URUTAN KUADRATIK: CONTOH, PERATURAN DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2026

The successions Quadratic , dari segi matematik, terdiri daripada urutan nombor yang mengikut peraturan aritmetik tertentu. Sangat menarik untuk mengetahui peraturan ini untuk menentukan mana-mana terma urutan.

Salah satu cara untuk melakukannya adalah dengan menentukan perbezaan antara dua istilah berturut-turut dan melihat apakah nilai yang diperoleh selalu diulang. Apabila ini berlaku, ia dikatakan sebagai urutan biasa.

Urutan nombor adalah cara mengatur urutan nombor. Sumber: pixabay.com

Tetapi jika ia tidak berulang, anda boleh cuba meneliti perbezaan antara perbezaan dan melihat apakah nilai ini tetap. Sekiranya demikian, maka ia adalah urutan kuadratik .

Contoh urutan biasa dan urutan kuadratik

Contoh berikut membantu menjelaskan apa yang telah dijelaskan setakat ini:

Contoh penggantian tetap

Biarkan urutan S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Urutan ini, dilambangkan dengan S, adalah set nombor tak terbatas, dalam hal bilangan bulat.

Ini dapat dilihat bahawa ia adalah urutan biasa, kerana setiap istilah diperoleh dengan menambahkan 3 pada istilah atau elemen sebelumnya:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Dengan kata lain: urutan ini biasa kerana perbezaan antara istilah berikutnya dan yang sebelumnya memberikan nilai tetap. Dalam contoh yang diberikan nilai ini adalah 3.

Urutan biasa yang diperoleh dengan menambahkan kuantiti tetap pada istilah sebelumnya juga disebut kemajuan aritmetik. Dan perbezaan -konsisten- antara istilah berturut-turut disebut nisbah dan dilambangkan sebagai R.

Contoh urutan tak biasa dan kuadratik

Lihat sekarang urutan berikut:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Apabila perbezaan berturut-turut dikira, nilai berikut diperoleh:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Perbezaan mereka tidak tetap, jadi boleh dikatakan bahawa ia adalah urutan TIDAK biasa.

Walau bagaimanapun, jika kita mempertimbangkan kumpulan perbezaan, kita mempunyai urutan lain, yang akan dilambangkan sebagai S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Urutan baru ini memang urutan biasa, kerana setiap istilah diperoleh dengan menambahkan nilai tetap R = 2 ke yang sebelumnya. Itulah sebabnya kita dapat menegaskan bahawa S adalah urutan kuadratik.

Peraturan umum untuk membina urutan kuadratik

Terdapat formula umum untuk membina urutan kuadratik:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

Dalam formula ini, T _n adalah istilah pada kedudukan n urutan. A, B dan C adalah nilai tetap, sementara n berbeza satu per satu, iaitu, 1, 2, 3, 4, …

Dalam urutan S contoh sebelumnya A = 1, B = 1 dan C = 0. Dari situ, formula yang menghasilkan semua istilah adalah: T _n = n ² + n

Maksudnya:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Perbezaan antara dua istilah berturut-turut dari urutan kuadratik

T _{n + 1} - T _n = -

Membangunkan ekspresi melalui produk yang luar biasa tetap ada:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Dengan mempermudahnya, anda mendapat:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Inilah formula yang memberikan urutan perbezaan S _Dif yang boleh ditulis seperti ini:

Perbezaan _n = A ∙ (2n + 1) + B

Di mana jelas istilah berikutnya adalah 2 ∙ Kadang-kadang yang sebelumnya. Maksudnya, nisbah urutan perbezaan S _diff adalah: R = 2 ∙ A.

Menyelesaikan masalah urutan kuadratik

Latihan 1

Biarkan urutan S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Tentukan jika:

i) Adakah biasa atau tidak

ii) Adakah kuadratik atau tidak

iii) Itu kuadratik, urutan perbezaan dan nisbahnya

Jawapan

i) Mari kita hitung perbezaan antara syarat berikut dan sebelumnya:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Kita dapat menegaskan bahawa urutan S tidak biasa, kerana perbezaan antara istilah berturut-turut tidak tetap.

ii) Urutan perbezaan adalah biasa, kerana perbezaan antara sebutannya adalah nilai malar 2. Oleh itu, urutan asal S adalah kuadratik.

iii) Kami telah menentukan bahawa S adalah kuadratik, urutan perbezaannya adalah:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} dan nisbahnya ialah R = 2.

Latihan 2

Biarkan urutan S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} dari contoh sebelumnya, di mana ia disahkan bahawa ia adalah kuadratik. Tentukan:

i) Rumus yang menentukan istilah umum T _n.

ii) Periksa istilah ketiga dan kelima.

iii) Nilai penggal kesepuluh.

Jawapan

i) Formula umum T _n ialah A ∙ n ² + B ∙ n + C. Maka masih perlu diketahui nilai A, B dan C.

Urutan perbezaan mempunyai nisbah 2. Selanjutnya, untuk sebarang urutan kuadratik nisbah R adalah 2 ∙ A seperti yang ditunjukkan pada bahagian sebelumnya.

R = 2 ∙ A = 2 yang membawa kita untuk membuat kesimpulan bahawa A = 1.

Istilah pertama bagi urutan perbezaan S _Dif adalah 2 dan mesti memenuhi A ∙ (2n + 1) + B, dengan n = 1 dan A = 1, iaitu:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

penyelesaian untuk B kami memperoleh: B = -1

Maka istilah pertama S (n = 1) bernilai 1, iaitu: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Seperti yang kita sudah tahu bahawa A = 1 dan B = -1, menggantikan kita mempunyai:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Menyelesaikan C kita memperoleh nilainya: C = 1.

Ringkasnya:

A = 1, B = -1 dan C = 1

Maka istilah ke-n akan menjadi T _n = n ² - n + 1

ii) Istilah ketiga T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 dan ia disahkan. T kelima ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 yang juga disahkan.

iii) Istilah kesepuluh adalah T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Latihan 3

Urutan bidang untuk Latihan 3. Sumber: penjelasan sendiri.

Rajah menunjukkan urutan lima angka. Kisi mewakili unit panjang.

i) Tentukan urutan bagi luas angka.

ii) Tunjukkan bahawa ia adalah urutan kuadratik.

iii) Cari luas Rajah # 10 (tidak ditunjukkan).

Jawapan

Urutan S yang sesuai dengan luas urutan angka adalah:

S = {0, 2, 6, 12, 20,. . . . . }

ii) Urutan yang sesuai dengan perbezaan terma S berturut-turut adalah:

S _diff = {2, 4, 6, 8,. . . . . }

Oleh kerana perbezaan antara istilah berturut-turut tidak tetap, maka S bukan urutan biasa. Masih perlu diketahui apakah itu kuadratik, yang mana kita sekali lagi melakukan urutan perbezaan, dengan memperoleh:

{2, 2, 2, …….}

Oleh kerana semua istilah urutan berulang, disahkan bahawa S adalah urutan kuadratik.

iii) Urutan S _dif adalah biasa dan nisbahnya R adalah 2. Dengan menggunakan persamaan yang ditunjukkan di atas R = 2 ∙ A, ia tetap:

2 = 2 ∙ A, yang menunjukkan bahawa A = 1.

Istilah kedua dari urutan perbezaan S _Dif adalah 4 dan istilah ke-9 dari S _Dif adalah

A ∙ (2n + 1) + B.

Istilah kedua mempunyai n = 2. Di samping itu, telah ditentukan bahawa A = 1, jadi dengan menggunakan persamaan dan penggantian sebelumnya, kami mempunyai:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Menyelesaikan B, kami memperoleh: B = -1.

Telah diketahui bahawa istilah kedua S bernilai 2, dan bahawa ia mesti memenuhi formula istilah umum dengan n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Maksudnya

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Disimpulkan bahawa C = 0, iaitu bahawa formula yang memberikan istilah umum bagi urutan S adalah:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Sekarang penggal kelima disahkan:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Gambar # 10, yang belum dilukis di sini, akan mempunyai luas yang sesuai dengan istilah kesepuluh dari urutan S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Rujukan

1. https://www.geogebra.org