TRANSFORMASI FOURIER DISKRIT: SIFAT, APLIKASI, CONTOH - MATEMATIK - 2025

The diskret Fourier adalah kaedah berangka digunakan untuk menentukan sampel merujuk kepada frekuensi spektrum yang membentuk isyarat. Ia mengkaji fungsi berkala dalam parameter tertutup, menghasilkan satu lagi isyarat diskrit.

Untuk mendapatkan transformasi Fourier diskrit dari titik N, pada isyarat diskrit, 2 syarat berikut mesti dipenuhi pada urutan x

TDF

Transformasi Fourier diskrit dapat didefinisikan sebagai pensampelan titik-N dari transformasi Fourier.

Tafsiran transformasi Fourier diskrit

Sumber: Pexels

Terdapat 2 sudut pandangan dari mana hasil yang diperoleh pada urutan x _s dapat ditafsirkan melalui transformasi Fourier diskrit.

-Pertama sesuai dengan pekali spektrum, yang sudah diketahui dari siri Fourier. Ia diperhatikan dalam isyarat berkala diskrit, dengan sampel bertepatan dengan urutan x _s .

-Kedua berkaitan dengan spektrum isyarat aperiodik diskrit, dengan sampel yang sesuai dengan urutan x _s .

Transformasi diskrit adalah penghampiran spektrum isyarat analog asal. Fasa bergantung pada contoh pensampelan, sedangkan besarnya bergantung pada selang pensampelan.

Hartanah

Asas algebra struktur membentuk rasional bahagian berikut.

Lineariti

C. S _n → C. F; Sekiranya urutan didarabkan dengan skalar, transformasinya juga akan.

T _n + V _n = F + F; Transformasi jumlah sama dengan jumlah penjelmaan.

Dualitas

F → (1 / N) S _-k; Sekiranya transformasi Fourier diskrit dikira semula menjadi ungkapan yang sudah diubah, ungkapan yang sama diperoleh, diskala dalam N dan terbalik berkenaan dengan paksi menegak.

Konvolusi

Mengejar objektif yang serupa seperti dalam transformasi Laplace, konvolusi fungsi merujuk pada produk antara transformasi Fourier mereka. Konvolusi juga berlaku untuk masa yang berbeza dan bertanggungjawab untuk banyak prosedur moden.

X _n * R _n → F .F; Transformasi konvolusi sama dengan produk transformasi.

X _n . R _n → F * F; Transformasi produk sama dengan konvolusi transformasi.

Perpindahan

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Sekiranya suatu urutan ditunda oleh sampel m, kesannya pada transformasi diskrit akan menjadi pengubahsuaian sudut yang ditentukan oleh (2π / N) km.

Simetri

X _t = X * _t = X _t

Modulasi

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Produk

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Simetri

X ↔ X _t = X * _t

Konjugasi

x * ↔ X * _t

Persamaan Parseval

Berkenaan dengan transformasi Fourier konvensional ia mempunyai beberapa persamaan dan perbezaan. Transformasi Fourier mengubah urutan menjadi garis pepejal. Dengan cara ini dikatakan bahawa hasil pemboleh ubah Fourier adalah fungsi kompleks pemboleh ubah nyata.

Transformasi Fourier diskrit, tidak seperti, menerima isyarat diskrit dan mengubahnya menjadi isyarat diskrit lain, iaitu urutan.

Untuk apa transformasi Fourier diskrit?

Mereka berfungsi terutamanya untuk menyederhanakan persamaan, sambil mengubah ungkapan yang diturunkan menjadi elemen kuasa. Menunjukkan ungkapan pembezaan dalam bentuk polinomial yang dapat disatukan.

Dalam pengoptimuman, modulasi dan pemodelan hasil, ia bertindak sebagai ungkapan standard, menjadi sumber yang kerap untuk kejuruteraan setelah beberapa generasi.

Sumber: pixabay

Sejarah

Konsep matematik ini diperkenalkan oleh Joseph B. Fourier pada tahun 1811, ketika mengembangkan risalah mengenai penyebaran haba. Ia dengan cepat diadopsi oleh pelbagai cabang sains dan kejuruteraan.

Ia ditetapkan sebagai alat kerja utama dalam mempelajari persamaan dengan derivatif separa, bahkan membandingkannya dengan hubungan kerja yang ada antara transformasi Laplace dan persamaan pembezaan biasa.

Setiap fungsi yang dapat dikerjakan dengan transformasi Fourier mesti ada di luar parameter yang ditentukan.

Transformasi Fourier diskrit dan terbalik

Transformasi diskrit diperoleh melalui ungkapan:

Setelah diberi urutan diskrit X

Kebalikan dari transformasi Fourier diskrit ditakrifkan melalui ungkapan:

PTO terbalik

Setelah transformasi diskrit dicapai, ia memungkinkan untuk menentukan urutan dalam domain masa X.

Bersayap

Proses parametrizasi yang sesuai dengan transformasi Fourier diskrit terletak pada penggulungan. Untuk melakukan transformasi kita mesti menghadkan urutan dalam masa. Dalam banyak kes, isyarat yang dimaksudkan tidak mempunyai batasan ini.

Urutan yang tidak memenuhi kriteria ukuran untuk diterapkan pada transformasi diskrit dapat dikalikan dengan fungsi "window" V, yang menentukan tingkah laku urutan dalam parameter terkawal.

X. V

Lebar spektrum akan bergantung pada lebar tingkap. Apabila lebar tingkap meningkat, transformasi yang dikira akan semakin sempit.

Permohonan

Pengiraan penyelesaian asas

Transformasi Fourier diskrit adalah alat yang kuat dalam kajian urutan diskrit.

Transformasi Fourier diskrit mengubah fungsi pemboleh ubah berterusan menjadi transformasi pemboleh ubah diskrit.

Masalah Cauchy untuk persamaan haba menunjukkan medan penggunaan transformasi Fourier yang diskrit . Di mana fungsi teras haba atau teras Dirichlet dihasilkan, yang berlaku untuk nilai-nilai pensampelan dalam parameter yang ditentukan.

Teori isyarat

Sebab umum penerapan transformasi Fourier diskrit di cabang ini terutama disebabkan oleh ciri penguraian isyarat sebagai superposisi tak terbatas dari isyarat yang lebih mudah dirawat.

Ia boleh menjadi gelombang suara atau gelombang elektromagnetik, transformasi Fourier yang diskrit menyatakannya dalam superposisi gelombang sederhana. Perwakilan ini agak kerap berlaku dalam kejuruteraan elektrik.

Siri Fourier

Mereka adalah siri yang ditakrifkan dari segi Cosines dan Sines. Mereka berfungsi untuk memudahkan kerja dengan fungsi berkala umum. Apabila digunakan, mereka adalah sebahagian daripada teknik untuk menyelesaikan persamaan pembezaan biasa dan separa.

Siri Fourier lebih umum daripada siri Taylor, kerana mereka mengembangkan fungsi tak berkala berkala yang tidak mempunyai representasi siri Taylor.

Bentuk lain dari siri Fourier

Untuk memahami transformasi Fourier secara analitis, penting untuk mengkaji cara lain di mana siri Fourier dapat dijumpai, sehingga kita dapat menentukan siri Fourier dalam notasi kompleksnya.

-Fourier siri fungsi 2L tempoh:

Selang dipertimbangkan, yang menawarkan kelebihan ketika memanfaatkan ciri simetri fungsi.

Sekiranya f genap, siri Fourier ditetapkan sebagai siri Cosines.

Sekiranya f adalah ganjil, siri Fourier ditetapkan sebagai siri Sines.

-Notasi kompleks siri Fourier

Sekiranya kita mempunyai fungsi f (t), yang memenuhi semua keperluan siri Fourier, adalah mungkin untuk menandakannya dalam selang menggunakan notasi kompleksnya:

Contoh

Mengenai pengiraan penyelesaian asas, contoh berikut disajikan:

Sebaliknya, berikut adalah contoh penerapan transformasi Fourier diskrit dalam bidang teori isyarat:

-Masalah pengenalan sistem. Ditubuhkan f dan g

-Masalah dengan konsistensi isyarat output

-Masalah dengan penapisan isyarat

Latihan

Latihan 1

Hitung transformasi Fourier diskrit untuk urutan berikut.

Anda boleh menentukan PTO x sebagai:

X _t = {4, -j2, 0, j2} untuk k = 0, 1, 2, 3

Latihan 2

Kami ingin menentukan isyarat spektral yang ditentukan oleh ungkapan x (t) = e ^-t melalui algoritma digital . Di mana pekali permintaan frekuensi maksimum adalah f _m = 1Hz. Harmonik sepadan dengan f = 0.3 Hz. Kesalahan terhad kepada kurang dari 5%. Hitungkan f _s , D dan N.

Dengan mengambil kira teorema persampelan f _s = 2f _m = 2 Hz

Resolusi frekuensi f ₀ = 0.1 Hz dipilih , dari mana kita memperoleh D = 1 / 0.1 = 10s

0.3 Hz adalah frekuensi yang sesuai dengan indeks k = 3, di mana N = 3 × 8 = 24 sampel. Menunjukkan bahawa f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

Oleh kerana tujuannya adalah untuk mendapatkan nilai serendah mungkin untuk N, nilai-nilai berikut dapat dianggap sebagai penyelesaian:

f ₀ = 0.3 Hz

D = 1 / 0.3 = 3.33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Rujukan

1. Menguasai Transformasi Fourier Diskrit dalam Satu, Dua atau Beberapa Dimensi: Perangkap dan Artifak. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 Jul. 2013
2. The DFT: Manual Pemilik untuk Transformasi Fourier Discrete. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 Jan. Sembilan-belas sembilan puluh lima
3. Pemprosesan Isyarat Digital: Teori dan Amalan. D. Sundararajan. Dunia Ilmiah, 2003
4. Transformasi dan Algoritma Pantas untuk Analisis dan Perwakilan Isyarat. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 Dis. 2012
5. Transformasi Fourier Diskrit dan Berterusan: Analisis, Aplikasi dan Algoritma Pantas. Eleanor Chu. CRC Press, 19 Mac. 2008