TEOREMA BOLZANO: PENJELASAN, APLIKASI DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The Bolzano teorem menyatakan bahawa jika fungsi selanjar pada setiap titik selang tertutup dan berpuas hati bahawa imej "a" dan "b" (di bawah majlis itu) mempunyai tanda-tanda bertentangan, maka akan ada sekurang-kurangnya satu mata " c "dalam selang terbuka (a, b), sedemikian rupa sehingga fungsi yang dinilai dalam" c "akan sama dengan 0.

Teorema ini diucapkan oleh ahli falsafah, ahli teologi dan ahli matematik Bernard Bolzano pada tahun 1850. Saintis ini, yang lahir di Republik Czech sekarang, adalah salah seorang ahli matematik pertama dalam sejarah yang membuat bukti rasmi mengenai sifat fungsi berterusan.

Penjelasan

Teorema Bolzano juga dikenali sebagai teorema nilai perantaraan, yang membantu dalam menentukan nilai-nilai tertentu, terutama nol, fungsi nyata tertentu dari pemboleh ubah nyata.

Dalam fungsi tertentu f (x) berterusan-iaitu, f (a) dan f (b) dihubungkan oleh lengkung-, di mana f (a) berada di bawah paksi-x (ia negatif), dan f (b) oleh di atas paksi x (positif), atau sebaliknya, secara grafik akan ada titik pemotongan pada paksi x yang akan mewakili nilai perantara «c», yang akan berada di antara «a» dan «b», dan nilai f (c) akan sama dengan 0.

Semasa menganalisis teorema Bolzano secara grafik, dapat dilihat bahawa untuk setiap fungsi berterusan f yang ditentukan pada selang waktu, di mana f (a) _* f (b) kurang dari 0, akan ada sekurang-kurangnya satu akar «c» fungsi tersebut di dalam selang (a, b).

Teorema ini tidak menentukan bilangan titik dalam selang terbuka itu, hanya menyatakan bahawa terdapat sekurang-kurangnya 1 titik.

Demonstrasi

Untuk membuktikan teorema Bolzano, diasumsikan tanpa kehilangan umum bahawa f (a) <0 dan f (b)> 0; dengan demikian, boleh ada banyak nilai antara "a" dan "b" yang f (x) = 0, tetapi hanya satu yang perlu ditunjukkan.

Kita mulakan dengan menilai f di titik tengah (a + b) / 2. Sekiranya f ((a + b) / 2) = 0 maka buktinya berakhir di sini; jika tidak, maka f ((a + b) / 2) adalah positif atau negatif.

Salah satu bahagian dari selang dipilih, sehingga tanda-tanda fungsi yang dinilai di hujungnya berbeza. Selang baru ini akan.

Sekarang, jika f yang dinilai pada titik tengah tidak sifar, maka operasi yang sama seperti sebelumnya dilakukan; iaitu, separuh daripada selang ini dipilih yang memenuhi syarat tanda-tanda. Biarkan ini menjadi selang baru.

Sekiranya anda meneruskan proses ini, anda akan mempunyai dua urutan {an} dan {bn}, seperti:

{an} semakin meningkat dan {bn} semakin menurun:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Sekiranya anda mengira panjang setiap selang, anda harus:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

….

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Oleh itu, had ketika n menghampiri infiniti (bn-an) sama dengan 0.

Menggunakan bahawa {an} semakin meningkat dan dibatasi dan {bn} semakin menurun dan dibatasi, kita mempunyai nilai «c» sehingga:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Had an adalah "c" dan had {bn} juga "c". Oleh itu, mengingat d> 0, selalu ada "n" sedemikian sehingga selang terkandung dalam selang waktu (c-δ, c + δ).

Sekarang, mesti ditunjukkan bahawa f (c) = 0.

Sekiranya f (c)> 0, maka kerana f adalah berterusan, terdapat ε> 0 sedemikian rupa sehingga f positif sepanjang keseluruhan selang (c - ε, c + ε). Namun, seperti disebutkan di atas, ada nilai "n" sedemikian rupa sehingga perubahan f masuk dan, apalagi, terkandung dalam (c - ε, c + ε), yang merupakan kontradiksi.

Sekiranya f (c) <0, maka kerana f adalah berterusan, terdapat ε> 0 sedemikian sehingga f adalah negatif sepanjang selang waktu (c - ε, c + ε); tetapi terdapat nilai "n" sehingga perubahan f masuk. Ternyata ia terkandung dalam (c - ε, c + ε), yang juga merupakan percanggahan.

Oleh itu, f (c) = 0 dan inilah yang ingin kami buktikan.

Untuk apa itu?

Dari penafsiran grafiknya, teorema Bolzano digunakan untuk mencari akar atau nol dalam fungsi berterusan, melalui pembahagian (penghampiran), yang merupakan kaedah pencarian tambahan yang selalu membagi selang dengan 2.

Kemudian selang diambil atau di mana perubahan tanda berlaku, dan proses diulang sehingga selang waktu lebih kecil dan lebih kecil, agar dapat mendekati nilai yang diinginkan; iaitu, ke nilai yang dibuat oleh fungsi 0.

Ringkasnya, untuk menerapkan teorema Bolzano dan dengan itu mencari akarnya, hadkan angka nol fungsi atau berikan penyelesaian kepada persamaan, langkah-langkah berikut dilakukan:

- Ia disahkan jika f adalah fungsi berterusan pada selang masa.

- Sekiranya selang tidak diberikan, seseorang mesti dijumpai di mana fungsinya berterusan.

- Ia disahkan sekiranya selang yang paling hujung memberikan tanda bertentangan ketika dinilai dalam f.

- Sekiranya tanda bertentangan tidak diperoleh, selang mesti dibahagikan kepada dua subinterval menggunakan titik tengah.

- Nilai fungsi pada titik tengah dan sahkan bahawa hipotesis Bolzano berpuas hati, di mana f (a) _* f (b) <0.

- Bergantung pada tanda (positif atau negatif) nilai yang dijumpai, proses diulang dengan subinterval baru sehingga hipotesis yang disebutkan di atas dipenuhi.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Tentukan apakah fungsi f (x) = x ² - 2, mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian sebenar dalam selang masa.

Penyelesaian

Kami mempunyai fungsi f (x) = x ² - 2. Oleh kerana ia bersifat polinomial, ini bermaksud ia berterusan dalam setiap selang waktu.

Ia diminta untuk menentukan apakah ia mempunyai penyelesaian yang nyata dalam selang waktu, jadi sekarang hanya perlu mengganti selang yang paling ekstrem dalam fungsi untuk mengetahui tanda-tanda ini dan untuk mengetahui apakah mereka memenuhi syarat untuk menjadi berbeza:

f (x) = x ² - 2

f (1) = 1 ² - 2 = -1 (negatif)

f (2) = 2 ² - 2 = 2 (positif)

Oleh itu, tanda f (1) ≠ tanda f (2).

Ini memastikan bahawa terdapat sekurang-kurangnya satu titik "c" yang termasuk dalam selang waktu, di mana f (c) = 0.

Dalam kes ini, nilai "c" dapat dikira dengan mudah seperti berikut:

x ² - 2 = 0

x = ± √2.

Oleh itu, √2 ≈ 1,4 tergolong dalam selang dan memenuhi f (√2) = 0.

Latihan 2

Tunjukkan bahawa persamaan x ⁵ + x + 1 = 0 mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian sebenar.

Penyelesaian

Mari kita perhatikan terlebih dahulu bahawa f (x) = x ⁵ + x + 1 adalah fungsi polinomial, yang bermaksud bahawa ia berterusan pada semua nombor nyata.

Dalam kes ini, tidak ada selang waktu yang diberikan, jadi nilai mesti dipilih secara intuitif, lebih baik mendekati 0, untuk menilai fungsi dan mencari tanda perubahan:

Sekiranya anda menggunakan selang waktu, anda mesti:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1 ⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Oleh kerana tidak ada perubahan tanda, proses diulang dengan selang waktu yang lain.

Sekiranya anda menggunakan selang waktu, anda mesti:

f (x) = x ⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1) ⁵ + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 0 ⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

Dalam selang waktu ini terdapat perubahan tanda: tanda f (-1) ≠ tanda f (0), yang bermaksud bahawa fungsi f (x) = x ⁵ + x + 1 mempunyai sekurang-kurangnya satu punca sebenar «c» dalam selang waktu, sehingga f (c) = 0. Dengan kata lain, adalah benar bahawa x ⁵ + x + 1 = 0 mempunyai penyelesaian sebenar dalam selang waktu tersebut.

Rujukan

1. Bronshtein I, SK (1988). Manual Matematik untuk Jurutera dan Pelajar. . Editorial MIR.
2. George, A. (1994). Matematik dan Minda. Akhbar Universiti Oxford.
3. Ilín V, PE (1991). Analisis matematik. Dalam tiga jilid. .
4. Jesús Gómez, FG (2003). Guru Pendidikan Menengah. Jilid II. MAD.
5. Mateos, ML (2013). Sifat asas analisis dalam R. Editores, 20 Dis.
6. Piskunov, N. (1980). Kalkulus Pembezaan dan Integral. .
7. Sydsaeter K, HP (2005). Matematik untuk Analisis Ekonomi. Felix Varela.
8. William H. Barker, RH (nd). Simetri Berterusan: Dari Euclid hingga Klein. Soc Matematik Amerika.