TRANSFORMASI LAPLACE: DEFINISI, SEJARAH DAN TUJUANNYA - MATEMATIK - 2026

The Laplace telah dalam tahun-tahun kebelakangan amat penting dalam pengajian kejuruteraan, matematik, fizik, antara bidang saintifik yang lain, serta sebagai kepentingan besar dalam teori, menyediakan cara yang mudah untuk menyelesaikan masalah yang datang dari sains dan kejuruteraan.

Pada mulanya transformasi Laplace disampaikan oleh Pierre-Simón Laplace dalam kajiannya mengenai teori kebarangkalian dan pada mulanya diperlakukan sebagai objek matematik yang mempunyai minat teori semata-mata.

Aplikasi semasa muncul ketika pelbagai ahli matematik berusaha memberikan justifikasi formal terhadap "peraturan operasi" yang digunakan oleh Heaviside dalam kajian persamaan teori elektromagnetik.

Definisi

Biarkan f menjadi fungsi yang ditentukan untuk t ≥ 0. Transformasi Laplace ditakrifkan seperti berikut:

Transformasi Laplace dikatakan wujud jika integral sebelumnya menyatu, sebaliknya transformasi Laplace dikatakan tidak wujud.

Secara umum, huruf kecil digunakan untuk menunjukkan fungsi yang akan diubah, dan huruf besar sesuai dengan transformasinya. Dengan cara ini kita akan mempunyai:

Contoh

Pertimbangkan fungsi malar f (t) = 1. Kami mempunyai transformasinya adalah:

Apabila integral menyatu, iaitu setiap kali s> 0. Jika tidak, s <0, integral menyimpang.

Biarkan g (t) = t. Transformasi Laplace diberikan oleh

Dengan mengintegrasikan dengan bahagian dan mengetahui bahawa te ^-st cenderung ke 0 ketika cenderung ke tak terhingga dan s> 0, bersama dengan contoh sebelumnya kita mempunyai:

Transformasi mungkin atau tidak ada, misalnya untuk fungsi f (t) = 1 / t integral yang menentukan transformasi Laplace tidak menyatu dan oleh itu transformasinya tidak wujud.

Keadaan yang mencukupi untuk menjamin bahawa transformasi Laplace dari fungsi f ada ialah f berterusan secara bertahap untuk t ≥ 0 dan mempunyai susunan eksponensial.

Fungsi dikatakan berterusan secara bertahap untuk t ≥ 0, ketika untuk selang dengan> 0, terdapat sejumlah titik t _k, di mana f mempunyai diskontinu dan berterusan di setiap subinterval.

Sebaliknya, fungsi dikatakan tertib eksponensial c jika terdapat pemalar sebenar M> 0, c dan T> 0 sehingga:

Sebagai contoh kita mempunyai f (t) = t ² adalah susunan eksponensial, kerana -t ² - <e ^3t untuk semua t> 0.

Secara formal kita mempunyai teorema berikut

Teorema (Keadaan yang mencukupi untuk kewujudan)

Sekiranya f adalah fungsi separa berterusan untuk t> 0 dan susunan eksponensial c, maka transformasi Laplace wujud untuk s> c.

Penting untuk diperhatikan bahawa ini adalah kondisi kecukupan, yaitu, mungkin ada fungsi yang tidak memenuhi syarat-syarat ini dan bahkan perubahan Laplace-nya ada.

Contohnya ialah fungsi f (t) = t ^-1/2 yang tidak berterusan secara ^bertahap untuk t ≥ 0 tetapi transformasi Laplacenya ada.

Transformasi Laplace dari beberapa fungsi asas

Jadual berikut menunjukkan perubahan Laplace dari fungsi yang paling biasa.

Sejarah

Transformasi Laplace berhutang namanya kepada Pierre-Simon Laplace, seorang ahli matematik Perancis dan ahli astronomi teori yang dilahirkan pada tahun 1749 dan meninggal pada tahun 1827. Ketenarannya sedemikian rupa sehingga dia dikenali sebagai Newton of France.

Pada tahun 1744 Leonard Euler mengabdikan pelajarannya untuk mengintegrasikan bentuknya

sebagai penyelesaian persamaan pembezaan biasa, tetapi dia dengan cepat meninggalkan penyelidikan ini. Kemudian, Joseph Louis Lagrange, yang sangat mengagumi Euler, juga menyelidiki jenis integral ini dan mengaitkannya dengan teori kebarangkalian.

1782, Laplace

Pada tahun 1782 Laplace mulai mempelajari integrasi seperti penyelesaian persamaan pembezaan dan menurut sejarawan, pada tahun 1785 dia memutuskan untuk merumuskan semula masalah, yang kemudian menimbulkan perubahan Laplace seperti yang mereka fahami sekarang.

Setelah diperkenalkan ke dalam bidang teori kebarangkalian, ia sedikit menarik minat para saintis pada masa itu dan hanya dilihat sebagai objek matematik yang hanya mempunyai minat teori.

Oliver Heaviside

Itu pada pertengahan abad kesembilan belas ketika jurutera Inggeris Oliver Heaviside mendapati bahawa operator pembezaan dapat dianggap sebagai pemboleh ubah aljabar, sehingga memberikan Laplace mengubah aplikasi moden mereka.

Oliver Heaviside adalah seorang ahli fizik Inggeris, jurutera elektrik dan ahli matematik yang dilahirkan di London pada tahun 1850 dan meninggal pada tahun 1925. Semasa cuba menyelesaikan masalah persamaan pembezaan yang diterapkan pada teori getaran dan menggunakan kajian Laplace, dia mula membentuk Aplikasi moden Transformasi Laplace.

Hasil yang dikemukakan oleh Heaviside menyebar dengan cepat ke seluruh komuniti saintifik pada masa itu, tetapi kerana karyanya tidak ketat, dia dengan cepat dikritik oleh ahli matematik yang lebih tradisional.

Namun, kegunaan karya Heaviside dalam menyelesaikan persamaan dalam fizik menjadikan kaedahnya popular di kalangan ahli fizik dan jurutera.

Walaupun terdapat kemunduran ini dan setelah beberapa dekad percubaan gagal, pada awal abad ke-20 justifikasi yang tegas dapat diberikan terhadap peraturan operasi yang diberikan oleh Heaviside.

Percubaan ini membuahkan hasil berkat usaha pelbagai ahli matematik seperti Bromwich, Carson, van der Pol, antara lain.

Hartanah

Antara sifat transformasi Laplace, yang berikut menonjol:

Lineariti

Biarkan c1 dan c2 menjadi pemalar dan fungsi f (t) dan g (t) yang Transformasi Laplace masing-masing adalah F (s) dan G (s), maka kita mempunyai:

Oleh kerana sifat ini, transformasi Laplace dikatakan sebagai operator linear.

Contohnya

Teorema terjemahan pertama

Sekiranya ia berlaku:

Dan 'a' adalah nombor nyata, jadi:

Contohnya

Oleh kerana transformasi Laplace cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) maka:

Teorema terjemahan kedua

Ya

Jadi

Contohnya

Sekiranya f (t) = t ^ 3, maka F (s) = 6 / s ^ 4. Oleh itu, perubahan

ialah G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Perubahan skala

Ya

Dan 'a' adalah nyata bukan sifar, kita harus

Contohnya

Oleh kerana penjelmaan f (t) = sin (t) adalah F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) kita mempunyai

Transformasi derivatif Laplace

Sekiranya f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ adalah berterusan bagi t ≥ 0 dan adalah susunan eksponensial dan f ⁽ⁿ⁾ (t) berterusan secara bertahap untuk t ≥ 0, maka

Transformasi integral Laplace

Ya

Jadi

Pendaraban dengan t

Sekiranya kita mesti

Jadi

Pembahagian oleh t

Sekiranya kita mesti

Jadi

Fungsi berkala

Biarkan f menjadi fungsi berkala dengan tempoh T> 0, iaitu f (t + T) = f (t), kemudian

Tingkah laku F (s) cenderung tidak terhingga

Sekiranya f berterusan dalam bahagian dan susunan eksponen dan

Jadi

Transformasi terbalik

Apabila kita menerapkan transformasi Laplace ke fungsi f (t) kita memperoleh F (s), yang mewakili transformasi ini. Dengan cara yang sama kita dapat mengatakan bahawa f (t) adalah transformasi Laplace terbalik dari F (s) dan ditulis sebagai

Kita tahu bahawa transformasi Laplace dari f (t) = 1 dan g (t) = t adalah F (s) = 1 / s dan G (s) = 1 / s ² masing-masing, oleh itu kita mempunyai

Beberapa perubahan Laplace terbalik biasa adalah seperti berikut

Selanjutnya, transformasi Laplace terbalik adalah linier, iaitu benar

Senaman

Cari

Untuk menyelesaikan latihan ini, kita mesti memadankan fungsi F dengan salah satu jadual sebelumnya. Dalam kes ini jika kita mengambil +1 = 5 dan menggunakan sifat linear dari transformasi songsang, kita membiak dan membahagi dengan 4! Mendapatkan

Untuk transformasi terbalik kedua, kita menggunakan pecahan separa untuk menulis semula fungsi F dan kemudian sifat linear, memperoleh

Seperti yang dapat kita lihat dari contoh-contoh ini, adalah umum bahwa fungsi F yang dinilai tidak sesuai dengan fungsi yang diberikan dalam jadual. Untuk kes-kes ini, seperti yang dapat dilihat, cukup untuk menulis semula fungsi sehingga mencapai bentuk yang sesuai.

Aplikasi transformasi Laplace

Persamaan pembezaan

Aplikasi utama transformasi Laplace adalah untuk menyelesaikan persamaan pembezaan.

Dengan menggunakan sifat transformasi derivatif jelas bahawa

Y terbitan n-1 dinilai pada t = 0.

Properti ini menjadikan transformasi sangat berguna untuk menyelesaikan masalah nilai awal di mana persamaan pembezaan dengan pekali tetap terlibat.

Contoh berikut menunjukkan cara menggunakan transformasi Laplace untuk menyelesaikan persamaan pembezaan.

Contoh 1

Memandangkan masalah nilai awal berikut

Gunakan transformasi Laplace untuk mencari penyelesaiannya.

Kami menerapkan transformasi Laplace pada setiap anggota persamaan pembezaan

Dengan sifat transformasi derivatif yang kita ada

Dengan mengembangkan semua ungkapan dan membersihkan Y yang kita ada

Menggunakan pecahan separa untuk menulis semula bahagian kanan persamaan yang kita dapat

Akhirnya, tujuan kami adalah untuk mencari fungsi y (t) yang memenuhi persamaan pembezaan. Menggunakan transformasi Laplace terbalik memberi kita hasilnya

Contoh 2

Selesaikan

Seperti dalam kes sebelumnya, kami menerapkan perubahan pada kedua sisi persamaan dan memisahkan istilah demi istilah.

Dengan cara ini kita mempunyai hasilnya

Mengganti dengan nilai awal yang diberikan dan menyelesaikan untuk Y (s)

Dengan menggunakan pecahan mudah, kita dapat menulis semula persamaan seperti berikut

Dan menerapkan transformasi Laplace terbalik memberi kita hasilnya

Dalam contoh-contoh ini, seseorang mungkin salah menyimpulkan bahawa kaedah ini tidak jauh lebih baik daripada kaedah tradisional untuk menyelesaikan persamaan pembezaan.

Kelebihan transformasi Laplace adalah bahawa anda tidak perlu menggunakan variasi parameter atau bimbang tentang pelbagai kes kaedah pekali tidak ditentukan.

Sebagai tambahan, ketika menyelesaikan masalah nilai awal dengan kaedah ini, sejak awal kita menggunakan syarat awal, jadi tidak perlu melakukan pengiraan lain untuk mencari jalan penyelesaian tertentu.

Sistem persamaan pembezaan

Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk mencari penyelesaian terhadap persamaan pembezaan biasa yang serentak, seperti yang ditunjukkan oleh contoh berikut.

Contohnya

Selesaikan

Dengan syarat awal x (0) = 8 dan y (0) = 3.

Sekiranya kita mesti

Jadi

Menyelesaikan memberi kita hasilnya

Dan menggunakan transformasi Laplace terbalik yang kita ada

Mekanik dan litar elektrik

Transformasi Laplace sangat penting dalam fizik, terutamanya mempunyai aplikasi untuk mekanik dan litar elektrik.

Litar elektrik ringkas terdiri daripada unsur-unsur berikut

Suis, bateri atau sumber, induktor, perintang, dan kapasitor. Apabila suis ditutup, arus elektrik dihasilkan yang dilambangkan dengan i (t). Cas pada kapasitor dilambangkan dengan q (t).

Berdasarkan undang-undang kedua Kirchhoff, voltan yang dihasilkan oleh sumber E dalam litar tertutup harus sama dengan jumlah setiap penurunan voltan.

Arus elektrik i (t) berkaitan dengan cas q (t) pada kapasitor dengan i = dq / dt. Sebaliknya, penurunan voltan pada setiap elemen ditakrifkan sebagai berikut:

Penurunan voltan merintangi perintang ialah iR = R (dq / dt)

Kejatuhan voltan merentas induktor adalah L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Penurunan voltan pada kapasitor ialah q / C

Dengan data-data ini dan menerapkan undang-undang kedua Kirchhoff ke litar tertutup sederhana, persamaan pembezaan pesanan kedua diperoleh yang menerangkan sistem dan membolehkan kita menentukan nilai q (t).

Contohnya

Induktor, kapasitor, dan perintang disambungkan ke bateri E, seperti yang ditunjukkan dalam gambar. Induktor adalah 2 henries, kapasitor adalah 0,02 farad dan rintangannya adalah 16 ohm. Pada masa t = 0 litar ditutup. Cari cas dan arus pada bila-bila masa t> 0 jika E = 300 volt.

Kami mempunyai persamaan pembezaan yang menggambarkan litar ini adalah berikut

Di mana keadaan awal adalah q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Dengan menggunakan transformasi Laplace, kita mendapatnya

Dan menyelesaikan untuk Q (t)

Kemudian, menggunakan transformasi Laplace terbalik yang kita ada

Rujukan

1. G. Holbrook, J. (1987). Transformasi Laplace untuk jurutera elektronik. Limusa.
2. Ruiz, LM, & Hernandez, MP (2006). Persamaan pembezaan dan perubahan Laplace dengan aplikasi. UPV editorial.
3. Simmons, GF (1993). Persamaan pembezaan dengan aplikasi dan catatan sejarah. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplace berubah. McGraw-Hill.
5. Zill, DG, & Cullen, MR (2008). Persamaan pembezaan dengan masalah nilai sempadan. Cengage Learning Editores, SA