dengan kekuatan asal.

Sekiranya badan berada dalam keseimbangan berkat tiga daya koplanar, serentak dan tidak-collinear (tidak selari), yang disebut A , B dan C, teorema Lamy menunjukkan bahawa hubungan antara daya ini (magnitud) adalah berikut:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

Dengan α, β dan γ sebagai sudut bertentangan dengan daya yang dikenakan, seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut:

Gambar 2. Tiga daya koplanar A, B, dan C bertindak pada objek. Sumber: Kiwakwok di Wikipedia Inggeris

Latihan yang diselesaikan

-Latihan 1

Cari nilai k sehingga vektor berikut adalah koplanar:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Penyelesaian

Oleh kerana kita mempunyai komponen vektor, maka kriteria produk campuran digunakan, oleh itu:

u ( v x w ) = 0

Selesaikan v x w terlebih dahulu . Vektor akan dinyatakan dalam bentuk vektor unit i , j dan k yang membezakan tiga arah tegak lurus di ruang (lebar, tinggi dan kedalaman):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Sekarang kita mempertimbangkan produk skalar antara u dan vektor yang dihasilkan dari operasi sebelumnya, menetapkan operasi sama dengan 0:

u ( v x w ) = (-3 i + k j + 2 k ) · (-2 i + 4 j + 9 k ) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Nilai yang dicari adalah: k = - 6

Jadi vektor u adalah:

u = <-3, -6, 2>

-Latihan 2

Rajah menunjukkan sebuah objek yang beratnya W = 600 N, tergantung dalam keseimbangan berkat kabel yang diletakkan pada sudut yang ditunjukkan pada rajah 3. Adakah mungkin untuk menerapkan teorema Lamy dalam situasi ini? Walau bagaimanapun, cari magnitud T ₁ , T _2, dan T ₃ yang memungkinkan keseimbangan mungkin.

Rajah 3. Berat tergantung dalam keseimbangan di bawah tindakan tiga tekanan yang ditunjukkan. Sumber: buatan sendiri.

Penyelesaian

Teorema Lamy dapat diterapkan dalam situasi ini jika simpul di mana ketiga tegangan diterapkan dipertimbangkan, kerana ia merupakan sistem kekuatan koplanar. Pertama, gambarajah badan bebas untuk berat gantung dibuat, untuk menentukan besarnya T _3:

Rajah 4. Gambar rajah bebas badan untuk menggantung berat badan. Sumber: buatan sendiri.

Dari keadaan keseimbangan menunjukkan bahawa:

Sudut antara daya ditandai dengan warna merah pada gambar berikut, dapat dengan mudah disahkan bahawa jumlahnya adalah 360º. Sekarang mungkin untuk menerapkan teorema Lamy, kerana salah satu kekuatan dan tiga sudut di antara mereka diketahui:

Gambar 5.- Dengan sudut merah untuk menerapkan teorema Lamy. Sumber: buatan sendiri.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Oleh itu: T ₁ = sin 127º (W / sin 106º) = 498.5 N

Sekali lagi teorema Lamy diterapkan untuk menyelesaikan T ₂ :

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498.5 N

Rujukan

1. Figueroa, D. Siri: Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Kinematik. 31-68.
2. Fizikal. Modul 8: Vektor. Dipulihkan dari: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mekanik untuk Jurutera. Statik Edisi ke-6. Syarikat Penerbitan Kontinental 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mekanik untuk Jurutera: Statik dan Dinamika. Edisi ke-3. Bukit McGraw. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org.