SET TEORI: CIRI, ELEMEN, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The teori set adalah satu cabang logik yang matematik bertanggungjawab untuk kajian hubungan antara entiti dipanggil set. Set dicirikan oleh kumpulan objek dengan sifat yang sama. Objek-objek tersebut adalah unsur-unsur himpunan dan boleh berupa: angka, huruf, angka geometri, kata-kata yang mewakili objek, objek itu sendiri dan lain-lain.

Georg Cantor, menjelang akhir abad ke-19, yang mengusulkan teori set. Sementara ahli matematik terkenal lain pada abad ke-20 membuat formalisasi mereka: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel antara lain.

Rajah 1. Gambarajah Venn bagi set A, B dan persimpangan mereka A⋂ B. (Penjelasan sendiri).

Gambar rajah Venn adalah cara grafik untuk mewakili satu set, dan ia terdiri daripada gambar satah tertutup yang merupakan unsur-unsur dari set tersebut.

Sebagai contoh, dalam Rajah 1 dua set A dan B ditunjukkan, yang mempunyai unsur yang sama, elemen yang sama dengan A dan B. Ini membentuk satu set baru yang disebut set persimpangan A dan B, yang ditulis dalam bentuk simbolik seperti berikut:

A ∩ B

ciri-ciri

Set adalah konsep primitif kerana dalam geometri konsep titik, garis atau satah. Tidak ada cara yang lebih baik untuk menyatakan konsep daripada menunjukkan contoh:

Set E dibentuk oleh warna bendera Sepanyol. Cara mengekspresikan himpunan ini disebut dengan pemahaman. Set E yang sama ditulis dengan sambungan adalah:

E = {merah, kuning}

Dalam kes ini, merah dan kuning adalah elemen dari set E. Perlu diingatkan bahawa elemen tersebut disenaraikan dalam pendakap dan tidak diulang. Untuk bendera Sepanyol terdapat tiga jalur berwarna (merah, kuning, merah), dua di antaranya diulang, tetapi unsur-unsurnya tidak diulang ketika keseluruhan dinyatakan.

Katakan set V yang dibentuk oleh tiga huruf vokal pertama:

V = {a, e, i}

Daya set V, dilambangkan dengan P (V) adalah set semua set yang dapat dibentuk dengan unsur-unsur V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Jenis set

Set terhingga

Ia adalah satu set di mana unsur-unsurnya dapat dikira. Contoh set terhingga adalah huruf abjad Sepanyol, huruf vokal Sepanyol, planet sistem Suria, antara lain. Bilangan elemen dalam set terhingga disebut kardinalitasnya.

Set yang tidak terhingga

Satu set tak terhingga dapat difahami bahawa jumlah elemennya tidak dapat dihitung, kerana tidak kira seberapa besar jumlah elemennya, selalu ada kemungkinan untuk mencari lebih banyak elemen.

Contoh set tak terhingga adalah sekumpulan nombor semula jadi N, yang dalam bentuk luas dinyatakan seperti berikut:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Jelas merupakan set yang tidak terhingga, kerana tidak kira seberapa besar bilangan semula jadi, yang terbesar berikutnya selalu dapat dijumpai, dalam proses yang tidak berkesudahan. Jelas sekali kardinaliti set tidak terhingga adalah ∞.

Set kosong

Ia adalah set yang tidak mengandungi unsur apa pun. Set V kosong dilambangkan dengan Ø atau sepasang kunci tanpa unsur di dalamnya:

V = {} = Ø.

Set kosong itu unik, oleh itu mestilah tidak betul untuk mengatakan "set kosong", bentuk yang betul adalah dengan mengatakan "set kosong".

Di antara sifat set kosong yang kita ada, ia adalah subset dari sebarang set:

Ø ⊂ A

Selanjutnya, jika satu set adalah subset dari set kosong, maka set yang dinyatakan itu akan menjadi kekosongan:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Set kesatuan

Set unit adalah set yang mengandungi unsur tunggal. Sebagai contoh, set satelit semula jadi Bumi adalah satu set kesatuan, yang satu-satunya elemen adalah Bulan. Set B bilangan bulat kurang dari 2 dan lebih besar daripada sifar hanya mempunyai elemen 1, oleh itu ia adalah satuan unit.

Set binari

Satu set adalah binari jika hanya mempunyai dua elemen. Contohnya set X, sehingga x adalah penyelesaian nombor nyata x ^ 2 = 2. Set demi pelanjutan ini ditulis seperti ini:

X = {-√2, + √2}

Set universal

Set universal adalah satu set yang mengandungi kumpulan lain dari jenis atau sifat yang sama. Contohnya, set nombor semula jadi sejagat adalah set nombor nyata. Tetapi nombor sebenarnya adalah satu set universal dan juga nombor bulat dan nombor rasional.

Item teras

- Hubungan antara set

Dalam perhimpunan, pelbagai jenis hubungan dapat dijalin antara mereka dan elemennya. Sekiranya dua set A dan B mempunyai unsur yang sama persis di antara mereka, hubungan persamaan dijalin, dilambangkan sebagai berikut:

A = B

Sekiranya semua elemen set A tergolong dalam kumpulan B, tetapi tidak semua unsur B tergolong dalam A, maka di antara set ini terdapat hubungan inklusi yang dilambangkan seperti ini:

A ⊂ B, tetapi B ⊄ A

Ungkapan di atas berbunyi: A adalah subset B, tetapi B bukan subset A.

Untuk menunjukkan bahawa beberapa elemen atau elemen tergolong dalam satu set, simbol keahlian ∈ digunakan, misalnya untuk mengatakan bahawa unsur x atau elemen milik kumpulan A ditulis secara simbolik seperti ini:

x ∈ A

Sekiranya elemen tidak termasuk dalam set A, hubungan ini ditulis seperti ini:

dan ∉ A

Hubungan keanggotaan wujud antara elemen satu set dan set, dengan pengecualian satu-satunya set kuasa, set kuasa adalah koleksi atau set semua set yang mungkin yang dapat dibentuk dengan unsur-unsur set tersebut.

Katakan V = {a, e, i}, set kuasanya adalah P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i} , {a, e, i}}, dalam hal ini set V menjadi unsur dari set P (V) dan dapat ditulis:

V ∈ P (V)

- Sifat kemasukan

Properti pertama penyertaan menetapkan bahawa setiap set terkandung dalam dirinya sendiri, atau dengan kata lain, bahawa itu adalah subset dari dirinya sendiri:

A ⊂ A

Harta penyertaan lain adalah transitiviti: jika A adalah subset dari B dan B pada gilirannya subset dari C, maka A adalah subset dari C. Dalam bentuk simbolik, hubungan transitiviti ditulis seperti berikut:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

Berikut adalah rajah Venn yang sesuai dengan keterangkuman kemasukan:

Rajah 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Operasi antara set

Persimpangan

Persimpangan adalah operasi antara dua set yang menimbulkan set baru milik set universal yang sama dengan dua yang pertama. Dalam erti kata itu, ia adalah operasi tertutup.

Secara simbolik, operasi persimpangan dirumuskan seperti ini:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Contohnya adalah seperti berikut: himpunan huruf A dalam kata "unsur" dan kumpulan huruf B dari kata "berulang", persimpangan antara A dan B ditulis seperti ini:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Set universal U dari A, B dan juga A⋂B adalah kumpulan huruf abjad Sepanyol.

Kesatuan

Penyatuan dua set adalah himpunan yang dibentuk oleh unsur-unsur yang sama bagi kedua-dua set dan unsur-unsur yang tidak biasa dari dua set itu. Operasi penyatuan antara set dinyatakan secara simbolik seperti ini:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

Beza

Perbezaan operasi set A tolak set B dilambangkan oleh AB. AB adalah set baru yang dibentuk oleh semua elemen yang ada di dalam A dan yang bukan milik B. Secara simboliknya ditulis seperti ini:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Rajah 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Perbezaan simetri

Perbezaan simetri adalah operasi antara dua set di mana set yang dihasilkan terdiri daripada unsur-unsur yang tidak biasa bagi kedua set tersebut. Perbezaan simetri dilambangkan secara simbolik seperti ini:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Contoh

Contoh 1

Gambarajah Venn adalah kaedah grafik untuk mewakili set. Contohnya, set huruf C dalam kumpulan kata ditunjukkan seperti ini:

Contoh 2

Di bawah ini ditunjukkan oleh gambar rajah Venn bahawa kumpulan huruf vokal dalam kata "set" adalah subset dari set huruf dalam kata "set".

Contoh 3

Set Ñ huruf abjad Sepanyol adalah set terhingga, set ini oleh sambungan ditulis seperti ini:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w , x, y, z} dan kardinalitasnya ialah 27.

Contoh 4

Set V vokal dalam bahasa Sepanyol adalah subset dari set Ñ:

Oleh itu, V ⊂ Ñ adalah satu set terhingga.

Set V terhingga dalam bentuk luas ditulis seperti ini: V = {a, e, i, o, u} dan kardinalitasnya adalah 5.

Contoh 5

Diberi set A = {2, 4, 6, 8} dan B = {1, 2, 4, 7, 9}, tentukan AB dan BA.

A - B adalah unsur A yang tidak terdapat dalam B:

A - B = {6, 8}

B - A adalah unsur B yang tidak terdapat dalam A:

B - A = {1, 7, 9}

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Tulis dalam bentuk simbolik dan juga dengan memanjangkan set P nombor genap yang kurang daripada 10.

Penyelesaian: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Latihan 2

Anggaplah set A yang terbentuk oleh nombor semula jadi yang merupakan faktor 210, dan set B yang dibentuk oleh nombor semula jadi prima kurang dari 9. Tentukan secara perpanjangan kedua-dua set itu dan jalin hubungan antara kedua set tersebut.

Penyelesaian: Untuk menentukan unsur-unsur set A, kita mesti bermula dengan mencari faktor nombor semula jadi 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Kemudian set A ditulis:

A = {2, 3, 5, 7}

Kami sekarang menganggap set B, yang bilangan prima kurang dari 9. 1 tidak prima kerana tidak memenuhi definisi prima: "nombor adalah prima jika dan hanya jika ia mempunyai dua pembahagi, 1 dan nombor itu sendiri." 2 adalah genap dan pada masa yang sama adalah prima kerana memenuhi definisi prima, bilangan prima yang lain kurang dari 9 adalah 3, 5 dan 7. Oleh itu, set B adalah:

B = {2, 3, 5, 7}

Oleh itu kedua-dua set itu sama: A = B.

Latihan 3

Tentukan set yang unsurnya x berbeza dengan x.

Penyelesaian: C = {x / x ≠ x}

Oleh kerana setiap elemen, bilangan atau objek sama dengan dirinya sendiri, set C tidak boleh lain daripada set kosong:

C = Ø

Latihan 4

Biarkan set N nombor semula jadi dan Z menjadi himpunan bilangan bulat. Tentukan N ⋂ Z dan N ∪ Z.

Penyelesaian:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z kerana N ⊂ Z.

Rujukan

1. Garo, M. (2014). Matematik: persamaan kuadratik: Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadratik. Marilù Garo.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik untuk pengurusan dan ekonomi. Pendidikan Pearson.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Ambang.
4. Preciado, CT (2005). Kursus Matematik ke-3. Progreso Editorial.
5. Matematik 10 (2018). "Contoh Set Terhingga". Dipulihkan dari: matematicas10.net
6. Wikipedia. Teori set. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com