TRANSFORMASI ISOMETRIK: KOMPOSISI, JENIS DAN CONTOH - MATEMATIK - 2025

The transformasi isometrik adalah perubahan kedudukan atau orientasi angka tertentu yang tidak mengubah bentuk atau saiz ini. Transformasi ini dikelaskan kepada tiga jenis: terjemahan, putaran dan pantulan (isometri). Secara umum, transformasi geometri membolehkan anda membuat angka baru dari yang tertentu.

Transformasi menjadi sosok geometri bermaksud bahawa, dalam beberapa cara, ia telah mengalami beberapa perubahan; iaitu, ia diubah. Menurut pengertian yang asli dan yang serupa dalam satah, transformasi geometri dapat dikelaskan kepada tiga jenis: isometrik, isomorfik dan anamorfik.

ciri-ciri

Transformasi isometrik berlaku apabila besarnya segmen dan sudut antara angka asal dan angka yang diubah dipelihara.

Dalam jenis transformasi ini, baik bentuk maupun ukuran angka diubah (mereka sesuai), itu hanya perubahan pada kedudukannya, baik dalam orientasi atau arah. Dengan cara ini, angka awal dan akhir akan serupa dan sepadan secara geometri.

Isometri merujuk kepada persamaan; dengan kata lain, angka geometri akan menjadi isometrik sekiranya mempunyai bentuk dan ukuran yang sama.

Dalam transformasi isometrik, satu-satunya perkara yang dapat diperhatikan adalah perubahan kedudukan dalam satah, pergerakan kaku berlaku berkat angka yang berubah dari kedudukan awal ke yang terakhir. Angka ini disebut homolog (serupa) dari yang asal.

Terdapat tiga jenis pergerakan yang mengklasifikasikan transformasi isometrik: terjemahan, putaran, dan pantulan atau simetri.

Jenis-Jenis

Dengan terjemahan

Mereka adalah isometri yang memungkinkan semua titik pesawat bergerak dalam garis lurus pada arah dan jarak tertentu.

Apabila angka diubah oleh terjemahan, ia tidak mengubah orientasinya dalam kaitannya dengan kedudukan awal, juga tidak kehilangan ukuran dalamannya, ukuran sudut dan sisinya. Jenis anjakan ini ditentukan oleh tiga parameter:

- Satu arah, yang boleh mendatar, menegak atau serong.

- Satu arah, yang dapat ke kiri, kanan, atas atau bawah.

- Jarak atau magnitud, iaitu panjang dari kedudukan awal hingga akhir setiap titik yang bergerak.

Agar transformasi isometrik dengan terjemahan dapat dipenuhi, syarat berikut mesti dipenuhi:

- Angka itu mesti sentiasa menjaga semua dimensinya, baik linear dan sudut.

- Angka tersebut tidak mengubah kedudukannya berkenaan dengan paksi mendatar; iaitu, sudut tidak pernah berbeza.

- Terjemahan akan selalu diringkaskan dalam satu, tanpa mengira jumlah terjemahan yang dibuat.

Dalam satah di mana pusatnya adalah titik O, dengan koordinat (0,0), terjemahannya ditentukan oleh vektor T (a, b), yang menunjukkan perpindahan titik awal. Maksudnya:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Sebagai contoh, jika terjemahan T (-4, 7) diterapkan pada titik koordinat P (8, -2), kita memperoleh:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '= P' (4, 5)

Pada gambar berikut (kiri) dapat dilihat bagaimana titik C bergerak bertepatan dengan D. Ia melakukannya dalam arah menegak, arahnya ke atas dan CD jarak atau besarnya 8 meter. Pada gambar yang betul, terjemahan segitiga diperhatikan:

Dengan putaran

Mereka adalah isometri yang membolehkan angka itu memutar semua titik satah. Setiap titik berpusing mengikuti lengkok yang mempunyai sudut tetap dan titik tetap (pusat putaran) ditentukan.

Maksudnya, semua putaran akan ditentukan oleh pusat putaran dan sudut putarannya. Apabila angka diubah oleh putaran, ia mengukur ukuran sudut dan sisinya.

Putaran berlaku pada arah tertentu, ia adalah positif ketika putaran berlawanan arah jarum jam (arah yang berlawanan dengan bagaimana tangan jam berpusing) dan negatif ketika putarannya mengikut arah jam.

Sekiranya titik (x, y) diputar sehubungan dengan asal - iaitu pusat putarannya adalah (0,0) -, pada sudut 90 ^atau 360 ^atau koordinat titik akan:

Sekiranya putaran tidak mempunyai pusat pada asal, asal sistem koordinat harus dipindahkan ke asal yang baru, agar dapat memutar angka dengan asal sebagai pusat.

Contohnya, jika titik P (-5,2) digunakan putaran 90 ^atau , sekitar titik asal dan positif koordinat barunya adalah (-2,5).

Dengan renungan atau simetri

Mereka adalah transformasi yang membalikkan titik dan angka satah. Pembalikan ini boleh berkaitan dengan titik atau juga berkaitan dengan garis.

Dengan kata lain, dalam jenis transformasi ini, setiap titik angka asal dihubungkan dengan titik lain (gambar) tokoh homolog, sedemikian rupa sehingga titik dan imejnya berada pada jarak yang sama dari garis yang disebut paksi simetri. .

Oleh itu, bahagian kiri angka akan menjadi pantulan bahagian kanan, tanpa mengubah bentuk atau dimensinya. Simetri mengubah angka menjadi sama lain tetapi ke arah yang bertentangan, seperti yang dapat dilihat pada gambar berikut:

Simetri terdapat dalam banyak aspek, seperti di beberapa tumbuhan (bunga matahari), haiwan (merak) dan fenomena semula jadi (kepingan salji). Manusia memantulkannya di wajahnya, yang dianggap sebagai faktor kecantikan. Refleksi atau simetri boleh terdiri daripada dua jenis:

Simetri pusat

Transformasi itulah yang terjadi sehubungan dengan titik, di mana sosok itu dapat mengubah arahnya. Setiap titik angka asal dan gambarnya berada pada jarak yang sama dari titik O, yang disebut pusat simetri. Simetri penting apabila:

- Kedua titik dan imej serta pusatnya tergolong dalam garis yang sama.

- Dengan putaran 180 ^o pusat O, angka yang sama dengan yang asal diperoleh.

- Garis angka awal selari dengan garis angka yang terbentuk.

- Rasa angka tidak berubah, ia akan sentiasa mengikut arah jam.

Komposisi putaran

Komposisi dua putaran dengan pusat yang sama menghasilkan giliran lain, yang mempunyai pusat yang sama dan yang amplitudnya akan menjadi jumlah amplitud kedua putaran.

Sekiranya pusat giliran mempunyai pusat yang berbeza, potongan dua bahagian dua titik yang serupa akan menjadi pusat giliran.

Komposisi simetri

Dalam kes ini, komposisi akan bergantung pada bagaimana ia digunakan:

- Sekiranya simetri yang sama diterapkan dua kali, hasilnya akan menjadi identiti.

- Sekiranya dua simetri diterapkan berkenaan dengan dua paksi selari, hasilnya akan menjadi terjemahan, dan perpindahannya adalah dua kali jarak paksi tersebut:

- Sekiranya dua simetri diterapkan sehubungan dengan dua paksi yang bersilang pada titik O (tengah), putaran dengan pusat di O akan diperoleh dan sudutnya akan menjadi dua kali sudut yang dibentuk oleh sumbu:

Rujukan

1. V Bourgeois, JF (1988). Bahan untuk pembinaan geometri. Madrid: Sintesis.
2. Cesar Calavera, IJ (2013). Lukisan Teknikal II. Paraninfo SA: Edisi Menara.
3. Coxeter, H. (1971). Asas Geometri. Mexico: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometri Pendekatan Transformasi. Amerika Syarikat: Laidlaw Brothers.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Induksi dan formalisasi dalam pengajaran transformasi kaku di persekitaran CABRI.
6. , PJ (1996). Kumpulan isometri satah. Madrid: Sintesis.
7. Suárez, AC (2010). Transformasi dalam satah. Gurabo, Puerto Rico: AMCT.