VEKTOR BUKAN KOPLANAR: DEFINISI, KEADAAN, LATIHAN - FIZIKAL - 2026

Yang bukan - vektor sesatah adalah mereka yang tidak berkongsi satah yang sama. Dua vektor bebas dan titik menentukan satah tunggal. Vektor ketiga mungkin atau mungkin tidak berkongsi satah itu, dan jika tidak, vektor tersebut adalah vektor bukan koplanar.

Vektor bukan koplanar tidak dapat diwakili dalam ruang dua dimensi seperti papan hitam atau selembar kertas, kerana beberapa daripadanya terkandung dalam dimensi ketiga. Untuk mewakili mereka dengan betul, anda harus menggunakan perspektif.

Rajah 1. Vektor koplanar dan bukan koplanar. (Penjelasan sendiri)

Sekiranya kita melihat gambar 1, semua objek yang ditunjukkan berada betul-betul dalam bidang skrin, namun berkat perspektif otak kita dapat membayangkan satah (P) yang keluar dari dalamnya.

Pada satah itu (P) terdapat vektor r , s , u , sedangkan vektor v dan w tidak berada dalam satah tersebut.

Oleh itu vektor r , s , u adalah koplanar atau koplanar antara satu sama lain kerana mereka berkongsi satah yang sama (P). Vektor v dan w tidak berkongsi satah dengan vektor lain yang ditunjukkan, oleh itu ia bukan koplanar.

Vektor Koplanar dan Persamaan Pesawat

Pesawat ditakrifkan secara unik jika terdapat tiga titik dalam ruang tiga dimensi.

Andaikan ketiga-tiga titik itu adalah titik A, titik B, dan titik C yang menentukan satah (P). Dengan titik-titik ini adalah mungkin untuk membina dua vektor AB = u dan AC = v yang dibina secara koplanar dengan satah (P).

Produk silang (atau produk silang) kedua vektor ini menghasilkan vektor ketiga tegak lurus (atau normal) kepada mereka dan oleh itu tegak lurus ke satah (P):

n = u X v => n ⊥ u dan n ⊥ v => n ⊥ (P)

Titik lain yang termasuk dalam satah (P) mesti memastikan bahawa vektor AQ adalah tegak lurus dengan vektor n ; Ini sama dengan mengatakan bahawa produk titik (atau produk titik) n dengan AQ mestilah sifar:

n • AQ = 0 (*)

Keadaan sebelumnya sama dengan mengatakan bahawa:

AQ • ( u X v ) = 0

Persamaan ini memastikan bahawa titik Q tergolong dalam satah (P).

Persamaan Cartesian satah

Persamaan di atas boleh ditulis dalam bentuk Cartesian. Untuk melakukan ini, kami menulis koordinat titik A, Q dan komponen vektor normal n :

Oleh itu, komponen AQ adalah:

Syarat untuk vektor AQ yang terkandung dalam satah (P) adalah keadaan (*) yang kini ditulis seperti ini:

Mengira produk titik tetap:

Sekiranya ia dikembangkan dan disusun semula, ia tetap:

Ungkapan sebelumnya adalah persamaan Cartesian satah (P), sebagai fungsi komponen vektor normal ke (P) dan koordinat titik A yang tergolong dalam (P).

Syarat untuk tiga vektor menjadi bukan koplanar

Seperti yang dilihat pada bahagian sebelumnya, keadaan AQ • ( u X v ) = 0 menjamin bahawa vektor AQ adalah coplanar kepada u dan v .

Sekiranya kita memanggil vektor AQ w maka kita dapat mengesahkan bahawa:

w , u dan v adalah koplanar, jika dan hanya jika w • ( u X v ) = 0.

Keadaan bukan koplaniti

Sekiranya produk tiga (atau produk campuran) dari tiga vektor berbeza dari sifar maka ketiga-tiga vektor tersebut adalah bukan koplanar.

Sekiranya w • ( u X v ) ≠ 0 maka vektor u, v, dan w adalah bukan koplanar.

Sekiranya komponen Cartesian vektor u, v, dan w diperkenalkan, keadaan bukan koplanariti dapat ditulis seperti ini:

Produk tiga mempunyai interpretasi geometri dan mewakili isi padu parallelepip yang dihasilkan oleh tiga vektor bukan koplanar.

Rajah 2. Tiga vektor bukan koplanar menentukan parallelepiped yang isipadunya adalah modul produk tiga. (Penjelasan sendiri)

Sebabnya adalah seperti berikut; Apabila dua vektor bukan koplanar didarabkan secara vektor, suatu vektor diperoleh yang besarannya adalah luas selari yang mereka hasilkan.

Kemudian apabila vektor ini dikalikan secara skalar dengan vektor bukan koplanar ketiga, apa yang kita ada adalah unjuran ke vektor tegak lurus dengan satah yang ditentukan oleh dua yang pertama dikalikan dengan kawasan yang mereka tentukan.

Dengan kata lain, kita mempunyai luas parallelogram yang dihasilkan oleh dua yang pertama dikalikan dengan ketinggian vektor ketiga.

Keadaan alternatif bukan koplanariti

Sekiranya anda mempunyai tiga vektor dan salah satu daripadanya tidak boleh ditulis sebagai kombinasi linear dari dua yang lain, maka ketiga-tiga vektor tersebut adalah bukan koplanar. Maksudnya, tiga vektor u , v dan w bukan koplanar jika keadaan:

α u + β v + γ w = 0

Ia hanya berpuas hati apabila α = 0, β = 0 dan γ = 0.

Latihan yang diselesaikan

-Latihan 1

Terdapat tiga vektor

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) dan w = (-1, 2, z)

Perhatikan bahawa komponen z vektor w tidak diketahui.

Cari julat nilai yang boleh diambil z sehingga ketiga-tiga vektor dijamin tidak berkongsi satah yang sama.

Penyelesaian

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Kami menetapkan ungkapan ini sama dengan nilai sifar

21 z + 18 = 0

dan kami menyelesaikan untuk z

z = -18 / 21 = -6/7

Sekiranya pemboleh ubah z mengambil nilai -6/7 maka ketiga-tiga vektor tersebut akan menjadi koplanar.

Jadi nilai z yang menjamin bahawa vektor bukan koplanar adalah nilai dalam selang berikut:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Latihan 2

Cari isipadu paralel yang ditunjukkan dalam rajah berikut:

Penyelesaian

Untuk mengetahui isipadu paralel yang ditunjukkan dalam rajah, komponen Cartesian dari tiga vektor bukan koplanar serentak pada asal sistem koordinat akan ditentukan. Yang pertama ialah vektor u 4m dan selari dengan paksi X:

u = (4, 0, 0) m

Yang kedua ialah vektor v dalam satah XY dengan ukuran 3m yang membentuk 60º dengan paksi X:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) m

Dan yang ketiga adalah vektor w 5m dan unjurannya dalam satah XY membentuk 60º dengan paksi X, di samping w membentuk 30º dengan paksi Z.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Setelah pengiraan dilakukan, kita mempunyai: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Rujukan

1. Figueroa, D. Siri: Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Kinematik. 31-68.
2. Fizikal. Modul 8: Vektor. Dipulihkan dari: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mekanik untuk Jurutera. Statik Edisi ke-6. Syarikat Penerbitan Kontinental 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mekanik untuk Jurutera: Statik dan Dinamika. Edisi ke-3. Bukit McGraw. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org