TEOREMA BINOMIAL: BUKTI DAN CONTOH - MATEMATIK

The teorem binomial adalah satu persamaan yang memberitahu kita bagaimana untuk membangunkan ungkapan borang di (a + b) ⁿ untuk beberapa nombor n semula jadi. Binomial tidak lebih daripada jumlah dua elemen, seperti (a + b). Ini juga membolehkan kita mengetahui istilah yang diberikan oleh ^k b ^n-k berapakah pekali yang menyertainya.

Teorema ini biasanya dikaitkan dengan penemu Inggeris, ahli fizik dan ahli matematik Sir Isaac Newton; Namun, terdapat banyak catatan yang menunjukkan bahawa keberadaannya sudah diketahui di Timur Tengah, sekitar tahun 1000.

Nombor gabungan

Teorema binomial secara matematik memberitahu kami perkara berikut:

Dalam ungkapan ini a dan b adalah nombor nyata dan n adalah nombor semula jadi.

Sebelum memberikan demo, mari kita lihat beberapa konsep asas yang perlu.

Nombor kombinatori atau gabungan n dalam k dinyatakan seperti berikut:

Bentuk ini menyatakan nilai berapa subset dengan elemen k yang dapat dipilih dari sekumpulan unsur n. Ungkapan algebra diberikan oleh:

Mari kita lihat satu contoh: andaikan kita mempunyai sekumpulan tujuh bola, yang mana dua berwarna merah dan selebihnya berwarna biru.

Kami ingin mengetahui berapa banyak kaedah yang dapat kami aturkan secara berturut-turut. Salah satu caranya ialah meletakkan kedua merah di posisi pertama dan kedua, dan bola yang selebihnya berada di posisi yang tersisa.

Sama seperti kes sebelumnya, kami dapat memberikan bola merah pada kedudukan pertama dan terakhir masing-masing, dan menduduki yang lain dengan bola biru.

Sekarang kaedah yang berkesan untuk mengira berapa banyak cara kita dapat mengatur bola berturut-turut adalah dengan menggunakan nombor kombinatori. Kita dapat melihat setiap kedudukan sebagai elemen dari set berikut:

Maka hanya tinggal memilih subkumpulan dua elemen, di mana setiap elemen ini mewakili kedudukan yang akan ditempati oleh bola merah. Kita boleh membuat pilihan ini mengikut hubungan yang diberikan oleh:

Dengan cara ini, kita mempunyai 21 cara untuk memesan bola ini.

Idea umum contoh ini akan sangat berguna dalam membuktikan teorem binomial. Mari kita lihat kes tertentu: jika n = 4, kita mempunyai (a + b) ⁴ , yang tidak lebih daripada:

Apabila kita mengembangkan produk ini, kita akan tinggal dengan jumlah istilah yang diperoleh dengan menggandakan satu elemen dari setiap empat faktor (a + b). Oleh itu, kita akan mempunyai istilah yang berupa:

Sekiranya kita ingin memperoleh istilah dalam tingkatan ⁴ , kita hanya perlu mengalikan seperti berikut:

Perhatikan bahawa hanya ada satu cara untuk mendapatkan elemen ini; tetapi apa yang berlaku jika kita sekarang mencari istilah bentuk ² b ² ? Oleh kerana "a" dan "b" adalah angka nyata dan, oleh itu, undang-undang komutatif berlaku, kita mempunyai satu cara untuk mendapatkan istilah ini adalah dengan memperbanyak dengan anggota seperti yang ditunjukkan oleh anak panah.

Melakukan semua operasi ini biasanya agak membosankan, tetapi jika kita melihat istilah "a" sebagai gabungan di mana kita ingin mengetahui berapa banyak cara kita dapat memilih dua "a" dari sekumpulan empat faktor, kita dapat menggunakan idea dari contoh sebelumnya. Oleh itu, kami mempunyai perkara berikut:

Oleh itu, kita tahu bahawa dalam pengembangan akhir ungkapan (a + b) ⁴ kita akan mempunyai tepat 6a ² b ² . Dengan menggunakan idea yang sama untuk elemen lain, anda harus:

Kemudian kita menambahkan ungkapan yang diperoleh sebelumnya dan kita mempunyai:

Ini adalah bukti rasmi untuk kes umum di mana "n" adalah nombor semula jadi.

Demonstrasi

Perhatikan bahawa istilah yang ditinggalkan dengan mengembang (a + b) ⁿ adalah dalam bentuk a ^k b ^n-k , di mana k = 0,1,…, n. Dengan menggunakan idea contoh sebelumnya, kita mempunyai cara untuk memilih «k» pemboleh ubah «a» dari faktor «n» adalah:

Dengan memilih dengan cara ini, kita secara automatik memilih pemboleh ubah nk "b". Dari sinilah yang berikut:

Contoh

Dengan mempertimbangkan (a + b) ⁵ , bagaimana perkembangannya?

Dengan teorem binomial kita mempunyai:

Teorema binomial sangat berguna jika kita mempunyai ungkapan di mana kita ingin mengetahui apa pekali istilah tertentu tanpa perlu melakukan pengembangan sepenuhnya. Sebagai contoh kita boleh mengambil perkara berikut yang tidak diketahui: berapakah pekali x ⁷ dan ⁹ dalam pengembangan (x + y) ¹⁶ ?

Dengan teorema binomial, kita mempunyai nilai pekali:

Contoh lain ialah: apakah pekali x ⁵ dan ⁸ dalam pengembangan (3x-7y) ¹³ ?

Mula-mula kita menulis semula ungkapan dengan cara yang mudah; ini adalah:

Kemudian, dengan menggunakan teorema binomial, kita dapati bahawa pekali yang dicari adalah ketika kita mempunyai k = 5

Contoh lain penggunaan teorema ini adalah bukti beberapa identiti umum, seperti yang akan kita sebutkan seterusnya.

Identiti 1

Sekiranya «n» adalah nombor semula jadi, kita mempunyai:

Sebagai bukti kami menggunakan teorema binomial, di mana «a» dan «b» mengambil nilai 1. Kemudian kami mempunyai:

Dengan cara ini kita telah membuktikan identiti pertama.

Identiti 2

Sekiranya "n" adalah nombor semula jadi, maka

Dengan teorem binomial kita mempunyai:

Demonstrasi lain

Kita boleh membuat bukti yang berbeza untuk teorema binomial menggunakan kaedah induktif dan identiti Pascal, yang memberitahu kita bahawa, jika «n» dan «k» adalah bilangan bulat positif yang memuaskan n ≥ k, maka:

Bukti aruhan

Mari kita lihat bahawa asas induktif berlaku. Sekiranya n = 1, kita mempunyai:

Sesungguhnya, kita melihat bahawa ia dipenuhi. Sekarang, biarkan n = j sehingga:

Kami ingin melihat bahawa untuk n = j + 1 adalah benar bahawa:

Oleh itu kita harus:

Dengan hipotesis kita mengetahui bahawa:

Kemudian, menggunakan harta pengedaran:

Selepas itu, mengembangkan setiap penjumlahan, kami mempunyai:

Sekarang, jika kita berkelompok dengan cara yang mudah, kita mempunyai:

Dengan menggunakan identiti pascal, kami mempunyai:

Akhir sekali, perhatikan bahawa:

Oleh itu, kita melihat bahawa teorema binomial berlaku untuk semua "n" yang tergolong dalam nombor semula jadi, dan dengan ini buktinya berakhir.

Rasa ingin tahu

Nombor kombinatorial (nk) juga disebut pekali binomial kerana tepat adalah pekali yang muncul dalam pengembangan binomial (a + b) ⁿ .

Isaac Newton memberikan generalisasi teorema ini untuk kes di mana eksponen adalah nombor nyata; Teorema ini dikenali sebagai teorem binomial Newton.

Sudah pada zaman purba, hasil ini terkenal dengan kes tertentu di mana n = 2. Kes ini disebut dalam Euclid's Elements.

Rujukan

Johnsonbaugh Richard. Matematik diskrit. PHH
Kenneth.H. Rosen. Matematik diskrit dan aplikasinya. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Matematik diskrit. McGRAW-HILL.
Ralph P. Grimaldi. Matematik Discrete dan Combinatorial. Addison-Wesley Iberoamericana
Bintang Hijau Luis. . Antropos Matematik Discrete dan Combinatorial

TEOREMA BINOMIAL: BUKTI DAN CONTOH - MATEMATIK - 2026