DERIVATIF ALGEBRA (DENGAN CONTOH) - MATEMATIK - 2025

The derivatif algebra terdiri daripada kajian terbitan dalam hal fungsi algebra. Asal pengertian derivatif berasal dari Yunani Kuno. Perkembangan gagasan ini didorong oleh keperluan untuk menyelesaikan dua masalah penting, satu dalam fizik dan satu lagi dalam matematik.

Dalam fizik, derivatif menyelesaikan masalah menentukan halaju sekejap objek yang bergerak. Dalam matematik, ini membolehkan anda mencari garis singgung ke lengkung pada titik tertentu.

Walaupun benar-benar ada lebih banyak masalah yang dapat diselesaikan dengan menggunakan derivatif, dan juga generalisasi, hasil yang muncul setelah pengenalan konsepnya.

Pelopor kalkulus pembezaan adalah Newton dan Leibniz. Sebelum memberikan definisi formal, kita akan mengembangkan idea di belakangnya, dari sudut matematik dan fizikal.

Derivatif sebagai cerun garis singgung ke lengkung

Katakan bahawa graf fungsi y = f (x) adalah graf berterusan (tanpa puncak atau bucu atau jurang), dan biarkan A = (a, f (a)) menjadi titik tetap di atasnya. Kami ingin mencari persamaan garis tangen dengan graf fungsi f pada titik A.

Mari kita titik P = (x, f (x) lain pada grafik, dekat dengan titik A, dan lukiskan garis pemisah yang melintasi A dan P. Garis pemisah adalah garis yang memotong graf lengkung satu atau lebih banyak mata.

Untuk mendapatkan garis tangen yang kita mahukan, kita hanya perlu mengira cerun kerana kita sudah mempunyai titik pada garis: titik A.

Sekiranya kita menggerakkan titik P di sepanjang grafik dan semakin dekat ke titik A, garis pemisah yang disebutkan sebelumnya akan menghampiri garis singgung yang ingin kita cari. Mengambil had ketika "P cenderung ke A", kedua garis akan bertepatan, oleh itu cerunnya juga.

Cerun garis pemisah diberikan oleh

Mengatakan bahawa P mendekati A sama dengan mengatakan bahawa "x" menghampiri "a". Oleh itu, cerun garis tangen ke graf f pada titik A akan sama dengan:

Ungkapan di atas dilambangkan dengan f '(a), dan didefinisikan sebagai turunan fungsi f pada titik "a". Oleh itu, kita melihat bahawa secara analitis, turunan fungsi pada suatu titik adalah had, tetapi secara geometri, ia adalah cerun garis yang bersinggungan dengan grafik fungsi pada titik tersebut.

Sekarang kita akan melihat pengertian ini dari sudut fizik. Kami akan mencapai ungkapan had sebelumnya yang sama, walaupun dengan jalan yang berbeza, sehingga memperoleh sebulat suara definisi.

Derivatif sebagai halaju sekejap objek bergerak

Mari kita lihat contoh ringkas tentang halaju sekejap maksudnya. Apabila dikatakan, misalnya, sebuah kereta untuk sampai ke suatu destinasi melakukannya dengan kecepatan 100 km per jam, yang berarti dalam satu jam perjalanan 100 km.

Ini tidak bermaksud bahawa sepanjang jam kereta sentiasa 100 km, speedometer kereta dalam beberapa saat dapat menandakan kurang atau lebih. Sekiranya anda perlu berhenti di lampu isyarat, kelajuan anda pada masa itu adalah 0 km. Namun, setelah satu jam, perjalanan sejauh 100 km.

Inilah yang dikenali sebagai kelajuan rata-rata dan diberikan oleh hasil jarak yang dilalui dan masa berlalu, seperti yang baru kita lihat. Sebaliknya, kelajuan seketika adalah yang menandakan jarum speedometer kereta pada waktu tertentu (waktu).

Mari kita lihat sekarang secara lebih umum. Anggaplah objek bergerak sepanjang garis dan anjakan ini diwakili oleh persamaan s = f (t), di mana pemboleh ubah t mengukur masa dan pemboleh ubah s perpindahan, dengan mengambil kira permulaannya pada sekejap t = 0, pada masa itu ia juga sifar, iaitu, f (0) = 0.

Fungsi f (t) ini dikenali sebagai fungsi kedudukan.

Ekspresi dicari untuk halaju sekejap objek pada saat tetap "a". Pada kelajuan ini kita akan menandakannya dengan V (a).

Jangan sesekali dekat dengan "a" sekejap. Dalam selang waktu antara "a" dan "t", perubahan posisi objek diberikan oleh f (t) -f (a).

Kelajuan purata dalam selang waktu ini adalah:

Yang merupakan penghampiran halaju sekejap V (a). Pendekatan ini akan menjadi lebih baik apabila semakin dekat dengan "a". Oleh itu,

Perhatikan bahawa ungkapan ini sama dengan yang diperoleh dalam kes sebelumnya, tetapi dari perspektif yang berbeza. Inilah yang dikenal sebagai turunan fungsi f pada titik "a" dan dilambangkan dengan f '(a), seperti yang dinyatakan di atas.

Perhatikan bahawa ketika membuat perubahan h = xa, kita memiliki ketika "x" cenderung "a", "h" cenderung ke 0, dan had sebelumnya diubah (setara) menjadi:

Kedua-dua ungkapan itu setara tetapi kadang-kadang lebih baik menggunakan satu daripada yang lain, bergantung pada kasusnya.

Derivatif fungsi f pada setiap titik "x" milik domainnya kemudian ditakrifkan dengan cara yang lebih umum sebagai

Notasi yang paling umum untuk mewakili terbitan fungsi y = f (x) adalah yang baru kita lihat (f 'atau y'). Namun, notasi lain yang banyak digunakan adalah notasi Leibniz yang diwakili sebagai salah satu ungkapan berikut:

Oleh kerana derivatif pada dasarnya adalah had, ia mungkin atau mungkin tidak ada, kerana had tidak selalu ada. Sekiranya wujud, fungsi yang dimaksudkan dapat dibezakan pada titik tertentu.

Fungsi algebra

Fungsi algebra adalah gabungan polinomial dengan penambahan, pengurangan, produk, kuota, kuasa, dan radikal.

Polinomial adalah ungkapan bentuk

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Di mana n adalah nombor semula jadi dan semua _i , dengan i = 0,1, …, n, adalah nombor rasional dan _n ≠ 0. Dalam kes ini tahap polinomial ini dikatakan n.

Berikut adalah contoh fungsi algebra:

Fungsi eksponen, logaritma, dan trigonometri tidak termasuk di sini. Peraturan derivasi yang akan kita lihat selanjutnya berlaku untuk fungsi pada umumnya, tetapi kita akan mengehadkan diri kita dan menerapkannya dalam kes fungsi algebra.

Peraturan pintasan

Terbitan pemalar

Nyatakan bahawa terbitan pemalar adalah sifar. Iaitu, jika f (x) = c, maka f '(x) = 0. Contohnya, terbitan fungsi malar 2 sama dengan 0.

Turunan kuasa

Sekiranya f (x) = x ⁿ , maka f '(x) = nx ^n-1 . Contohnya, terbitan x ³ adalah 3x ² . Akibatnya, kita memperoleh bahawa terbitan fungsi identiti f (x) = x adalah f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Contoh lain adalah seperti berikut: let f (x) = 1 / x ² , kemudian f (x) = x ^-2 dan f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Harta ini juga merupakan akar yang sah, kerana akar adalah kekuatan rasional dan perkara di atas juga dapat diterapkan dalam hal ini. Sebagai contoh, terbitan punca kuasa dua diberikan oleh

Derivatif penambahan dan pengurangan

Sekiranya f dan g adalah fungsi yang boleh dibezakan dalam x, maka jumlah f + g juga dapat dibezakan dan berpuas hati bahawa (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Begitu juga dengan kita (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Dengan kata lain, terbitan jumlah (pengurangan), adalah jumlah (atau pengurangan) derivatif.

Contohnya

Sekiranya h (x) = x ² + x-1, maka

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Berasal dari produk

Sekiranya f dan g adalah fungsi yang boleh dibezakan dalam x, maka produk fg juga dapat dibezakan dalam x dan memang benar bahawa

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Sebagai konsekuensinya, berikut bahawa jika c adalah pemalar dan f adalah fungsi yang dapat dibezakan dalam x, maka cf juga dapat dibezakan dalam x dan (cf) '(x) = cf' (X).

Contohnya

Sekiranya f (x) = 3x (x ² +1), maka

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Turunan bagi hasil tambah

Sekiranya f dan g dapat dibezakan pada x dan g (x) ≠ 0, maka f / g juga dapat dibezakan pada x, dan memang benar bahawa

Contoh: jika h (x) = x ³ / (x ² -5x), maka

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Peraturan rantai

Peraturan ini memungkinkan untuk memperoleh komposisi fungsi. Nyatakan yang berikut: jika y = f (u) dapat dibezakan pada u, yu = g (x) dapat dibezakan pada x, maka fungsi komposit f (g (x)) dapat dibezakan pada x, dan benar bahawa '= f '(g (x)) g' (x).

Maksudnya, terbitan fungsi komposit adalah produk terbitan fungsi luaran (derivatif luaran) dan terbitan fungsi dalaman (derivatif dalaman).

Contohnya

Sekiranya f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , maka

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Terdapat juga hasil untuk mengira derivatif fungsi terbalik, serta generalisasi ke derivatif tertib yang lebih tinggi. Permohonannya luas. Antaranya, kegunaannya dalam masalah pengoptimuman dan fungsi maksimum dan minimum menonjol.

Rujukan

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Kalkulus berbeza. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Pengiraan 4000. Progreso Editorial.
3. Castaño, HF (2005). Matematik sebelum pengiraan. Universiti Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Pengenalan Kalkulus. Edisi Ambang.
5. Fuentes, A. (2016). MATEMATIK ASAS. Pengenalan Kalkulus. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Pengiraan. Pendidikan Pearson.
7. Saenz, J. (2005). Kalkulus Pembezaan (Edisi kedua). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Pengiraan: beberapa pemboleh ubah. Pendidikan Pearson.