Yang jenis kamiran yang kita dapati dalam kalkulus adalah kamiran terbatas dan kamiran yang pasti. Walaupun integral pasti mempunyai lebih banyak aplikasi daripada integral tidak tentu, pertama-tama perlu belajar bagaimana menyelesaikan integrasi tidak terbatas.
Salah satu aplikasi integral yang paling menarik adalah pengiraan isipadu revolusi. Kedua-dua jenis kamiran mempunyai sifat linear yang sama dan juga teknik integrasi tidak bergantung pada jenis kamiran.
Pepejal Revolusi
Tetapi walaupun sangat serupa, ada satu perbezaan utama; pada jenis integral pertama hasilnya adalah fungsi (yang tidak spesifik) sedangkan pada jenis kedua hasilnya adalah angka.
Jenis kamiran asas
Dunia integrasi sangat luas tetapi di dalamnya kita dapat membezakan dua jenis integrasi asas, yang dapat diterapkan dengan baik dalam kehidupan seharian.
1- Integrasi tidak tentu
Sekiranya F '(x) = f (x) untuk semua x dalam domain f, kita mengatakan bahawa F (x) adalah antiderivatif, primitif, atau kamiran dari f (x).
Sebaliknya, mari kita perhatikan bahawa (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), yang menunjukkan bahawa penggabungan fungsi tidak unik, kerana memberikan nilai yang berbeza pada pemalar C kita akan memperoleh yang berbeza ubat penawar.
Atas sebab ini F (x) + C dipanggil Integral Integral of f (x) dan C disebut pemalar pemadu dan kami menulisnya dengan cara berikut
Integral Tidak Terbatas
Seperti yang dapat kita lihat, integral fungsi f (x) adalah sekumpulan fungsi.
Sebagai contoh, jika anda ingin mencari integral fungsi f (x) = 3x², anda mesti terlebih dahulu mencari penawar f (x).
Sangat mudah untuk melihat bahawa F (x) = x³ adalah antivirus, kerana F '(x) = 3x². Oleh itu, dapat disimpulkan bahawa
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Integrasi pasti
Biarkan y = f (x) menjadi fungsi yang berterusan dan berterusan pada selang tertutup dan biarkan F (x) menjadi penawar f (x). Kamiran pasti dari f (x) antara batas a dan b disebut nombor F (b) -F (a), dan dilambangkan sebagai berikut
Teorem Asas Kalkulus
Rumus yang ditunjukkan di atas lebih dikenali sebagai "Teorem Fundamental Kalkulus." Di sini "a" disebut had bawah dan "b" disebut had atas. Seperti yang anda lihat, kamiran fungsi adalah nombor.
Dalam kes ini, jika kamiran pasti dari f (x) = 3x² dihitung dalam selang, nombor akan diperoleh.
Untuk menentukan nombor ini, kami memilih F (x) = x³ sebagai penawar bagi f (x) = 3x². Kemudian, kita mengira F (3) -F (0) yang memberi kita hasilnya 27-0 = 27. Sebagai kesimpulan, kamiran pasti (f) pada selang ialah 27.
Dapat diperhatikan bahawa jika G (x) = x³ + 3 dipilih, maka G (x) adalah antiderivatif f (x) yang berbeza dari F (x), tetapi ini tidak mempengaruhi hasilnya kerana G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Atas sebab ini, pemalar pemaduan tidak muncul dalam kesepaduan yang pasti.
Salah satu aplikasi terpadu jenis integral yang paling berguna ialah ia membolehkan kita mengira luas (isipadu) angka satah (pepejal revolusi), menetapkan fungsi dan had integrasi yang sesuai (dan paksi putaran).
Di dalam integral yang pasti, kita dapat menemui pelbagai peluasannya, seperti integral garis, integral permukaan, integral yang tidak betul, pelbagai integrasi, antara lain, semuanya dengan aplikasi yang sangat berguna dalam sains dan kejuruteraan.
Rujukan
- Casteleiro, JM (2012). Adakah senang untuk disatukan? Manual belajar sendiri. Madrid: ESIC.
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Kalkulus integral (Illustrated ed.). Madrid: Pengarang ESIC.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematik PraKalkulus. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematik pra-kalkulus: pendekatan penyelesaian masalah (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
- Kishan, H. (2005). Kalkulus Integral. Penerbit & Pengedar Atlantic.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkulus (edisi kesembilan.) Dewan Prentice.