TRANSFORMASI FOURIER: SIFAT, APLIKASI, CONTOH - MATEMATIK - 2026

The jelmaan Fourier adalah kecukupan analisis kaedah berorientasikan kepada fungsi terkamir yang tergolong dalam keluarga jelmaan kamiran. Ia terdiri daripada definisi semula fungsi f (t) dari segi Cos (t) dan Sen (t).

Identiti trigonometri fungsi-fungsi ini, bersama-sama dengan ciri turunan dan antiderivasinya, berfungsi untuk menentukan transformasi Fourier melalui fungsi kompleks berikut:

Yang benar selagi ungkapan itu masuk akal, iaitu ketika integral yang tidak betul saling bertumpu. Secara algebra transformasi Fourier dikatakan sebagai homeomorfisme linear.

Setiap fungsi yang dapat dikerjakan dengan transformasi Fourier mesti ada di luar parameter yang ditentukan.

Hartanah

Sumber: pexels

Transformasi Fourier memenuhi sifat berikut:

Kehadiran

Untuk mengesahkan adanya transformasi Fourier dalam fungsi f (t) yang ditentukan dalam reals R , 2 aksioma berikut mesti dipenuhi:

1. f (t) adalah kepingan berterusan untuk semua R
2. f (t) boleh disepadukan dalam R

Lineariti transformasi Fourier

Biarkan M (t) dan N (t) menjadi dua fungsi dengan transformasi Fourier yang pasti, dengan sebarang pemalar a dan b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Yang juga disokong oleh linearitas kamiran dengan nama yang sama.

Transformasi Fourier terbitan

Terdapat fungsi f yang berterusan dan dapat disatukan dalam semua bidang, di mana:

Dan terbitan f (f ') adalah berterusan dan ditentukan secara sepotong sepanjang R

Transformasi Fourier derivatif didefinisikan oleh penyatuan oleh bahagian, dengan ungkapan berikut:

F (z) = iz F (z)

Dalam turunan yang lebih tinggi, ia akan diterapkan dengan cara yang homolog, di mana untuk semua n 1 kita mempunyai:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Pembezaan transformasi Fourier

Terdapat fungsi f yang berterusan dan dapat disatukan dalam semua bidang, di mana:

Transformasi Fourier terjemahan

Untuk setiap θ yang termasuk dalam set S dan T yang termasuk dalam set S ', kami mempunyai:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Dengan τ _yang bekerja sebagai operator terjemahan pada vektor a.

Terjemahan transformasi Fourier

Untuk setiap θ yang termasuk dalam set S dan T yang termasuk dalam set S ', kami mempunyai:

τ _a F = F τ _a F = F

Untuk semua daripada yang dimiliki oleh R

Transformasi Fourier kumpulan skala

Untuk semua θ yang termasuk dalam set S. T yang termasuk dalam set S '

λ milik R - {0} kami mempunyai:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Sekiranya f adalah fungsi yang berterusan dan dapat disatukan dengan jelas, di mana> 0. Kemudian:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Untuk menunjukkan hasil ini, kita dapat meneruskan perubahan pemboleh ubah.

Apabila T → + maka s = pada → + ∞

Apabila T → - maka s = pada → - ∞

Simetri

Untuk mengkaji simetri transformasi Fourier, identiti formula Parseval dan Plancherel mesti disahkan.

Kami mempunyai θ dan δ yang tergolong dalam S. Dari situ dapat disimpulkan bahawa:

Mendapatkan

1 / (2π) ^d { F, F } Identiti pengenalan

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Formula plancherel

Transformasi Fourier produk konvolusi

Mengejar objektif yang serupa seperti dalam transformasi Laplace, konvolusi fungsi merujuk pada produk antara transformasi Fourier mereka.

Kami mempunyai f dan g sebagai 2 fungsi terikat, ditentukan dan dapat disatukan sepenuhnya:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Kesinambungan dan jatuh ke tak terhingga

Untuk apa transformasi Fourier?

Ini berfungsi terutamanya untuk menyederhanakan persamaan dengan ketara, sambil mengubah ekspresi yang diturunkan menjadi elemen kuasa, menunjukkan ungkapan pembezaan dalam bentuk polinomial yang dapat disatukan.

Dalam pengoptimuman, modulasi dan pemodelan hasil, ia bertindak sebagai ungkapan standard, menjadi sumber yang kerap untuk kejuruteraan setelah beberapa generasi.

Siri Fourier

Mereka adalah siri yang ditakrifkan dari segi Cosines and Sines; Mereka berfungsi untuk memudahkan kerja dengan fungsi berkala umum. Apabila digunakan, mereka adalah sebahagian daripada teknik untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa dan separa.

Siri Fourier lebih umum daripada siri Taylor, kerana mereka mengembangkan fungsi tak berkala berkala yang tidak mempunyai representasi siri Taylor.

Bentuk lain dari siri Fourier

Untuk memahami transformasi Fourier secara analitis, penting untuk mengkaji bentuk-bentuk lain di mana siri Fourier dapat dijumpai, sehingga siri Fourier dapat didefinisikan dalam notasi kompleksnya.

-Fourier siri pada fungsi tempoh 2L

Berkali-kali diperlukan untuk menyesuaikan struktur siri Fourier ke fungsi berkala yang tempohnya adalah p = 2L> 0 dalam selang waktu.

-Siri lebih bagus dalam fungsi ganjil dan genap

Selang dipertimbangkan, yang menawarkan kelebihan ketika memanfaatkan ciri simetri fungsi.

Sekiranya f genap, siri Fourier ditetapkan sebagai siri Cosines.

Sekiranya f adalah ganjil, siri Fourier ditetapkan sebagai siri Sines.

-Notasi kompleks siri Fourier

Sekiranya kita mempunyai fungsi f (t), yang memenuhi semua syarat pengembangan dari siri Fourier, adalah mungkin untuk menandakannya dalam selang waktu menggunakan notasi kompleksnya:

Permohonan

Sumber: pexels

Pengiraan penyelesaian asas

Transformasi Fourier adalah alat yang ampuh dalam kajian persamaan pembezaan separa jenis linear dengan pekali tetap. Mereka memohon fungsi dengan domain tanpa batas sama.

Seperti transformasi Laplace, transformasi Fourier mengubah fungsi terbitan separa menjadi persamaan pembezaan biasa yang lebih mudah dikendalikan.

Masalah Cauchy untuk persamaan haba menunjukkan bidang penggunaan transformasi Fourier yang kerap di mana nukleus haba atau fungsi inti Dirichlet dihasilkan.

Mengenai pengiraan penyelesaian asas, kes-kes berikut disajikan di mana lazimnya mencari transformasi Fourier:

Teori isyarat

Sebab umum penerapan transformasi Fourier di cabang ini sebahagian besarnya disebabkan oleh ciri penguraian isyarat sebagai superposisi tak terbatas dari isyarat yang lebih mudah dirawat.

Ia boleh menjadi gelombang suara atau gelombang elektromagnetik, transformasi Fourier menyatakannya dalam superposisi gelombang sederhana. Perwakilan ini agak kerap berlaku dalam kejuruteraan elektrik.

Sebaliknya, adalah contoh penerapan transformasi Fourier dalam bidang teori isyarat:

Contoh

Contoh 1

Tentukan transformasi Fourier untuk ungkapan berikut:

Kami juga dapat melambangkannya dengan cara berikut:

F (t) = Sen (t)

Nadi segi empat tepat ditakrifkan:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Transformasi Fourier diterapkan pada ungkapan berikut yang menyerupai teorem modulasi.

f (t) = p (t) Sen (t)

Di mana: F = (1/2) i

Dan transformasi Fourier ditakrifkan oleh:

F = (1/2) i

Contoh 2

Tentukan transformasi Fourier untuk ungkapan:

Oleh kerana f (h) adalah fungsi genap, maka dapat dinyatakan bahawa

Integrasi oleh bahagian diterapkan dengan memilih pemboleh ubah dan perbezaannya seperti berikut

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Mengganti yang anda ada

Setelah membuat penilaian di bawah teorem asas kalkulus

Menerapkan pengetahuan sebelumnya mengenai persamaan pembezaan orde pertama, ungkapan dilambangkan sebagai

Untuk mendapatkan K kami menilai

Akhirnya, transformasi Fourier ungkapan ditakrifkan sebagai

Latihan yang dicadangkan

• 

• 

• Dapatkan perubahan ungkapan W / (1 + w ² )

Rujukan

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., analisis Fourier. Addison– Wesley Iberoamericana, Universiti Autonomi Madrid, 1995.
2. Lions, JL, Analisis Matematik dan Kaedah Berangka untuk Sains dan Teknologi. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, kernel Gauss hanya mempunyai pemaksimum gaussian. Buat. Matematik. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series dan Integrals. Akademik Akhbar, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distribution. Ed. Hermann, Paris, 1966.