TEOREMA EUCLID: BUKTI, APLIKASI DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The teorem Euclid menunjukkan sifat-sifat sebuah segitiga untuk menarik garis yang membahagi ia ke dalam dua segi tiga baru yang sama dan, seterusnya, adalah sama dengan segi tiga asal; maka, ada hubungan perkadaran.

Euclid adalah salah seorang ahli matematik dan ahli geometri terhebat pada zaman dahulu yang melakukan beberapa bukti teorema penting. Salah satu yang utama adalah yang mempunyai namanya, yang memiliki aplikasi yang luas.

Ini berlaku kerana, melalui teorema ini, ia menerangkan secara sederhana hubungan geometri yang ada di segitiga kanan, di mana kaki segitiga berkaitan dengan unjurannya pada hipotenus.

Rumusan dan demonstrasi

Teorema Euclid mengemukakan bahawa di setiap segitiga kanan, apabila garis dilukis - yang mewakili ketinggian yang sepadan dengan bucu sudut kanan sehubungan dengan hipotenuse - dua segitiga kanan terbentuk dari yang asal.

Segitiga ini akan serupa antara satu sama lain dan juga serupa dengan segitiga asal, yang bermaksud bahawa sisi serupa mereka berkadar antara satu sama lain:

Sudut ketiga segitiga itu sepadan; iaitu, apabila mereka diputar 180 darjah mengenai bucu mereka, satu sudut bertepatan dengan yang lain. Ini menunjukkan bahawa mereka semua akan sama.

Dengan cara ini, persamaan yang ada di antara ketiga-tiga segitiga itu juga dapat disahkan oleh persamaan sudut mereka. Dari kesamaan segitiga, Euclid menetapkan bahagian ini dari dua teorema:

- Teorema ketinggian.

- Teorema kaki.

Teorema ini mempunyai aplikasi yang luas. Pada zaman purba ia digunakan untuk mengira ketinggian atau jarak, yang mewakili kemajuan besar untuk trigonometri.

Saat ini diterapkan dalam berbagai bidang yang berdasarkan matematik, seperti kejuruteraan, fizik, kimia dan astronomi, di antara banyak bidang lain.

Teorema ketinggian

Dalam teorema ini dinyatakan bahawa dalam segitiga kanan mana pun, ketinggian yang diambil dari sudut kanan sehubungan dengan hipotenuse adalah min berkadar geometri (segiempat tinggi) antara unjuran kaki yang ditentukannya pada hipotenus.

Maksudnya, segiempat sama tinggi dengan pendaraban kaki yang diproyeksikan yang membentuk hipotenus:

h _c ² = m _* n

Demonstrasi

Diberi segitiga ABC, yang tepat di bucu C, plot ketinggian menghasilkan dua segitiga kanan yang serupa, ADC dan BCD; oleh itu, sisi yang sepadan adalah berkadar:

Dengan cara yang tinggi h _c yang sesuai dengan segmen CD, sesuai dengan hipotenus AB = c, maka kita memiliki:

Sebaliknya, ini sepadan dengan:

Menyelesaikan hipotenus (h _c ), untuk memperbanyak dua anggota persamaan, kita mempunyai:

h _{c *} h _{c =} m _* n

h _c ² = m _* n

Oleh itu, nilai hipotenus diberikan oleh:

Teorema kaki

Dalam teorema ini, dinyatakan bahawa, di setiap segitiga kanan, ukuran setiap kaki akan menjadi min berkadar geometri (segiempat setiap kaki) antara ukuran hipotenus (lengkap) dan unjuran setiap satu di atasnya:

b ² = c _* m

a ² = c _* n

Demonstrasi

Diberi segitiga ABC, yang tepat di bucu C, sedemikian rupa sehingga hipotenusinya c, ketika merencanakan ketinggian (h) unjuran kaki a dan b ditentukan, yang merupakan segmen m dan n masing-masing, dan yang terletak di atas hipotenus.

Oleh itu, kita mempunyai bahawa ketinggian yang dilukis pada segitiga kanan ABC menghasilkan dua segitiga kanan yang serupa, ADC dan BCD, sehingga sisi yang sesuai berkadar, seperti ini:

DB = n, yang merupakan unjuran kaki CB ke hipotenus.

AD = m, yang merupakan unjuran AC kaki pada hipotenus.

Kemudian, hipotenus c ditentukan oleh jumlah kaki unjurannya:

c = m + n

Oleh kerana persamaan segitiga ADC dan BCD, kami mempunyai:

Perkara di atas adalah sama dengan:

Menyelesaikan masalah "a" untuk melipatgandakan dua anggota persamaan, kita mempunyai:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

Oleh itu, nilai kaki "a" diberikan oleh:

Dengan cara yang sama, kerana kesamaan segitiga ACB dan ADC, kami mempunyai:

Perkara di atas sama dengan:

Menyelesaikan masalah "b" untuk melipatgandakan dua anggota persamaan, kita mempunyai:

b _* b = c _* m

b ² = c _* m

Oleh itu, nilai kaki "b" diberikan oleh:

Hubungan antara teorema Euclid

Teorema dengan merujuk kepada ketinggian dan kaki saling berkaitan antara satu sama lain kerana ukuran kedua-duanya dibuat berkenaan dengan hipotenus segi tiga tepat.

Melalui hubungan teorema Euclid, nilai ketinggian juga dapat dijumpai; ini dimungkinkan dengan menyelesaikan nilai m dan n dari teorem kaki dan ia digantikan dalam teorem ketinggian. Dengan cara ini dapat dicapai bahawa ketinggian sama dengan pendaraban kaki, dibahagi dengan hipotenus:

b ² = c _* m

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

Dalam teorema ketinggian kita menggantikan m dan n:

h _c ² = m _* n

h _c ² = (b ² ÷ c) _* (a ² ÷ c)

h _c = (b ² _* a ² ) ÷ c

Latihan yang diselesaikan

Contoh 1

Diberi segitiga ABC, tepat di A, tentukan ukuran AC dan AD, jika AB = 30 cm dan BD = 18 cm

Penyelesaian

Dalam kes ini, kita mempunyai ukuran salah satu kaki yang diproyeksikan (BD) dan salah satu kaki segitiga asal (AB). Dengan cara ini, teorem kaki dapat diterapkan untuk mencari nilai kaki BC.

AB ² = BD _* SM

(30) ² = 18 _* SM

900 = 18 _* SM

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Nilai CD kaki boleh didapati dengan mengetahui bahawa BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Sekarang mungkin untuk menentukan nilai kaki AC, menerapkan teorema kaki lagi:

AC ² = CD _* BD

AC ² = 32 _* 50

AC ² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Untuk menentukan nilai ketinggian (AD), teorema ketinggian diterapkan, kerana nilai CD dan BD kaki yang diproyeksikan diketahui:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

IKLAN = √576

AD = 24 cm

Contoh 2

Tentukan nilai ketinggian (h) segitiga MNL, tepat di N, dengan mengetahui ukuran segmen:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

Penyelesaian

Kami mempunyai ukuran salah satu kaki yang diproyeksikan pada hipotenus (PM), serta ukuran kaki segitiga asal. Dengan cara ini, teorema kaki dapat diterapkan untuk mencari nilai kaki yang diproyeksikan (LN) yang lain:

NL ² = PM _* LM

(10) ² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Oleh kerana nilai kaki dan hipotenus sudah diketahui, melalui hubungan teorema ketinggian dan kaki, nilai ketinggian dapat ditentukan:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b ² _* a ² ) ÷ c.

h = (10 ² _* 5 ² ) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

Rujukan

1. Braun, E. (2011). Kekacauan, fraktal dan perkara pelik. Tabung Budaya Ekonomi.
2. Cabrera, VM (1974). Matematik Moden, Jilid 3.
3. Daniel Hernandez, DP (2014). Matematik tahun 3. Caracas: Santillana.
4. Ensiklopedia Britannica, i. (Sembilan-belas sembilan puluh lima). Ensiklopedia Hispanik: Macropedia. Penerbit Ensiklopedia Britannica.
5. Euclid, RP (1886). Elemen Geometri Euclid.
6. Guardeño, AJ (2000). Warisan matematik: dari Euclid hingga Newton, para genius melalui buku mereka. Universiti Sevilla.