VEKTOR DI RUANG ANGKASA: CARA MEMBUAT GRAFIK, APLIKASI, LATIHAN - FIZIKAL - 2026

A vektor dalam ruang adalah semua yang diwakili oleh sistem koordinat yang diberikan oleh x, y, dan z. Selalunya satah xy ialah satah permukaan mendatar dan paksi z mewakili ketinggian (atau kedalaman).

Paksi koordinat Cartesian yang ditunjukkan dalam gambar 1 membahagi ruang menjadi 8 kawasan yang disebut oktan, serupa dengan bagaimana paksi x - y membahagi satah menjadi 4 kuadran. Kita kemudian akan mempunyai oktan ke-1, oktan ke-2 dan seterusnya.

Rajah 1. Vektor di angkasa. Sumber: buatan sendiri.

Rajah 1 mengandungi perwakilan vektor v di ruang angkasa. Beberapa perspektif diperlukan untuk mencipta ilusi tiga dimensi pada bidang skrin, yang dicapai dengan melukis pandangan serong.

Untuk membuat grafik vektor 3D, seseorang mesti menggunakan garis putus-putus yang menentukan pada grid koordinat unjuran atau "bayangan" v pada permukaan xy. Unjuran ini bermula pada O dan berakhir pada titik hijau.

Sesampai di sana, anda harus terus sepanjang menegak ke ketinggian (atau kedalaman) yang diperlukan mengikut nilai z, sehingga anda mencapai P. Vektor dilukis bermula dari O dan berakhir pada P, yang dalam contohnya adalah pada oktan pertama.

Permohonan

Vektor di angkasa banyak digunakan dalam mekanik dan cabang fizik dan kejuruteraan lain, kerana struktur yang mengelilingi kita memerlukan geometri dalam tiga dimensi.

Vektor kedudukan di ruang digunakan untuk meletakkan objek berkenaan dengan titik rujukan yang disebut asal OR. Oleh itu, mereka juga merupakan alat yang diperlukan dalam navigasi, tetapi itu bukan semua.

Angkatan yang bertindak pada struktur seperti bolt, pendakap, kabel, penyangga, dan lain-lain bersifat vektor dan berorientasikan ruang. Untuk mengetahui kesannya, perlu mengetahui alamatnya (dan juga titik penerapannya).

Dan selalunya arah daya diketahui dengan mengetahui dua titik di ruang yang tergolong dalam garis tindakannya. Dengan cara ini kekuatannya adalah:

F = F awak

Di mana F ialah magnitud atau magnitud daya dan u ialah vektor unit (modul 1) diarahkan di sepanjang garis tindakan F .

Notasi dan Perwakilan Vektor 3D

Sebelum kita menyelesaikan beberapa contoh, kita akan mengkaji notasi vektor 3D secara ringkas.

Dalam contoh dalam Rajah 1, vektor v, yang titik asalnya bertepatan dengan asal O dan yang hujungnya adalah titik P, mempunyai koordinat xyz positif, sementara koordinat y negatif. Koordinat ini adalah: x ₁ , y ₁ , z ₁ , yang tepat adalah koordinat P.

Oleh itu, jika kita mempunyai vektor yang dihubungkan dengan asal, iaitu, yang titik permulaannya bertepatan dengan O, sangat mudah untuk menunjukkan koordinatnya, yang akan menjadi titik ekstrem atau P. Untuk membezakan antara titik dan vektor, kita akan menggunakan huruf tebal dan tanda kurung terakhir, seperti ini:

v = <x ₁ , y ₁ , z ₁ >

Sementara titik P dilambangkan dengan tanda kurung:

P = (x ₁ , y ₁ , z ₁ )

Perwakilan lain menggunakan vektor unit i , j dan k yang menentukan tiga arah ruang pada paksi x, y dan z masing-masing.

Vektor-vektor ini saling tegak lurus dan membentuk asas ortonormal (lihat gambar 2). Ini bermaksud bahawa vektor 3D boleh ditulis dalam bentuknya seperti:

v = v _x i + v _y j + v _z k

Sudut dan Pengarah Kosin Vektor

Rajah 2 juga menunjukkan sudut pengarah γ ₁ , γ ₂ dan γ ₃ yang dibuat oleh vektor v dengan paksi x, y dan z. Mengetahui sudut ini dan besarnya vektor, ia ditentukan sepenuhnya. Di samping itu, kosinus sudut pengarah memenuhi hubungan berikut:

(cos γ ₁ ) ² + (cos γ ₂ ) ² + (cos γ ₃ ) ² = 1

Rajah 2. Vektor unit i, j dan k menentukan 3 arah arah ruang. Sumber: buatan sendiri.

Latihan yang diselesaikan

-Latihan 1

Dalam rajah 2 sudut γ ₁ , γ ₂ dan γ ₃ yang dibentuk vektor v modulus 50 dengan paksi koordinat masing-masing: 75.0º, 60.0º dan 34.3º. Cari komponen Cartesian vektor ini dan gambarkan dari segi vektor unit i , j, dan k .

Penyelesaian

Unjuran vektor v ke paksi-x ialah v _x = 50. cos 75º = 12,941. Dengan cara yang sama, unjuran v pada paksi y ialah v _y = 50 cos 60 º = 25 dan akhirnya pada paksi z adalah v _z = 50. cos 34.3 º = 41.3. Sekarang v boleh dinyatakan sebagai:

v = 12.9 i + 25.0 j + 41.3 k

-Latihan 2

Cari ketegangan di setiap kabel yang memegang baldi dalam angka yang berada dalam keseimbangan, jika beratnya 30 N.

Rajah 3. Rajah tekanan untuk latihan 2.

Penyelesaian

Pada baldi, rajah badan bebas menunjukkan bahawa T _D (hijau) mengimbangi berat W (kuning), oleh itu T _D = W = 30 N.

Di simpul, vektor T _D diarahkan secara menegak ke bawah, kemudian:

T _D = 30 (- k ) N.

Untuk menentukan voltan yang tinggal, ikuti langkah berikut:

Langkah 1: Cari Koordinat Semua Mata

A = (4.5,0,3) (A berada pada satah dinding xz)

B = (1.5,0,0) (B berada pada paksi-x)

C = (0, 2.5, 3) (C berada pada satah dinding dan z)

D = (1.5, 1.5, 0) (D berada pada satah xy mendatar)

Langkah 2: Cari vektor di setiap arah dengan mengurangkan koordinat akhir dan permulaan

DA = <3; -1.5; 3>

DC = <-1.5; satu; 3>

DB = <0; -1.5; 0>

Langkah 3: Hitung modul dan vektor unit

Vektor unit diperoleh dengan ungkapan: u = r / r, dengan r (dalam huruf tebal) menjadi vektor dan r (tidak tebal) menjadi modul vektor tersebut.

DA = (3 ² + (-1.5) ² + 3 ² ) ^½ = 4.5; DC = ((-1.5) ² + 1 ² + 3 ² ) ^½ = 3.5

u _DA = <3; -1.5; 3> 4.5 = <0.67; -0.33; 0.67>

u _DC = <-1.5; satu; 3> 3.5 = <-0.43; 0.29; 0.86>

u _DB = <0; -satu; 0>

u _D = <0; 0; -1>

Langkah 4: Nyatakan semua tekanan sebagai vektor

T _DA = T _DA u _DA = T _DA <0.67; -0.33; 0.67>

T _DC = T _DC u _{DC =} T _DC <-0.43; 0.29; 0.86>

T _DB = T _DB u _DB = T _DB <0; -satu; 0>

T _D = 30 <0; 0; -1>

Langkah 5: Terapkan keadaan keseimbangan statik dan selesaikan sistem persamaan

Akhirnya, keadaan keseimbangan statik digunakan pada baldi, sehingga jumlah vektor semua daya pada nod adalah sifar:

T _DA + T _DC + T _DB + T _D = 0

Oleh kerana tegangan berada di ruang, ia akan menghasilkan sistem tiga persamaan untuk setiap komponen (x, y, dan z) tegasan.

0.67 T _DA -0.43 T _DC + 0 T _DB = 0

-0.33 T _DA + 0.29 T _DC - T _DB = 0

0.67 T _DA + 0.86 T _DC +0 T _DB - 30 = 0

Penyelesaiannya ialah: T _DA = 14.9 N; T _DA = 23.3 N; T _DB = 1.82 N

Rujukan

1. Bedford, 2000. A. Mekanik Kejuruteraan: Statik. Addison Wesley. 38-52.
2. Figueroa, D. Siri: Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Kinematik 31-68.
3. Fizikal. Modul 8: Vektor. Dipulihkan dari: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. Mekanik untuk Jurutera. Statik Edisi ke-6. Syarikat Penerbitan Kontinental. 15-53.
5. Kalkulator Penambahan Vektor. Dipulihkan dari: 1728.org