SIRI KUASA: CONTOH DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2025

Rangkaian kuasa terdiri daripada penjumlahan istilah dalam bentuk kekuatan pemboleh ubah x, atau lebih umum, xc, di mana c adalah nombor nyata tetap. Dalam notasi penjumlahan, serangkaian kekuatan dinyatakan sebagai berikut:

Iaitu pekali a _o , a ₁ , a ₂ … adalah nombor nyata dan siri bermula pada n = 0.

Rajah 1. Definisi rangkaian kuasa. Sumber: F. Zapata.

Siri ini berpusat pada nilai c yang tetap, tetapi anda boleh memilih c sama dengan 0, dalam hal ini siri kuasa menyederhanakan untuk:

Siri ini dimulakan dengan masing-masing _atau (xc) ⁰ dan a _atau x ⁰ . Tetapi kita tahu bahawa:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Oleh itu _o (xc) ⁰ = a _atau x ⁰ = a _o (istilah bebas)

Perkara yang baik mengenai rangkaian kuasa ialah fungsi dapat dinyatakan dengan mereka dan ini mempunyai banyak kelebihan, terutama jika anda ingin bekerja dengan fungsi yang rumit.

Jika demikian, alih-alih langsung menggunakan fungsi, gunakan pengembangan rangkaian daya, yang lebih mudah diperoleh, disatukan, atau bekerja secara berangka.

Sudah tentu semuanya bergantung kepada penumpuan siri ini. Satu siri bertemu ketika menambahkan sebilangan besar istilah memberikan nilai tetap. Dan sekiranya kita masih menambah syarat, kita akan terus memperoleh nilai tersebut.

Berfungsi sebagai Power Series

Sebagai contoh fungsi yang dinyatakan sebagai rangkaian kuasa, mari kita ambil f (x) = e ^x .

Fungsi ini dapat dinyatakan dalam rangkaian kekuatan seperti berikut:

dan ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

Di mana! = n. (n-1). (n-2). (n-3) … dan memerlukan 0! = 1.

Kami akan memeriksa dengan bantuan kalkulator, bahawa memang siri ini bertepatan dengan fungsi yang diberikan secara eksplisit. Contohnya mari kita mulakan dengan membuat x = 0.

Kita tahu bahawa e ⁰ = 1. Mari lihat apa yang dilakukan oleh siri ini:

dan ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

Dan sekarang mari kita cuba x = 1. Kalkulator mengembalikan bahawa e ¹ = 2.71828, dan kemudian mari kita bandingkan dengan siri:

dan ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Dengan hanya 5 istilah, kita sudah mempunyai padanan tepat di ≈ 2.71. Siri kami hanya mempunyai sedikit lagi, tetapi apabila lebih banyak istilah ditambahkan, siri ini pasti akan berubah menjadi nilai tepat e. Perwakilannya tepat apabila n → ∞.

Sekiranya analisis sebelumnya diulang untuk n = 2, hasil yang serupa diperolehi.

Dengan cara ini kita pasti bahawa fungsi eksponensial f (x) = e ^x dapat diwakili oleh rangkaian kuasa ini:

Gambar 2. Dalam animasi ini kita dapat melihat bagaimana rangkaian kuasa semakin dekat dengan fungsi eksponensial kerana lebih banyak istilah diambil. Sumber: Wikimedia Commons.

Rangkaian kuasa geometri

Fungsi f (x) = e ^x bukan satu-satunya fungsi yang menyokong perwakilan rangkaian kuasa. Sebagai contoh, fungsi f (x) = 1/1 - x kelihatan seperti siri geometri konvergen yang terkenal:

Cukup untuk melakukan a = 1 dan r = x untuk mendapatkan siri yang sesuai untuk fungsi ini, yang berpusat pada c = 0:

Walau bagaimanapun, diketahui bahawa siri ini adalah konvergen untuk │r│ <1, oleh itu representasi hanya berlaku dalam selang waktu (-1,1), walaupun fungsinya berlaku untuk semua x, kecuali x = 1.

Apabila anda ingin menentukan fungsi ini dalam julat lain, anda hanya memfokuskan pada nilai yang sesuai dan anda sudah selesai.

Cara mencari pengembangan siri fungsi

Fungsi apa pun dapat dikembangkan dalam rangkaian daya yang berpusat pada c, asalkan memiliki turunan dari semua pesanan pada x = c. Prosedur ini menggunakan teorema berikut, yang disebut teorema Taylor:

Biarkan f (x) menjadi fungsi dengan turunan dari urutan n, dilambangkan sebagai f ⁽ⁿ⁾ , yang mengakui pengembangan kuasa yang berlanjutan pada selang I. Pengembangan bersiri Taylor adalah:

Oleh itu:

Di mana R _n , yang merupakan istilah ke-9 dari siri ini, disebut baki:

Apabila c = 0 siri ini dipanggil siri Maclaurin.

Siri yang diberikan di sini sama dengan siri yang diberikan pada awalnya, hanya sekarang kita mempunyai cara untuk secara jelas menemukan koefisien setiap istilah, yang diberikan oleh:

Walau bagaimanapun, kita mesti memastikan bahawa siri ini menyatu dengan fungsi yang akan diwakili. Ia berlaku bahawa tidak semua siri Taylor semestinya menyatu dengan f (x) yang ada dalam fikiran ketika mengira pekali pada _n .

Ini berlaku kerana mungkin derivatif fungsi, yang dinilai pada x = c bertepatan dengan nilai yang sama dari derivatif yang lain, juga pada x = c. Dalam kes ini, pekali akan sama, tetapi pengembangannya akan samar-samar kerana tidak pasti fungsi mana yang sesuai dengannya.

Nasib baik ada cara untuk mengetahui:

Kriteria penumpuan

Untuk mengelakkan kekaburan, jika R _n → 0 sebagai n → ∞ untuk semua x dalam selang I, siri ini akan bertukar menjadi f (x).

Senaman

- Latihan diselesaikan 1

Cari siri daya geometri untuk fungsi f (x) = 1/2 - x berpusat pada c = 0.

Penyelesaian

Fungsi yang diberikan mesti dinyatakan sedemikian rupa sehingga bertepatan sedekat mungkin dengan 1 / 1- x, yang mana rangkaiannya diketahui. Oleh itu, mari tulis semula pengangka dan penyebutnya, tanpa mengubah ungkapan asalnya:

1/2 - x = (1/2) /

Oleh kerana ½ adalah tetap, ia keluar dari penjumlahan, dan ditulis dalam bentuk pemboleh ubah baru x / 2:

Perhatikan bahawa x = 2 tidak termasuk dalam domain fungsi, dan menurut kriteria penumpuan yang diberikan di bahagian Geometric Power Series, pengembangan berlaku untuk │x / 2│ <1 atau setara -2 <x <2.

- Latihan diselesaikan 2

Cari 5 istilah pertama pengembangan siri Maclaurin fungsi f (x) = sin x.

Penyelesaian

Langkah 1

Yang pertama adalah derivatif:

-Derivatif tertib 0: ia adalah fungsi yang sama f (x) = sin x

-Derivatif pertama: (sin x) ´ = cos x

-Derivatif kedua: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Derivatif ketiga: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Derivatif keempat: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Langkah 2

Kemudian setiap derivatif dinilai pada x = c, seperti pengembangan Maclaurin, c = 0:

dosa 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; dosa 0 = 0

Langkah 3

Pekali a _{n dibina} ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

Langkah 4

Akhirnya siri ini dipasang mengikut:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Adakah pembaca memerlukan lebih banyak istilah? Berapa banyak lagi, siri ini lebih dekat dengan fungsinya.

Perhatikan bahawa ada corak dalam pekali, istilah bukan sifar berikutnya adalah ₅ dan semua yang mempunyai indeks ganjil juga berbeza dari 0, bergantian tanda, sehingga:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Dibiarkan sebagai latihan untuk memeriksa bahawa ia menyatu, kriteria bagi dapat digunakan untuk penumpuan siri.

Rujukan

1. Yayasan CK-12. Power Series: perwakilan fungsi dan operasi. Dipulihkan dari: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Kalkulus Integral. Universiti Kebangsaan Litoral.
3. Larson, R. 2010. Pengiraan pemboleh ubah. 9hb. Edisi. Bukit McGraw.
4. Teks Percuma Matematik. Seri kuasa. Dipulihkan dari: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Seri kuasa. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org.