VEKTOR SERENTAK: CIRI, CONTOH DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2026

The vektor serentak adalah vektor kumpulan yang paksi bertepatan pada satu ketika, membentuk antara setiap pasangan dalaman dan luaran sudut lain. Contoh yang jelas dapat dilihat pada gambar di bawah, di mana A, B dan C adalah vektor serentak antara satu sama lain.

D dan E tidak seperti yang lain tidak. Terdapat sudut yang terbentuk antara vektor serentak AB, AC, dan CB. Mereka dipanggil sudut hubungan antara vektor.

ciri-ciri

-Mereka mempunyai titik persamaan, yang bertepatan dengan asal usul mereka: semua besarnya vektor serentak bermula dari titik bersama ke hujung masing-masing.

Asal dianggap sebagai titik tindakan vektor: titik tindakan mesti ditentukan yang akan dipengaruhi secara langsung oleh setiap vektor serentak.

- Domainnya dalam satah dan ruang masing-masing adalah R ² dan R ³ : vektor serentak bebas untuk merangkumi keseluruhan ruang geometri.

-Membolehkan notasi berbeza dalam kumpulan vektor yang sama. Menurut cabang kajian, notasi yang berlainan terdapat dalam operasi dengan vektor.

Jenis vektor

Cabang vektor mempunyai beberapa subbahagian, di antaranya dapat dinamakan: selari, tegak lurus, koplanar, sepadan, bertentangan dan bersatu. Vektor bersamaan disenaraikan di sini, dan seperti semua yang disebutkan di atas, mereka mempunyai banyak aplikasi dalam sains yang berbeza.

Mereka sangat biasa dalam kajian vektor, kerana mereka mewakili generalisasi yang berguna dalam operasi dengan mereka. Baik di satah maupun di angkasa, vektor serentak biasanya digunakan untuk mewakili elemen yang berbeza dan mengkaji pengaruhnya terhadap sistem tertentu.

Notasi vektor

Terdapat beberapa cara untuk mewakili elemen vektor. Yang utama dan terkenal ialah:

Cartesian

Dicadangkan oleh pendekatan matematik yang sama, ini menunjukkan vektor dengan tiga yang sesuai dengan magnitud setiap paksi (x, y, z)

J: (1, 1, -1) Ruang A: (1, 1) satah

Kutub

Mereka berfungsi hanya untuk menunjukkan vektor dalam satah, walaupun dalam kalkulus integral diberikan komponen kedalaman. Ia disusun dengan kuantiti linear r dan sudut berkenaan dengan paksi kutub Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Pesawat A: (2, 45 ⁰ , 3) Ruang

Analitik

Mereka menentukan magnitud vektor dengan menggunakan vore. The versores (i + j + k) mewakili vektor unit yang sepadan dengan paksi X, Y dan

J: 3i + 2j - 3k

Sfera

Mereka serupa dengan notasi kutub, tetapi dengan penambahan sudut kedua menyapu bidang xy yang dilambangkan oleh δ.

J: (4, 60 ^atau , π / 4)

Operasi vektor serentak

Vektor serentak kebanyakannya digunakan untuk menentukan operasi antara vektor, kerana lebih mudah untuk membandingkan elemen vektor apabila disajikan secara serentak.

Jumlah (A + B)

Jumlah vektor serentak bertujuan untuk mencari paduan vektor V _r . Yang, menurut cabang kajian, sesuai dengan tindakan terakhir

Contohnya: 3 tali {A, B, C} diikat pada kotak, setiap hujung tali dipegang oleh satu subjek. Setiap daripada 3 subjek mesti menarik tali ke arah yang berbeza daripada 2 yang lain.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Kotak hanya dapat bergerak dalam satu arah, oleh itu V _r akan menunjukkan arah dan arah pergerakan kotak.

Perbezaan (A - B)

Terdapat banyak kriteria mengenai perbezaan antara vektor, banyak penulis memilih untuk mengecualikannya dan menyatakan bahawa hanya jumlah antara vektor yang ditentukan, di mana perbezaannya adalah mengenai jumlah vektor yang berlawanan. Yang benar adalah bahawa vektor dapat dikurangkan secara algebra.

A: (ax, ay, az) B: (bx, oleh, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Produk skalar (A. B)

Juga dikenali sebagai produk titik, ia menghasilkan nilai skalar yang dapat dikaitkan dengan pelbagai besar bergantung pada cabang kajian.

Untuk geometri, nyatakan luas parallelogram yang dibentuk oleh pasangan vektor serentak melalui kaedah parallelogram. Untuk fizik mekanik, ini menentukan kerja yang dilakukan oleh daya F ketika menggerakkan badan dengan jarak Δr.

ѡ = F . Δr

Seperti namanya, ia menghasilkan nilai skalar dan ditakrifkan sebagai berikut:

Biarkan vektor A dan B menjadi

A: (ax, ay, az) B: (bx, oleh, bz)

-Bentuk analisis:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Di mana θ adalah sudut dalaman antara kedua-dua vektor

-Bentuk aljabar:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Produk silang (A x B)

Produk vektor atau produk dot antara dua vektor, mentakrifkan vektor ketiga C mempunyai kualiti yang berserenjang dengan B dan C . Dalam fizik, vektor tork τ adalah elemen asas dinamika putaran.

-Bentuk analisis:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Bentuk aljabar:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Relatif bergerak: r _{A / B}

Asas relativiti adalah gerakan relatif dan vektor serentak adalah asas gerakan relatif. Kedudukan, halaju dan pecutan relatif dapat disimpulkan dengan menerapkan susunan idea berikut.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Kedudukan relatif A berkenaan dengan B

v _{A / B} = v _A - v _B ; Halaju relatif A berkenaan dengan B

a _{A / B} = a _A - a _B ; Pecutan relatif A sehubungan dengan B

Contoh: latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Biarkan A, B, dan C menjadi vektor serentak.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Tentukan vektor yang dihasilkan V _r = 2A - 3B + C

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Tentukan produk titik (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Hitung sudut antara A dan C

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Di mana θ adalah sudut terpendek antara vektor

θ = 88.63 ⁰

-Cari vektor tegak lurus dengan A dan B

Untuk ini, perlu menentukan produk vektor antara (-1, 3, 5) dan (3, 5, -2). Seperti yang dijelaskan sebelumnya, matriks 3 x 3 dibina di mana baris pertama terdiri daripada vektor unit tiga (i, j, k). Kemudian baris ke-2 dan ke-3 terdiri daripada vektor untuk beroperasi, menghormati urutan operasi.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Latihan 2

Biarkan V _a dan V _b masing-masing _menjadi vektor halaju A dan B. Hitungkan halaju B yang dilihat dari A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

Dalam kes ini, halaju relatif B berkenaan dengan A V _{B / A} diminta

V _{B / A} = V _B - V _A

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Ini adalah vektor halaju B yang dilihat dari A. Di mana vektor halaju B baru digambarkan mengambil rujukan dari pemerhati yang berada di A dan bergerak dengan halaju A.

Latihan yang dicadangkan

1-Bentukkan 3 vektor A, B dan C yang serentak dan mengaitkan 3 operasi di antara mereka melalui latihan praktikal.

2-Biarkan vektor A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) dan C: (-2, -1, 10). Cari vektor yang berserenjang dengan: A dan B, C dan B, Jumlah A + B + C.

4-Tentukan 3 vektor yang saling tegak lurus antara satu sama lain, tanpa mengambil kira paksi koordinat.

5-Tentukan kerja yang dilakukan oleh daya yang mengangkat sekatan jisim 5 kg, dari dasar telaga sedalam 20m.

6-Tunjukkan secara algebra bahawa pengurangan vektor sama dengan jumlah vektor yang berlawanan. Jelaskan pendapat anda.

7-Menunjukkan vektor dalam semua notasi yang dikembangkan dalam artikel ini. (Cartesian, polar, analitik dan sfera).

8-Daya magnet yang diberikan pada magnet yang terletak di atas meja, diberikan oleh vektor berikut; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Tentukan ke arah mana magnet akan bergerak jika semua daya magnet bertindak pada masa yang sama.

Rujukan

1. Geometri dan Transformasi Euclidean. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1 Jan. 2004
2. Cara Menyelesaikan Masalah Matematik Gunaan L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10 Apr 2013
3. Konsep Asas Geometri. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4 Okt. 2012
4. Vektor. Rocío Navarro Lacoba, 7 Jun. 2014
5. Aljabar linear. Bernard Kolman, David R. Hill. Pendidikan Pearson, 2006