PENJUMLAHAN TELESKOPIK: BAGAIMANA IA DISELESAIKAN DAN LATIHAN DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2026

The jumlah teleskopik ialah operasi cawangan siri berangka. Ini berkaitan dengan penjumlahan elemen dari nilai awal hingga "n" ungkapan yang argumennya mematuhi salah satu corak berikut:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Seperti juga:

Sumber: Pixabay.com

Mereka mewakili penjumlahan elemen yang apabila dikembangkan, dikenakan pembatalan istilah yang berlawanan. Memungkinkan untuk menentukan persamaan berikut untuk penjumlahan teleskopik:

Namanya berasal dari hubungan dengan penampilan teleskop klasik, yang dapat dilipat dan dibuka, terutama mengubah dimensinya. Dengan cara yang sama, penjumlahan teleskopik, yang sifatnya tidak terbatas, dapat diringkaskan dalam ungkapan ringkas:

F ₁ - F _{n + 1}

Demonstrasi

Semasa mengembangkan penjumlahan istilah, penghapusan faktor cukup jelas. Di mana untuk setiap kes, unsur-unsur yang bertentangan akan muncul dalam lelaran seterusnya.

Kes pertama, (F _x - F _{x + 1} ), akan diambil sebagai contoh , kerana prosesnya berfungsi dengan cara yang homolog untuk (F _{x + 1} –F _x ).

Membangunkan 3 nilai pertama {1, 2, 3} trend penyederhanaan diperhatikan

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Di mana ketika menyatakan jumlah elemen yang dijelaskan:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Telah diperhatikan bahawa istilah F ₂ dan F ₃ dijelaskan bersama dengan kebalikannya, yang menjadikan penyederhanaan mereka tidak dapat dielakkan. Dengan cara yang sama, diperhatikan bahawa istilah F ₁ dan F ₄ dipelihara.

Sekiranya jumlah dibuat dari x = 1 hingga x = 3, ini bermaksud bahawa elemen F ₄ sesuai dengan istilah generik F _{n + 1.}

Oleh itu menunjukkan persamaan:

Bagaimana ia diselesaikan?

Tujuan penjumlahan teleskopik adalah untuk memudahkan kerja, sehingga tidak perlu mengembangkan sebilangan istilah yang tidak terbatas, atau untuk menyederhanakan beberapa rantai tambahan yang terlalu panjang.

Untuk penyelesaiannya, hanya perlu menilai istilah F ₁ dan F _{n + 1} . Penggantian mudah ini merupakan hasil akhir dari penjumlahan.

Keseluruhan syarat tidak akan dinyatakan, menjadi perlu hanya untuk demonstrasi hasilnya, tetapi tidak untuk proses pengiraan biasa.

Yang penting ialah memerhatikan penumpuan siri nombor. Kadang kala hujah penjumlahan tidak akan dinyatakan secara teleskopik. Dalam kes ini, pelaksanaan kaedah pemfaktoran alternatif sangat biasa.

Kaedah pemodelan ciri dalam penambahan teleskopik ialah pecahan sederhana. Ini berlaku apabila pecahan asal diuraikan menjadi sejumlah beberapa pecahan, di mana corak teleskopik (F _x - F _{x + 1} ) atau (F _{x + 1} - F _x ) dapat diperhatikan .

Penguraian menjadi pecahan sederhana

Untuk mengesahkan penumpuan siri nombor, sangat biasa mengubah ungkapan rasional dengan kaedah pecahan sederhana. Tujuannya adalah untuk memodelkan plot menjadi bentuk penjumlahan teleskopik.

Sebagai contoh, persamaan berikut mewakili penguraian menjadi pecahan sederhana:

Semasa mengembangkan siri nombor dan menggunakan sifat yang sesuai, ungkapan tersebut mengambil bentuk berikut:

Di mana bentuk teleskopik dihargai (F _x - F _{x + 1} ).

Prosedurnya cukup intuitif dan terdiri daripada mencari nilai pembilang yang, tanpa melanggar persamaan, memungkinkan kita memisahkan produk yang terdapat di penyebut. Persamaan yang timbul dalam penentuan nilai-nilai ini, dibangkitkan mengikut perbandingan antara kedua-dua sisi persamaan.

Prosedur ini diperhatikan langkah demi langkah dalam pengembangan latihan 2.

Sejarah

Tidak dapat dipastikan dapat menentukan momen sejarah di mana penjumlahan teleskopik disampaikan. Namun, pelaksanaannya mulai terlihat pada abad ketujuh belas, dalam kajian siri angka yang dilakukan oleh Leibniz dan Huygens.

Kedua-dua ahli matematik itu, menjelajahi penjumlahan nombor segitiga, mula memperhatikan trend penumpuan siri unsur berturut-turut. Tetapi yang lebih menarik lagi adalah permulaan pemodelan ungkapan-ungkapan ini, dalam unsur-unsur yang tidak semestinya saling mengikut antara satu sama lain.

Sebenarnya, ungkapan yang digunakan sebelumnya untuk merujuk kepada pecahan mudah:

Ia diperkenalkan oleh Huygens dan segera menarik perhatian Leibniz. Siapa yang dari masa ke masa dapat melihat konvergensi ke nilai 2. Tanpa menyedarinya, dia menerapkan format penjumlahan teleskopik.

Latihan

Latihan 1

Tentukan untuk istilah mana jumlah berikut disatukan:

Semasa mengembangkan jumlah secara manual, corak berikut diperhatikan:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Di mana faktor dari 2 ⁴ hingga 2 ¹⁰ menunjukkan bahagian positif dan negatif, menjadikan pembatalannya jelas. Maka satu-satunya faktor yang tidak akan disederhanakan adalah "2 ³ " pertama dan "2 ¹¹ " yang terakhir.

Dengan cara ini, ketika menerapkan kriteria penjumlahan teleskopik, kita memperoleh:

Latihan 2

Ubah hujah menjadi penjumlahan jenis teleskopik dan tentukan penumpuan siri:

Seperti yang dinyatakan dalam pernyataan, perkara pertama yang harus dilakukan adalah menguraikan menjadi pecahan sederhana, untuk menyatakan kembali argumen dan mengungkapkannya dengan cara teleskopik.

Anda mesti mencari 2 pecahan yang penyebutnya masing-masing adalah "n" dan "n + 1", di mana kaedah yang digunakan di bawah mesti memperoleh nilai pembilang yang memenuhi persamaan.

Kami meneruskan untuk menentukan nilai A dan B. Pertama, tambahkan pecahan.

Kemudian penyebut dipermudahkan dan persamaan linear dibentuk.

Pada langkah berikutnya, ekspresi di sebelah kanan dioperasikan, sehingga pola yang setanding dengan "3" di sebelah kiri tercapai.

Untuk menentukan persamaan yang akan digunakan, hasil kedua-dua sisi persamaan mesti dibandingkan. Dengan kata lain, tiada nilai pemboleh ubah n diperhatikan di sebelah kiri, dengan cara ini A + B harus sama dengan sifar.

A + B = 0; A = -B

Sebaliknya, nilai pemalar A harus sama dengan nilai malar 3.

A = 3

Oleh itu.

A = 3 dan B = -3

Setelah nilai pengangka untuk pecahan sederhana sudah ditentukan, penjumlahan dinyatakan semula.

Di mana bentuk penjumlahan teleskopik generik telah dicapai. Siri teleskopik dikembangkan.

Di mana apabila dibahagi dengan bilangan yang sangat besar hasilnya akan semakin dekat dan mendekati sifar, memerhatikan penumpuan siri ke nilai 3.

Jenis siri ini tidak dapat diselesaikan dengan cara lain, kerana jumlah iterasi yang tidak terbatas yang menentukan masalahnya. Walau bagaimanapun, kaedah ini, bersama dengan banyak kaedah lain, merangkumi cabang kajian siri angka, yang objektifnya adalah untuk menentukan nilai-nilai penumpuan atau menentukan perbezaan siri tersebut.

Rujukan

1. Pelajaran kalkulus yang sangat kecil. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González, Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Kalkulus Integral: Urutan dan Siri Fungsi. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21 Okt. 2014.
3. Kursus dalam Kalkulus dan Analisis Sebenar. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 Jun. 2006.
4. Seri yang tidak terhingga. Kubu Tomlinson. The Clarendon Press, 1930.
5. Elemen Teori Proses Tidak Terbatas. Lloyd Leroy Smail. Syarikat Buku McGraw-Hill, Diperbadankan, 1923.