The Bayes Theorem adalah prosedur yang memungkinkan kita untuk menyatakan kebarangkalian bersyarat dari peristiwa rawak A yang diberikan B, dari segi taburan kebarangkalian peristiwa A dan B kerana taburan kebarangkalian hanya A.
Teorema ini sangat berguna, kerana berkat itu kita dapat mengaitkan kebarangkalian peristiwa A berlaku dengan mengetahui bahawa B berlaku, dengan kebarangkalian berlawanan berlaku, iaitu, B terjadi diberikan A.
Teorema Bayes adalah cadangan perak oleh Pendeta Thomas Bayes, seorang teolog Inggeris abad ke-18 yang juga ahli matematik. Dia adalah pengarang beberapa karya dalam teologi, tetapi hari ini dia terkenal dengan beberapa risalah matematik, di antaranya Bayes Theorem yang disebutkan di atas menonjol sebagai hasil utama.
Bayes membahas teorema ini dalam sebuah makalah yang berjudul "Sebuah Esei untuk menyelesaikan Masalah dalam Doktrin Kemungkinan", yang diterbitkan pada tahun 1763, dan di mana sejumlah besar telah dikembangkan. kajian dengan aplikasi dalam pelbagai bidang pengetahuan.
Penjelasan
Pertama, untuk pemahaman yang lebih baik mengenai teorema ini, beberapa konsep asas teori kebarangkalian diperlukan, terutamanya teorema pendaraban untuk kebarangkalian bersyarat, yang menyatakan bahawa
Untuk peristiwa E dan A sewenang-wenangnya dari ruang sampel S.
Dan definisi partisi, yang memberitahu kita bahawa jika kita mempunyai peristiwa A 1 , A 2 , …, A n ruang sampel S, ini akan membentuk partisi S, jika A i saling eksklusif dan penyatuannya adalah S.
Dengan ini, biarlah B menjadi acara lain. Oleh itu, kita dapat melihat B sebagai
Di mana A saya bersilang dengan B adalah acara yang saling eksklusif.
Oleh itu,
Kemudian, menerapkan teorema pendaraban
Sebaliknya, kebarangkalian bersyarat untuk Ai diberikan B ditentukan oleh
Mengganti dengan tepat kita mempunyai itu untuk i
Aplikasi Teorem Bayes
Berkat hasil ini, kumpulan penyelidikan dan pelbagai syarikat berjaya meningkatkan sistem yang berdasarkan pengetahuan.
Sebagai contoh, dalam kajian penyakit, teorema Bayes dapat membantu mengetahui kebarangkalian penyakit itu dijumpai pada sekelompok orang dengan ciri tertentu, dengan mengambil data kadar global penyakit dan kelaziman ciri tersebut di baik orang sihat dan orang sakit.
Sebaliknya, dalam dunia teknologi tinggi, syarikat ini telah mempengaruhi syarikat-syarikat besar yang telah berkembang, berkat hasil ini, perisian "Berasaskan Pengetahuan".
Sebagai contoh harian kita mempunyai pembantu Microsoft Office. Teorema Bayes membantu perisian menilai masalah yang dikemukakan pengguna dan menentukan nasihat apa yang harus diberikan sehingga dapat menawarkan perkhidmatan yang lebih baik sesuai dengan kebiasaan pengguna.
Terutama, formula ini tidak dipedulikan hingga akhir-akhir ini, ini terutama kerana ketika hasil ini dikembangkan 200 tahun yang lalu, hanya ada sedikit praktik penggunaannya. Namun, pada masa ini, berkat kemajuan teknologi yang hebat, para saintis telah menemui cara untuk mempraktikkan hasil ini.
Latihan yang Diselesaikan
Latihan 1
Sebuah syarikat telefon bimbit mempunyai dua mesin A dan B. 54% telefon bimbit yang dihasilkan dibuat oleh mesin A dan selebihnya oleh mesin B. Tidak semua telefon bimbit yang dihasilkan berada dalam keadaan baik.
Bahagian telefon bimbit yang rosak yang dibuat oleh A adalah 0.2 dan oleh B adalah 0.5. Berapakah kemungkinan telefon bimbit dari kilang itu rosak? Apakah kemungkinan bahawa, mengetahui bahawa telefon bimbit rosak, ia berasal dari mesin A?
Penyelesaian
Di sini, anda mempunyai eksperimen yang dilakukan dalam dua bahagian; pada bahagian pertama peristiwa berlaku:
A: sel yang dibuat oleh mesin A.
B: sel yang dibuat oleh mesin B.
Oleh kerana mesin A menghasilkan 54% telefon bimbit dan selebihnya dihasilkan oleh mesin B, maka mesin B menghasilkan 46% telefon bimbit. Kebarangkalian kejadian ini diberikan, iaitu:
P (A) = 0.54.
P (B) = 0.46.
Kejadian bahagian kedua eksperimen adalah:
D: telefon bimbit yang rosak.
E: telefon bimbit yang tidak rosak.
Seperti yang dinyatakan dalam pernyataan, kebarangkalian kejadian ini bergantung pada hasil yang diperoleh pada bahagian pertama:
P (DA) = 0.2.
P (DB) = 0.5.
Dengan menggunakan nilai-nilai ini, kebarangkalian pelengkap peristiwa ini juga dapat ditentukan, yaitu:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0.2
= 0.8
dan
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0.5.
Sekarang acara D boleh ditulis seperti berikut:
Menggunakan Teorema Pendaraban untuk hasil kebarangkalian bersyarat:
Oleh itu, soalan pertama dijawab.
Sekarang kita hanya perlu mengira P (AD), yang mana Teorem Bayes diterapkan:
Berkat teorema Bayes, dapat dinyatakan bahawa kebarangkalian telefon bimbit dibuat oleh mesin A, dengan mengetahui bahawa telefon bimbitnya rosak, adalah 0,319.
Latihan 2
Tiga kotak mengandungi bola hitam dan putih. Komposisi masing-masing adalah seperti berikut: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Salah satu kotak dipilih secara rawak dan bola dilukis secara rawak yang ternyata berwarna putih. Kotak apa yang kemungkinan besar telah dipilih?
Penyelesaian
Dengan menggunakan U1, U2 dan U3, kami juga akan mewakili kotak yang dipilih.
Peristiwa-peristiwa ini merupakan partisi S dan disahkan bahawa P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 kerana pilihan kotak adalah rawak.
Sekiranya B = {bola yang dilukis berwarna putih}, kita akan mempunyai P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Apa yang ingin kami perolehi adalah kebarangkalian bahawa bola telah dikeluarkan dari kotak Ui mengetahui bahawa bola tersebut berwarna putih, yaitu, P (Ui -B), dan lihat dari ketiga nilai mana yang paling tinggi untuk mengetahui kotak kemungkinan besar pengekstrakan bola isyarat.
Menerapkan teorema Bayes pada kotak pertama:
Dan untuk dua yang lain:
P (U2-B) = 2/6 dan P (U3-B) = 1/6.
Kemudian kotak pertama adalah kotak dengan kebarangkalian paling tinggi dipilih untuk pengekstrakan bola isyarat.
Rujukan
- Kai Lai Chung. Teori Kebolehlaksanaan Elemen dengan Proses Stokastik. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen. Matematik diskrit dan aplikasinya SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Kebarangkalian dan Aplikasi Statistik. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Menyelesaikan Masalah Matematik Diskrit. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Masalah Teori dan Kebarangkalian. McGRAW-HILL.