TEORI ASAS ARITMETIK: BUKTI, APLIKASI, LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The teorem asas aritmetik menyatakan bahawa mana-mana yang lebih besar nombor asli daripada 1 boleh dihuraikan sebagai produk nombor perdana - ada yang berulang - dan borang ini adalah unik untuk jumlah itu, walaupun perintah satu faktor mungkin berbeza.

Ingat bahawa nombor perdana p adalah nombor yang hanya mengakui dirinya dan 1 sebagai pembahagi positif. Nombor berikut adalah bilangan prima: 2, 3, 5, 7, 11, 13 dan seterusnya, kerana terdapat infiniti. Nombor 1 tidak dianggap utama, kerana hanya mempunyai satu pembahagi.

Gambar 1. Euclid (kiri) membuktikan teorem asas aritmetik dalam bukunya Elements (350 SM), dan bukti lengkap pertama adalah disebabkan oleh Carl F. Gauss (1777-1855) (kanan). Sumber: Wikimedia Commons.

Sebaliknya, nombor yang tidak mematuhi perkara di atas disebut nombor komposit, seperti 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Mari kita ambil nombor 10 misalnya dan dengan segera kita melihat bahawa ia dapat diuraikan sebagai produk 2 dan 5:

10 = 2 × 5

Kedua-dua 2 dan 5 adalah nombor prima dengan berkesan. Teorema menyatakan bahawa ini mungkin untuk sebarang nombor n:

Di mana p ₁ , p ₂ , p ₃ … p _r adalah nombor perdana dan k ₁ , k ₂ , k ₃ ,… k _r adalah nombor semula jadi. Oleh itu, nombor perdana bertindak sebagai blok bangunan dari mana, melalui pendaraban, nombor semula jadi dibina.

Bukti teorem asas aritmetik

Kita mulakan dengan menunjukkan bahawa setiap nombor dapat diuraikan menjadi faktor utama. Biarkan menjadi nombor semula jadi n> 1, perdana atau komposit.

Contohnya jika n = 2, ia boleh dinyatakan sebagai: 2 = 1 × 2, yang merupakan perdana. Dengan cara yang sama, teruskan dengan nombor berikut:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

Kami terus seperti ini, menguraikan semua nombor semula jadi sehingga mencapai nombor n -1. Mari kita lihat sama ada kita dapat melakukannya dengan nombor berikut: n.

Sekiranya n adalah perdana, kita boleh menguraikannya sebagai n = 1 × n, tetapi anggap n adalah komposit dan mempunyai pembahagi d, secara logiknya kurang daripada n:

1 <d <n.

Sekiranya n / d = p ₁ , dengan p ₁ nombor perdana, maka n ditulis sebagai:

n = p ₁ .d

Sekiranya d adalah perdana tidak ada lagi yang perlu dilakukan, tetapi jika tidak, ada nombor n ₂ yang merupakan pembahagi d dan kurang dari ini: n ₂ <d, jadi d boleh ditulis sebagai produk n ₂ oleh yang lain nombor perdana p ₂ :

d = p ₂ n ₂

Apabila menggantikan nombor asal n akan memberikan:

n = p ₁ .p ₂ .n ₂

Sekarang anggap n ₂ bukan nombor perdana dan kita menulisnya sebagai produk nombor perdana p ₃ , oleh pembahagi n ₃ , sehingga n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p ₃ .n ₃ → n = p ₁ p ₂ p ₃ .n ₃

Kami mengulangi prosedur ini beberapa kali sehingga kami memperoleh:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r

Ini bermaksud bahawa mungkin untuk menguraikan semua nombor bulat dari 2 hingga nombor n, sebagai produk nombor perdana.

Keunikan pemfaktoran utama

Sekarang mari kita sahkan bahawa kecuali susunan faktor, penguraian ini unik. Anggap n dapat ditulis dengan dua cara:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r = q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s (dengan r ≤ s)

Sudah tentu q ₁ , q ₂ , q ₃ … juga nombor perdana. Oleh kerana p ₁ membahagi (q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s ) maka p ₁ sama dengan mana-mana “q”, tidak masalah yang mana, jadi kita dapat mengatakan bahawa p ₁ = q ₁ . Kami membahagikan n dengan p ₁ dan memperoleh:

p ₂ .p ₃ … p _r = _. q ₂ .q ₃ … ..q _s

Kami mengulangi prosedur sehingga kami membahagikan semuanya dengan p _r , kemudian kami memperoleh:

1 = q _{r + 1} … q _s

Tetapi tidak mungkin tiba di q _{r + 1} … q _s = 1 ketika r <s, hanya jika r = s. Walaupun dengan mengakui bahawa r = s, juga diakui bahawa "p" dan "q" adalah sama. Oleh itu penguraian adalah unik.

Permohonan

Seperti yang telah kita katakan sebelumnya, nombor perdana mewakili, jika anda suka, atom nombor, komponen asasnya. Oleh itu, teorem asas aritmetik mempunyai banyak aplikasi, yang paling jelas: kita dapat bekerja dengan bilangan yang lebih banyak dengan lebih mudah jika kita menyatakannya sebagai produk nombor yang lebih kecil.

Dengan cara yang sama, kita dapat mencari gandaan sepunya terbesar (LCM) dan pembahagi umum terbesar (GCF), prosedur yang membantu kita membuat penambahan pecahan dengan lebih mudah, mencari akar bilangan besar, atau beroperasi dengan radikal, merasionalisasi dan menyelesaikan masalah aplikasi yang sangat pelbagai.

Tambahan pula, nombor perdana sangat misterius. Corak belum dikenali di dalamnya dan tidak mungkin untuk mengetahui yang mana yang seterusnya. Yang terbesar setakat ini dijumpai oleh komputer dan mempunyai 24,862,048 digit, walaupun nombor perdana baru muncul lebih jarang setiap kali.

Nombor perdana di alam semula jadi

Cicadas, cicádidos atau cicada yang tinggal di timur laut Amerika Syarikat muncul dalam kitaran 13 atau 17 tahun. Mereka berdua nombor perdana.

Dengan cara ini, jangkrik menghindari bertepatan dengan pemangsa atau pesaing yang mempunyai tempoh kelahiran yang lain, begitu juga dengan varietas jangkrik yang berlainan yang saling bersaing, kerana mereka tidak bertepatan pada tahun yang sama.

Gambar 2. Magicicada cicada timur Amerika Syarikat muncul setiap 13 hingga 17 tahun. Sumber: Pxfuel.

Nombor utama dan membeli-belah dalam talian

Nombor perdana digunakan dalam kriptografi untuk merahsiakan perincian kad kredit semasa membuat pembelian melalui Internet. Dengan cara ini, data bahawa pembeli sampai ke kedai dengan tepat tanpa hilang atau jatuh ke tangan orang yang tidak bertanggungjawab.

Bagaimana? Data pada kad dikodekan dalam angka N yang dapat dinyatakan sebagai produk nombor perdana. Nombor utama ini adalah kunci yang diungkapkan oleh data, tetapi tidak diketahui oleh orang ramai, mereka hanya dapat di-decode di web yang dituju.

Menguraikan nombor menjadi faktor adalah tugas yang mudah jika bilangannya kecil (lihat latihan yang diselesaikan), tetapi dalam kes ini nombor perdana 100 digit digunakan sebagai kuncinya, yang apabila mengalikannya memberikan nombor yang jauh lebih besar, yang penguraian terperincinya melibatkan tugas besar .

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Pecahkan 1029 menjadi faktor utama.

Penyelesaian

1029 boleh dibahagi dengan 3. Ia diketahui kerana apabila menambahkan digitnya, jumlahnya adalah gandaan 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. Oleh kerana urutan faktor tidak mengubah produk, kita boleh bermula di sana:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

Sebaliknya 343 = 7 ³ , maka:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

Dan kerana kedua-dua 3 dan 7 adalah nombor perdana, ini adalah penguraian 1029.

- Latihan 2

Faktor trinomial x ² + 42x + 432.

Penyelesaian

Trinomial ditulis semula dalam bentuk (x + a). (x + b) dan kita perlu mencari nilai a dan b, seperti:

a + b = 42; ab = 432

Nombor 432 diuraikan menjadi faktor utama dan dari situ kombinasi yang sesuai dipilih oleh percubaan dan kesilapan sehingga faktor tambahan memberikan 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

Dari sini terdapat beberapa kemungkinan untuk menulis 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….

Dan semuanya dapat dijumpai dengan menggabungkan produk di antara faktor utama, tetapi untuk menyelesaikan latihan yang dicadangkan, satu-satunya kombinasi yang sesuai adalah: 432 = 24 × 18 sejak 24 + 18 = 42, maka:

x ² + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)

Rujukan

1. Baldor, A. 1986. Aritmetik praktikal teori. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. Dunia BBC. Kod Alam Tersembunyi. Dipulihkan dari: bbc.com.
3. De Leon, Manuel. Nombor utama: penjaga internet. Dipulihkan dari: blogs.20minutos.es.
4. UNAM. Nombor Teori I: Teori Asas Aritmetik. Dipulihkan dari: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. Wikipedia. Teori asas aritmetik. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org.