TEOREMA MILETUS TALES: PERTAMA, KEDUA DAN CONTOH - MATEMATIK - 2025

Teorema Thales of Miletus pertama dan kedua didasarkan pada menentukan segitiga dari yang serupa (teorema pertama) atau dari bulatan (teorema kedua). Mereka sangat berguna di pelbagai bidang. Sebagai contoh, teorema pertama sangat berguna untuk mengukur struktur besar apabila tidak ada alat ukur canggih.

Thales of Miletus adalah ahli matematik Yunani yang memberikan sumbangan besar terhadap geometri, di mana kedua-dua teorema ini menonjol (dalam beberapa teks ia juga ditulis sebagai Thales) dan aplikasi berguna mereka. Hasil ini telah digunakan sepanjang sejarah dan memungkinkan untuk menyelesaikan pelbagai masalah geometri.

Thales of Miletus

Teorema Pertama Thales

Teorema pertama Thales adalah alat yang sangat berguna yang, antara lain, memungkinkan pembinaan segitiga serupa dengan yang lain yang pernah diketahui sebelumnya. Dari sini pelbagai versi teorema diturunkan yang dapat diterapkan dalam pelbagai konteks.

Sebelum memberikan pernyataan anda, mari kita ingat beberapa tanggapan tentang persamaan segitiga. Pada dasarnya, dua segitiga serupa jika sudut mereka sepadan (mereka mempunyai ukuran yang sama). Ini menghasilkan fakta bahawa jika dua segitiga serupa, sisi mereka yang sesuai (atau homolog) adalah berkadar.

Teorema pertama Thales menyatakan bahawa jika garis dilukis selari dengan mana-mana sisinya dalam segitiga tertentu, segitiga baru yang diperoleh akan serupa dengan segitiga awal.

Hubungan juga diperoleh antara sudut yang terbentuk, seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut.

Permohonan

Di antara banyak aplikasinya, salah satu kepentingan tertentu menonjol dan berkaitan dengan salah satu cara pengukuran dibuat dari struktur besar di Antiquity, masa di mana Thales tinggal dan di mana tidak ada alat ukur moden yang mereka wujud sekarang.

Dikatakan bahawa ini adalah bagaimana Thales berjaya mengukur piramid tertinggi di Mesir, Cheops. Untuk ini, Thales berpendapat bahawa pantulan sinar suria menyentuh tanah membentuk garis selari. Dengan anggapan ini, dia memaku tongkat atau tongkat secara menegak ke tanah.

Dia kemudian menggunakan kesamaan dari dua segitiga yang dihasilkan, satu dibentuk oleh panjang bayangan piramid (yang dapat dihitung dengan mudah) dan ketinggian piramid (yang tidak diketahui), dan yang lain dibentuk oleh panjang bayangan dan ketinggian rod (yang juga dapat dikira dengan mudah).

Dengan menggunakan perkadaran antara panjang ini, ketinggian piramid dapat diselesaikan dan diketahui.

Walaupun kaedah pengukuran ini dapat memberikan kesalahan penghampiran yang signifikan berkaitan dengan ketepatan ketinggian dan bergantung pada paralelisme sinar suria (yang pada gilirannya bergantung pada waktu yang tepat), harus diakui bahawa ini adalah idea yang sangat bijak dan bahawa ia memberikan alternatif pengukuran yang baik untuk masa ini.

Contoh

Cari nilai x dalam setiap kes:

Teorema kedua Thales

Teorema kedua Thales menentukan segitiga kanan yang tertulis dalam bulatan pada setiap titik bulatan.

Segitiga yang tertulis pada lilitan adalah segitiga yang bucunya berada di lilitan, sehingga tetap terkandung di dalamnya.

Secara khusus, teorema kedua Thales menyatakan yang berikut: diberi bulatan dengan pusat O dan diameter AC, setiap titik B pada lilitan (selain A dan C) menentukan segitiga kanan ABC, dengan sudut kanan

Sebagai alasan, mari kita perhatikan bahawa OA dan OB dan OC sesuai dengan jejari lilitan; oleh itu, ukuran mereka sama. Dari ini dapat dilihat bahawa segitiga OAB dan OCB adalah isosceles, di mana

Telah diketahui bahawa jumlah sudut segitiga sama dengan 180º. Menggunakan ini dengan segitiga ABC kita mempunyai:

2b + 2a = 180º.

Sama, kita mempunyai b + a = 90º dan b + a =

Perhatikan bahawa segitiga kanan yang disediakan oleh teorema kedua Thales adalah tepat yang hipotenus sama dengan diameter lilitan. Oleh itu, ia ditentukan sepenuhnya oleh separuh bulatan yang mengandungi titik-titik segi tiga; dalam kes ini, separuh bulatan atas.

Mari kita perhatikan juga bahawa dalam segitiga kanan yang diperoleh melalui teorema kedua Thales, hipotenus dibahagikan kepada dua bahagian yang sama oleh OA dan OC (radius). Pada gilirannya, ukuran ini sama dengan segmen OB (juga jejari), yang sepadan dengan median segitiga ABC oleh B.

Dengan kata lain, panjang median segitiga kanan ABC yang sepadan dengan bucu B sepenuhnya ditentukan oleh separuh hipotenus. Ingat bahawa median segitiga adalah segmen dari salah satu bucu ke titik tengah dari seberang; dalam kes ini, segmen BO.

Lilitan bulat

Cara lain untuk melihat teorema kedua Thales adalah melalui lilitan yang dibatasi pada segitiga kanan.

Secara umum, lilitan yang dilampirkan pada poligon terdiri dari lilitan yang melewati setiap bucunya, bila mungkin untuk melukisnya.

Dengan menggunakan teorema kedua Thales, yang diberi segitiga tepat, kita selalu dapat membina lilitan yang dilampirkan padanya, dengan jari-jari sama dengan setengah hipotenus dan pusat (pusat lilitan) sama dengan titik tengah hipotenus.

Permohonan

Aplikasi teorema kedua Thales yang sangat penting, dan mungkin yang paling banyak digunakan, adalah mencari garis tangen ke lingkaran tertentu, melalui titik P di luarnya (diketahui).

Perhatikan bahawa diberi bulatan (dilukis dengan warna biru pada gambar di bawah) dan titik luaran P, terdapat dua garis yang bersinggungan dengan bulatan yang melewati P. Biarkan T dan T 'menjadi titik tangensi, r jari-jari bulatan, dan Atau pusat.

Telah diketahui bahawa segmen yang bergerak dari pusat bulatan ke titik tangensi yang sama, adalah tegak lurus dengan garis tangen ini. Jadi sudut OTP betul.

Dari apa yang kita lihat sebelumnya dalam teorema pertama Thales dan versi yang berbeza, kita melihat bahawa mungkin untuk menyisipkan segitiga OTP dalam bulatan lain (berwarna merah).

Begitu juga, bahawa segitiga OT'P dapat ditulis dalam keliling sebelumnya yang sama.

Dengan teorema kedua Thales, kami juga mengetahui bahawa diameter lilitan baru ini adalah tepatnya hipotenus OTP segitiga (yang sama dengan hipotenus segitiga OT'P), dan pusatnya adalah titik tengah hipotenus ini.

Untuk mengira pusat lilitan baru, maka sudah cukup untuk mengira titik tengah antara pusat - katakanlah M - lilitan awal (yang sudah kita ketahui) dan titik P (yang juga kita ketahui). Maka jejari akan menjadi jarak antara titik M dan P ini.

Dengan jari-jari dan pusat bulatan merah kita dapat mencari persamaan Cartesiannya, yang kita ingat diberikan oleh (xh) ² + (yk) ² = c ² , di mana c adalah jejari dan titik (h, k) adalah pusat lilitan.

Dengan mengetahui persamaan kedua-dua lingkaran, kita dapat memotongnya dengan menyelesaikan sistem persamaan yang dibentuk oleh mereka, dan dengan itu memperoleh titik-titik tangensi T dan T '. Akhirnya, untuk mengetahui garis tangen yang diinginkan, cukup untuk mencari persamaan garis yang melalui T dan P, dan melalui T 'dan P.

Contohnya

Pertimbangkan lilitan diameter AC, pusat O, dan jejari 1 cm. Biarkan B menjadi titik pada lilitan sehingga AB = AC. Berapa tinggi AB?

Penyelesaian

Dengan teorema kedua Thales, kita berpendapat bahawa segitiga ABC betul dan hipotenus sesuai dengan diameter, yang dalam hal ini berukuran 2 cm (radius 1 cm). Kemudian, dengan teorema Pythagoras kita mempunyai:

Rujukan

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometri dan trigonometri. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., & Hirsch, L. (1996). Algebra dan trigonometri dengan geometri analisis. Pendidikan Pearson.
3. Gutiérrez, Á. KE. (2004). Metodologi dan aplikasi matematik di ESO Kementerian Pendidikan.
4. IGER. (2014). Matematik Kedua Semester Zaculeu. Guatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematik 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometri dan Geometri Analitik. Pendidikan Pearson.
7. Pérez, MA (2009). Sejarah Matematik: Cabaran Dan Penumpuan Melalui Perwatakannya. Libros Visi Editorial.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Geometri Analisis Pesawat. Editorial Venezolana CA