VEKTOR PENGARAH: PERSAMAAN GARIS, LATIHAN YANG DISELESAIKAN - FIZIKAL - 2026

Vektor pengarah difahami sebagai yang menentukan arah garis, sama ada di satah atau di angkasa. Oleh itu, vektor selari dengan garis boleh dianggap sebagai vektor pengarahnya.

Ini dimungkinkan berkat aksioma geometri Euclidean yang mengatakan bahawa dua titik menentukan garis. Kemudian segmen berorientasi yang dibentuk oleh dua titik ini juga menentukan vektor pengarah garis tersebut.

Rajah 1. Vektor pengarah garis. (Penjelasan sendiri)

Diberi titik P yang tergolong dalam garis (L) dan diberi vektor pengarah u garis itu, garis ditentukan sepenuhnya.

Persamaan vektor garis dan pengarah

Rajah 2. Persamaan garis dan vektor pengarah. (Penjelasan sendiri)

Diberi titik P koordinat P: (Xo, I) dan pengarah vektor u garis (L), setiap titik koordinat Q: (X, Y) mesti memastikan bahawa vektor PQ selari dengan u. Keadaan terakhir ini dijamin sekiranya PQ berkadar dengan anda :

PQ = t⋅ u

dalam ungkapan di atas t adalah parameter yang termasuk dalam nombor nyata.

Sekiranya komponen Cartesian PQ dan u ditulis, persamaan di atas ditulis seperti berikut:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Sekiranya komponen persamaan vektor disamakan, pasangan persamaan berikut diperoleh:

X - Xo = a⋅ty Y - I = b⋅t

Parametrik persamaan garis

Koordinat X dan Y bagi suatu titik yang tergolong dalam garis (L) yang melewati titik koordinat (Xo, Yo) dan selari dengan vektor pengarah u = (a, b) ditentukan dengan memberikan nilai sebenar kepada parameter pemboleh ubah t:

{X = Xo + a⋅t; Y = Saya + b⋅t}

Contoh 1

Untuk menggambarkan makna persamaan parametrik garis, kita mengambil sebagai vektor pengarah

u = (a, b) = (2, -1)

dan sebagai titik garis yang diketahui titik

P = (Xo, I) = (1, 5).

Persamaan parametrik garis adalah:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

Untuk menggambarkan makna persamaan ini, gambar 3 ditunjukkan, di mana parameter t mengubah nilainya dan titik koordinat Q (X, Y) mengambil kedudukan yang berbeza pada garis.

Rajah 3. PQ = t u. (Penjelasan sendiri)

Garisan dalam bentuk vektor

Diberi titik P pada garis dan vektor pengarahnya, persamaan garis boleh ditulis dalam bentuk vektor:

OQ = OP + λ⋅ u

Dalam persamaan di atas, Q adalah titik apa pun tetapi tergolong dalam garis dan λ adalah nombor nyata.

Persamaan vektor garis berlaku untuk sebilangan dimensi, bahkan garis hiper dapat ditentukan.

Dalam kes tiga dimensi untuk vektor pengarah u = (a, b, c) dan titik P = (Xo, Yo, Zo), koordinat titik generik Q = (X, Y, Z) yang tergolong dalam garis adalah :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Contoh 2

Pertimbangkan lagi garis yang mempunyai sebagai vektor pengarah

u = (a, b) = (2, -1)

dan sebagai titik garis yang diketahui titik

P = (Xo, I) = (1, 5).

Persamaan vektor garis tersebut ialah:

(X, Y) = (1, 5) + λ⋅ (2, -1)

Bentuk garis dan vektor pengarah yang berterusan

Bermula dari bentuk parametrik, membersihkan dan menyamakan parameter λ, kita mempunyai:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Ini adalah bentuk simetri dari persamaan garis. Perhatikan bahawa a, b, dan c adalah komponen vektor pengarah.

Contoh 3

Pertimbangkan garis yang mempunyai sebagai vektor pengarah

u = (a, b) = (2, -1)

dan sebagai titik garis yang diketahui titik

P = (Xo, I) = (1, 5). Cari bentuk simetri.

Bentuk garis simetri atau berterusan adalah:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Bentuk umum persamaan garis

Bentuk garis umum dalam satah XY dikenali sebagai persamaan yang mempunyai struktur berikut:

A⋅X + B⋅Y = C

Ungkapan untuk bentuk simetri boleh ditulis semula dengan bentuk umum:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

membandingkan dengan bentuk garis umum adalah:

A = b, B = -a dan C = b⋅Xo - a⋅Yo

Contoh 3

Cari bentuk umum garis yang vektor pengarahnya adalah u = (2, -1)

dan yang melewati titik P = (1, 5).

Untuk mencari bentuk umum, kita dapat menggunakan formula yang diberikan, namun jalan alternatif akan dipilih.

Kita mulakan dengan mencari vektor ganda w vektor pengarah u, yang didefinisikan sebagai vektor yang diperoleh dengan menukar komponen u dan mengalikan yang kedua dengan -1:

w = (-1, -2)

vektor dwi w sepadan dengan putaran 90 ° mengikut arah jam vektor pengarah v .

Kami secara berkala mengalikan w dengan (X, Y) dan dengan (Xo, Yo) dan menetapkan sama:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2⋅5 = -11

baki akhirnya:

X + 2Y = 11

Bentuk piawai persamaan garis

Ia dikenali sebagai bentuk garis biasa dalam satah XY, yang mempunyai struktur berikut:

Y = m⋅X + d

di mana m mewakili cerun dan d pintasan dengan paksi Y.

Diberi vektor arah u = (a, b), cerun m adalah b / a.

Y d diperoleh dengan menggantikan X dan Y dengan titik Xo, I yang diketahui:

I = (b / a) Xo + d.

Pendek kata, m = b / a dan d = I - (b / a) Xo

Perhatikan bahawa cerun m adalah hasil bagi antara komponen y vektor pengarah dan komponen x darinya.

Contoh 4

Cari bentuk piawai garis yang vektor pengarahnya adalah u = (2, -1)

dan yang melewati titik P = (1, 5).

m = -½ dan d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Latihan yang diselesaikan

-Latihan 1

Cari vektor pengarah garis (L) yang merupakan persimpangan satah (Π): X - Y + Z = 3 dan satah (Ω): 2X + Y = 1.

Kemudian tuliskan bentuk persamaan garis lanjutan (L) yang berterusan.

Penyelesaian

Dari persamaan satah (Ω) pelepasan Y: Y = 1 -2X

Kemudian kita ganti dalam persamaan satah (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Kemudian kita parameterisasi X, kita memilih parameterisasi X = λ

Ini bermaksud bahawa garis mempunyai persamaan vektor yang diberikan oleh:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

yang boleh ditulis semula sebagai:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + λ (1, -2, -3)

dengan yang jelas bahawa vektor u = (1, -2, -3) adalah vektor pengarah garis (L).

Bentuk garisan berterusan (L) adalah:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Latihan 2

Diberi satah 5X + a Y + 4Z = 5

dan garis yang persamaannya adalah X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Tentukan nilai sedemikian sehingga satah dan garis selari.

Penyelesaian 2

Vektor n = (5, a, 4) adalah vektor normal ke satah.

Vektor u = (1, 3, -2) adalah vektor pengarah garis.

Sekiranya garis selari dengan satah, maka n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

Rujukan

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Matematik PraKalkulus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Aljabar linear. Pendidikan Pearson.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Geometri Analisis Pesawat. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektor. Dipulihkan dari: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Pengiraan awal. Pendidikan Pearson.
6. Prenowitz, W. 2012. Konsep Asas Geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Pengiraan awal. Pendidikan Pearson.