TEKNIK MEMBILANG: TEKNIK, APLIKASI, CONTOH, LATIHAN - DUDAS - 2026

The teknik mengira adalah satu siri kaedah kebarangkalian untuk mengira bilangan susunan mungkin dalam waktu yang ditetapkan atau beberapa set objek. Ini digunakan semasa membuat akaun secara manual menjadi rumit kerana sejumlah besar objek dan / atau pemboleh ubah.

Sebagai contoh, penyelesaian untuk masalah ini sangat mudah: bayangkan bahawa atasan anda meminta anda mengira produk terbaru yang telah tiba pada jam terakhir. Dalam kes ini, anda boleh pergi dan menghitung produk satu persatu.

Namun, bayangkan bahawa masalahnya adalah ini: bos anda meminta anda untuk mengira berapa kumpulan 5 produk dari jenis yang sama yang dapat dibentuk dengan mereka yang telah tiba pada jam terakhir. Dalam kes ini, pengiraannya rumit. Untuk situasi seperti ini, teknik penghitungan yang disebut digunakan.

Teknik-teknik ini pelbagai, tetapi yang paling penting dibahagikan kepada dua prinsip asas, iaitu penggandaan dan aditif; permutasi dan gabungan.

Prinsip pendaraban

Permohonan

Prinsip pendaraban, bersama dengan bahan tambahan, adalah asas untuk memahami operasi teknik membilang. Sekiranya penggandaan, terdiri daripada perkara berikut:

Mari kita bayangkan aktiviti yang melibatkan jumlah langkah tertentu (kita menandakan jumlahnya sebagai "r"), di mana langkah pertama dapat dilakukan dengan cara N1, langkah kedua di N2, dan langkah "r" dengan cara Nr. Dalam kes ini, aktiviti dapat dilakukan dari jumlah bentuk yang dihasilkan dari operasi ini: N1 x N2 x ……… .x Nr bentuk

Itulah sebabnya mengapa prinsip ini disebut berlipat ganda, dan ini menyiratkan bahawa setiap langkah yang diperlukan untuk menjalankan aktiviti itu mesti dijalankan satu demi satu.

Contohnya

Cuba kita bayangkan seorang yang ingin membina sekolah. Untuk melakukan ini, pertimbangkan bahawa pangkalan bangunan boleh dibina dengan dua cara yang berbeza, simen atau konkrit. Adapun dindingnya, boleh dibuat dari adobe, simen atau batu bata.

Adapun bumbungnya, ia boleh dibuat dari simen atau kepingan galvanis. Akhirnya, lukisan akhir hanya dapat dilakukan dengan satu cara. Persoalan yang timbul adalah seperti berikut: Berapa banyak cara yang harus dilakukannya untuk membina sekolah itu?

Pertama, kita mempertimbangkan jumlah langkah, yang akan menjadi dasar, dinding, bumbung dan cat. Secara keseluruhan, 4 langkah, jadi r = 4.

Berikut adalah senarai N:

N1 = cara membina asas = 2

N2 = cara membina tembok = 3

N3 = cara membuat bumbung = 2

N4 = cara melukis = 1

Oleh itu, bilangan kemungkinan bentuk akan dikira menggunakan formula yang dijelaskan di atas:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 cara bersekolah.

Prinsip aditif

Permohonan

Prinsip ini sangat mudah, dan ini bergantung pada kenyataan bahawa, sekiranya terdapat beberapa alternatif untuk menjalankan aktiviti yang sama, cara-cara yang mungkin terdiri dari jumlah cara yang berbeza untuk melaksanakan semua alternatif.

Dengan kata lain, jika kita ingin menjalankan aktiviti dengan tiga alternatif, di mana alternatif pertama dapat dilakukan dengan cara M, yang kedua dengan cara N dan yang terakhir dengan cara W, aktiviti itu boleh dilakukan dalam: M + N + ……… + W bentuk.

Contohnya

Cuba kita bayangkan kali ini seseorang yang ingin membeli raket tenis. Untuk melakukan ini, anda mempunyai tiga jenama untuk dipilih: Wilson, Babolat atau Head.

Semasa anda pergi ke kedai, anda akan melihat bahawa raket Wilson boleh dibeli dengan pemegang dalam dua saiz yang berbeza, L2 atau L3 dalam empat model yang berbeza dan ia boleh dilekatkan atau dilepaskan.

Raket Babolat, di sisi lain, memiliki tiga pegangan (L1, L2 dan L3), terdapat dua model yang berbeza dan ia juga boleh dilekatkan atau dilepaskan.

Raket Head, hanya boleh didapati dengan satu pemegang, L2, dalam dua model yang berbeza dan hanya tanpa tali. Persoalannya: Berapa banyak cara orang ini untuk membeli raket mereka?

M = Bilangan cara memilih raket Wilson

N = Bilangan cara memilih raket Babolat

W = Bilangan cara memilih raket Kepala

Kami melaksanakan prinsip pengganda:

M = 2 x 4 x 2 = 16 bentuk

N = 3 x 2 x 2 = 12 cara

W = 1 x 2 x 1 = 2 cara

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 cara memilih raket.

Untuk mengetahui kapan menggunakan prinsip pendaraban dan aditif, anda hanya perlu melihat apakah aktiviti tersebut mempunyai beberapa langkah untuk dilakukan, dan jika ada beberapa alternatif, aditif tersebut.

Permutasi

Permohonan

Untuk memahami apa itu permutasi, adalah mustahak untuk menjelaskan apa itu kombinasi supaya anda dapat membezakannya dan mengetahui kapan menggunakannya.

Kombinasi akan menjadi susunan unsur-unsur di mana kita tidak tertarik pada kedudukan yang masing-masing dikuasai.

Sebaliknya, permutasi adalah susunan elemen di mana kita tertarik dengan kedudukan yang masing-masing mereka duduki.

Mari kita berikan contoh untuk lebih memahami perbezaannya.

Contohnya

Mari kita bayangkan kelas dengan 35 pelajar, dan dengan situasi berikut:

1. Guru mahukan tiga orang pelajarnya membantunya menjaga kebersihan bilik darjah atau menyerahkan bahan kepada pelajar lain apabila diperlukan.
2. Guru ingin melantik perwakilan kelas (presiden, pembantu dan pemodal).

Penyelesaiannya adalah seperti berikut:

1. Mari kita bayangkan bahawa melalui undian, Juan, María dan Lucía dipilih untuk membersihkan kelas atau menyampaikan bahan. Jelas, kumpulan tiga yang lain boleh dibentuk, antara 35 pelajar yang mungkin.

Kita mesti bertanya kepada diri sendiri perkara berikut: adakah urutan atau kedudukan setiap pelajar penting ketika memilihnya?

Sekiranya kita memikirkannya, kita melihat bahawa perkara itu sebenarnya tidak penting, kerana kumpulan ini akan mengendalikan kedua tugas tersebut secara sama. Dalam kes ini, ini adalah gabungan, kerana kita tidak berminat dengan kedudukan elemen.

1. Sekarang mari kita bayangkan bahawa Juan dipilih sebagai presiden, Maria sebagai pembantu, dan Lucia sebagai pemodal.

Dalam kes ini, adakah pesanan itu penting? Jawapannya adalah ya, kerana jika kita mengubah elemennya, hasilnya akan berubah. Artinya, jika alih-alih meletakkan Juan sebagai presiden, kita meletakkannya sebagai pembantu, dan Maria sebagai presiden, hasil akhirnya akan berubah. Dalam kes ini, ia adalah permutasi.

Setelah perbezaannya difahami, kita akan mendapatkan formula untuk permutasi dan kombinasi. Walau bagaimanapun, pertama kita mesti menentukan istilah "n!" (ene factorial), kerana ia akan digunakan dalam formula yang berbeza.

n! = produk dari 1 hingga n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Menggunakannya dengan nombor nyata:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3,628,800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Rumus untuk permutasi adalah seperti berikut:

nPr = n! / (nr)!

Dengan itu kita dapat mengetahui susunan di mana pesanan itu penting, dan di mana unsur-unsur nnya berbeza.

Gabungan

Permohonan

Seperti yang telah kita komen sebelumnya, kombinasi adalah susunan di mana kita tidak mementingkan kedudukan elemen.

Formulanya adalah seperti berikut:

nCr = n! / (nr)! r!

Contohnya

Sekiranya terdapat 14 orang pelajar yang ingin secara sukarela membersihkan bilik darjah, berapa banyak kumpulan pembersih yang dapat dibentuk sekiranya setiap kumpulan harus terdiri daripada 5 orang?

Oleh itu, penyelesaiannya adalah seperti berikut:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = Kumpulan 2002

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Sumber: Pixabay.com

Natalia diminta oleh ibunya untuk pergi ke kedai runcit dan membelikannya soda untuk menyejukkan badan. Semasa Natalia meminta petugas untuk minum, dia memberitahunya bahawa ada empat rasa minuman ringan, tiga jenis dan tiga ukuran.

Rasa minuman ringan boleh jadi: cola, lemon, oren dan pudina.

Jenis cola boleh menjadi: biasa, bebas gula, bebas kafein.

Ukurannya boleh: kecil, sederhana dan besar.

Ibu Natalia tidak menyatakan jenis minuman ringan yang diinginkannya. Berapa banyak cara Natalia untuk membeli minuman itu?

Penyelesaian

M = Nombor dan jenis yang boleh anda pilih semasa memilih cola.

N = Bilangan saiz dan jenis yang boleh anda pilih semasa memilih soda lemon.

W = Ukuran dan jenis nombor yang boleh anda pilih semasa memilih soda oren.

Y = Ukuran dan jenis nombor yang boleh anda pilih semasa memilih soda pudina anda.

Kami melaksanakan prinsip pengganda:

M = 3 × 3 = 9 cara

N = 3 × 3 = 9 cara

W = 3 × 3 = 9 cara

Y = 3 × 3 = 9 cara

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 cara memilih soda.

Latihan 2

Sumber: pixabay.com

Sebuah kelab sukan mengiklankan bengkel akses percuma untuk anak-anak belajar bermain skate. 20 kanak-kanak didaftarkan, jadi mereka memutuskan untuk membahagikannya kepada dua kumpulan yang terdiri daripada sepuluh orang supaya pengajar dapat mengajar kelas dengan lebih selesa.

Pada gilirannya, mereka memutuskan untuk menarik kumpulan mana setiap anak akan jatuh. Berapa banyak kumpulan yang boleh dimasuki oleh kanak-kanak?

Penyelesaian

Dalam kes ini, cara untuk mencari jawapan adalah dengan menggunakan teknik kombinasi, yang rumusnya adalah: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (bilangan anak)

r = 10 (saiz kumpulan)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184,756 kumpulan.

Rujukan

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "Pengantar Teori Kebarangkalian dan Aplikasinya", (Vol 1), Edisi ke-3, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Asas logik dan pengukuran kebarangkalian subjektif". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Pengenalan Statistik Matematik (edisi ke-6). Sungai Saddle Atas: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Bukti dan Kebarangkalian Sebelum Pascal, Johns Hopkins University Press.