ARC (GEOMETRI): UKURAN, JENIS LENGKUNGAN, CONTOH - MATEMATIK - 2025

The arka , dalam geometri, apa-apa garis melengkung yang menghubungkan dua mata. Garis melengkung, tidak seperti garis lurus, adalah garis yang arahnya berbeza pada setiap titik di atasnya. Sebaliknya busur adalah segmen, kerana ini adalah bahagian lurus yang bergabung dengan dua titik.

Arka yang paling kerap digunakan dalam geometri ialah lengkok lengkok. Lengkungan lain yang biasa digunakan adalah lengkungan parabola, lengkungan elips dan lengkungan catenari. Bentuk lengkungan juga sering digunakan dalam seni bina sebagai elemen hiasan dan elemen struktur. Ini adalah kes ambang pintu dan tingkap, serta jambatan dan saluran air.

Gambar 1. Pelangi adalah garis melengkung yang bergabung dengan dua titik di kaki langit. Sumber: Pixabay

Lengkungan dan ukurannya

Ukuran lengkok adalah panjangnya, yang bergantung pada jenis lengkung yang menghubungkan dua titik dan lokasinya.

Panjang lengkok bulat adalah salah satu yang paling mudah dikira, kerana panjang lengkok lengkap atau perimeter lilitan diketahui.

Perimeter bulatan adalah dua pi kali radius: p = 2 π R. Mengetahui hal ini, jika kita ingin mengira panjang sudut lengkok sudut α (diukur dalam radian) dan jejari R, perkadaran digunakan:

(s / p) = (α / 2 π)

Kemudian, membersihkan s dari ungkapan sebelumnya dan menggantikan perimeter p untuk ungkapannya sebagai fungsi dari jari-jari R, kita mempunyai:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R

Maksudnya, ukuran lengkok bulat adalah hasil dari sudut bukaannya pada waktu jari-jari arka bulat.

Bagi sebuah lengkungan pada umumnya, masalahnya lebih rumit, sehinggalah para pemikir kuno yang hebat menyatakan bahawa itu adalah tugas yang mustahil.

Tidak sampai pada kalkulus pembezaan dan integral pada tahun 1665, masalah pengukuran busur dapat diselesaikan dengan memuaskan.

Sebelum penemuan kalkulus pembezaan, penyelesaian hanya dapat dijumpai dengan menggunakan garis poligonal atau lengkok lengkok yang mendekati busur yang sebenarnya, tetapi penyelesaian ini tidak tepat.

Jenis busur

Dari sudut pandang geometri, busur dikelaskan mengikut garis lengkung yang bergabung dengan dua titik pada satah. Terdapat klasifikasi lain mengikut penggunaannya dan bentuk seni bina.

Arka bulat

Apabila garis yang menghubungkan dua titik di satah adalah sekeping lilitan jejari tertentu, kita mempunyai lengkungan bulat. Rajah 2 menunjukkan arc c bulatan jejari R titik penghubung A dan B.

Rajah 2. Arka bulat jejari R yang menghubungkan titik A dan B. Dihuraikan oleh Ricardo Pérez.

Lengkungan parabola

Parabola adalah jalan yang diikuti oleh objek yang telah dilempar serong ke udara. Apabila lengkung yang bergabung dengan dua titik adalah parabola, maka kita mempunyai arka parabola seperti yang ditunjukkan dalam rajah 3.

Rajah 3. Titik penghubung arka parabola A dan B. Dihuraikan oleh Ricardo Pérez.

Ini adalah bentuk jet air yang keluar dari selang yang menunjuk ke atas. Arka parabola dapat dilihat pada sumber air.

Gambar 4. Lengkungan parabola dibentuk oleh air dari air pancut di Dresden. Sumber: Pixabay.

Lengkungan catenary

Lengkungan catenary adalah lengkungan semula jadi yang lain. Catenary adalah lekukan yang terbentuk secara semula jadi apabila rantai atau tali tergantung secara longgar dari dua titik yang terpisah.

Rajah 5. Lengkungan catenary dan perbandingan dengan lengkungan parabola. Disediakan oleh Ricardo Pérez.

Catenary serupa dengan parabola, tetapi tidak sama persis seperti yang dapat dilihat pada gambar 4.

Lengkungan catenary terbalik digunakan dalam seni bina sebagai elemen struktur kekuatan mampatan tinggi. Sebenarnya, ia boleh menjadi jenis busur terkuat di antara semua bentuk yang mungkin.

Untuk membina lengkungan catenary yang kukuh, salin saja bentuk tali gantung atau rantai, kemudian bentuk yang disalin dibalik untuk menghasilkannya semula di pintu atau tingkap tingkap.

Lengkungan elips

Busur berbentuk elips sekiranya lekukan yang menghubungkan dua titik adalah potongan elips. Elips didefinisikan sebagai lokus titik yang jaraknya dengan dua titik yang diberikan selalu menambah jumlah tetap.

Elips adalah lengkung yang muncul di alam: ini adalah lengkung lintasan planet-planet di sekitar Matahari, seperti yang ditunjukkan oleh Johannes Kepler pada tahun 1609.

Dalam praktiknya elips dapat ditarik dengan menyematkan dua tali ke tanah atau dua pin dalam sehelai kertas dan mengikat tali pada mereka. Tali kemudian diketatkan dengan penanda atau pensil dan lekukannya dikesan. Sekeping elips adalah busur elips. Animasi berikut menggambarkan bagaimana elips dilukis:

Rajah 5. Mengesan elips menggunakan tali yang tegang. Sumber: Wikimedia Commons

Rajah 6 menunjukkan titik penghubung lengkung elips G dan H.

Rajah 6. Lengkungan elips menghubungkan dua titik. Disediakan oleh Ricardo Pérez.

Contoh lengkungan

Contoh berikut merujuk kepada cara mengira perimeter lengkungan tertentu.

Contoh 1

Gambar 7 menunjukkan tetingkap yang selesai di lengkung bulat yang dipotong. Dimensi yang ditunjukkan dalam gambar adalah di kaki. Cari panjang lengkok.

Rajah 7. Pengiraan panjang lengkok bulat tingkap. (Anotasi sendiri - gambar tetingkap di Pixabay)

Untuk mendapatkan pusat dan jejari arka bulat lintel tingkap, pembinaan berikut dibuat pada gambar:

-Segmen KL dilukis dan bahagiannya dilukis.

-Kemudian titik tertinggi lintel terletak, yang kita panggil M. Seterusnya, segmen KM dipertimbangkan dan mediatrixnya dikesan.

Pintas kedua dua bahagian adalah titik N dan ia juga merupakan pusat lengkungan bulat.

-Sekarang kita mesti mengukur panjang segmen NM, yang bertepatan dengan jejari R lengkok bulat: R = 2.8 kaki.

-Untuk mengetahui panjang lengkok selain jejari, perlu mengetahui sudut yang membentuk busur. Yang dapat ditentukan dengan dua kaedah, sama ada diukur dengan protraktor, atau sebagai alternatifnya dikira menggunakan trigonometri.

Dalam kes yang ditunjukkan, sudut yang dibentuk oleh busur adalah 91.13º, yang mesti ditukar menjadi radian:

91.13º = 91.13º * π / 180º = 1.59 radian

Akhirnya kami mengira panjang s arka dengan menggunakan formula s = α R.

s = 1.59 * 2.8 kaki = 4.45 kaki

Contoh 2

Cari panjang lengkungan elips yang ditunjukkan dalam rajah 8, ketahui paksi separa utama r dan paksi separa minor elips.

Rajah 8. Lengkungan elips antara GH. Disediakan oleh Ricardo Pérez.

Menjumpai panjang elips adalah salah satu masalah paling sukar dalam matematik sejak sekian lama. Anda boleh mendapatkan penyelesaian yang dinyatakan oleh integral elips tetapi untuk mendapatkan nilai berangka, anda harus mengembangkan integrasi ini dalam rangkaian kuasa. Hasil yang tepat akan memerlukan jangka masa panjang dari siri-siri tersebut.

Nasib baik, genius matematik Hindu Ramanujan, yang hidup antara tahun 1887 dan 1920, menemui formula yang tepat mendekati perimeter elips:

Perimeter elips dengan r = 3 cm dan s = 2.24 cm ialah 16.55 cm. Walau bagaimanapun, busur elips yang ditunjukkan mempunyai separuh nilai:

Panjang lengkungan elips GH = 8.28 cm.

Rujukan

1. Clemens S. 2008. Geometri dan Trigonometri. Pendidikan Pearson.
2. García F. Prosedur numerik di Jawa. Panjang elips. Dipulihkan dari: sc.ehu.es
3. Geometri dinamik. Busur. Dipulihkan dari geometriadinamica.es
4. Piziadas. Elips dan parabola di sekeliling kita. Dipulihkan dari: piziadas.com
5. Wikipedia. Lengkungan (geometri). Dipulihkan dari: es.wikipedia.com