HOMOTHECY: SIFAT, JENIS DAN CONTOH - MATEMATIK - 2025

The pengembangan perubahan geometri dalam satah yang, dari sudut tetap dipanggil pusat (O), jarak didarabkan dengan faktor yang sama. Dengan cara ini, setiap titik P sesuai dengan produk titik P transformasi yang lain, dan ini sejajar dengan titik O.

Jadi, homothecy adalah mengenai korespondensi antara dua angka geometri, di mana titik-titik yang berubah disebut homothetic, dan ini diselaraskan dengan titik tetap dan dengan segmen yang selari antara satu sama lain.

Homothecy

Homothecy adalah transformasi yang tidak mempunyai imej yang sesuai, kerana dari angka satu atau lebih angka yang lebih besar atau lebih kecil daripada angka asal akan diperoleh; maksudnya, bahawa homothecy mengubah poligon menjadi lain yang serupa.

Agar homothecy dipenuhi, titik ke titik dan garis ke baris mesti sesuai, sehingga pasangan titik homolog diselaraskan dengan titik tetap ketiga, yang merupakan pusat homothecy.

Begitu juga, pasangan garis yang menyertainya mestilah selari. Hubungan antara segmen tersebut adalah pemalar yang disebut nisbah homothecy (k); sedemikian rupa sehingga homothecy dapat didefinisikan sebagai:

Untuk melakukan transformasi jenis ini, kita mulakan dengan memilih titik sewenang-wenang, yang akan menjadi pusat homothecy.

Dari sudut ini, segmen garis dilukis untuk setiap bucu angka yang akan diubah. Skala di mana pembiakan angka baru dibuat diberikan oleh nisbah homothecy (k).

Hartanah

Salah satu sifat utama homothecy adalah bahawa, dengan alasan homothetic (k), semua angka homothetic serupa. Antara harta tanah yang unggul adalah seperti berikut:

- Pusat homothecia (O) adalah satu-satunya titik ganda dan ini berubah menjadi dirinya sendiri; iaitu, ia tidak berbeza.

- Garisan yang melewati pusat berubah menjadi diri mereka sendiri (mereka berganda), tetapi titik yang menyusunnya tidak berganda.

- Garisan yang tidak melalui pusat diubah menjadi garis selari; dengan cara ini, sudut homothecy tetap sama.

- Imej segmen oleh homothecy pusat O dan nisbah k, adalah segmen selari dengan ini dan mempunyai k kali panjangnya. Sebagai contoh, seperti yang dilihat pada gambar berikut, segmen AB oleh homothecy akan menghasilkan segmen A'B 'yang lain, sehingga AB akan selari dengan A'B' dan k akan:

- Sudut homotetik selaras; iaitu, mereka mempunyai ukuran yang sama. Oleh itu, imej sudut adalah sudut yang mempunyai amplitud yang sama.

Sebaliknya, kita berpendapat bahawa homothecy berbeza mengikut fungsi nilai nisbahnya (k), dan kes-kes berikut boleh berlaku:

- Sekiranya pemalar k = 1, semua titik tetap kerana ia berubah sendiri. Oleh itu, sosok homotetik bertepatan dengan yang asli dan transformasi akan dipanggil fungsi identiti.

- Jika k ≠ 1, satu-satunya titik tetap akan menjadi pusat homotetik (O).

- Jika k = -1, homothecy menjadi simetri pusat (C); iaitu berlaku putaran di sekitar C, pada sudut 180 ^atau .

- Jika k> 1, ukuran angka yang diubah akan lebih besar daripada ukuran yang asal.

- Jika 0 <k <1, ukuran angka yang diubah akan lebih kecil daripada yang asal.

- Jika -1 <k <0, ukuran angka yang diubah akan lebih kecil dan akan dipusingkan dengan yang asal.

- Jika k <-1, ukuran angka yang diubah akan lebih besar dan ia akan diputar sehubungan dengan yang asal.

Jenis-Jenis

Homothecy juga dapat diklasifikasikan menjadi dua jenis, bergantung pada nilai nisbahnya (k):

Homothecy langsung

Ia berlaku sekiranya pemalar k> 0; iaitu, titik homotetik berada di sisi yang sama berkenaan dengan pusat:

Faktor perkadaran atau nisbah kesamaan antara angka homotetik langsung akan sentiasa positif.

Berbalik homothecy

Ia berlaku sekiranya pemalar k <0; iaitu, titik awal dan homotetiknya terletak di hujung yang bertentangan dengan pusat homotetik tetapi sejajar dengannya. Pusatnya akan berada di antara dua tokoh:

Faktor perkadaran atau nisbah kesamaan antara angka homotetik terbalik akan selalu negatif.

Komposisi

Apabila beberapa pergerakan dilakukan secara berturut-turut sehingga memperoleh angka yang sama dengan yang asal, komposisi pergerakan berlaku. Komposisi beberapa pergerakan juga merupakan pergerakan.

Komposisi antara dua homothecies menghasilkan homothecy baru; iaitu, terdapat produk homotetia di mana pusatnya akan diselaraskan dengan pusat dua transformasi asal, dan nisbah (k) adalah produk dari dua nisbah.

Oleh itu, dalam komposisi dua homotheties H ₁ (O ₁ , k ₁ ) dan H ₂ (O ₂ , k ₂ ), pendaraban nisbah mereka: k ₁ xk ₂ = 1 akan menghasilkan homothecy nisbah k ₃ = k ₁ xk ₂ . Pusat homothecy baru ini (O ₃ ) akan terletak di garisan O ₁ O ₂ .

Homothecia sesuai dengan perubahan yang rata dan tidak dapat dipulihkan; Sekiranya dua homotetia diterapkan yang mempunyai pusat dan nisbah yang sama tetapi dengan tanda yang berbeza, angka asal akan diperoleh.

Contoh

Contoh pertama

Sapukan homothecy pada poligon pusat (O) yang diberikan, terletak 5 cm dari titik A dan nisbahnya adalah k = 0,7.

Penyelesaian

Titik mana pun dipilih sebagai pusat homothecy, dan dari titik ini sinar ditarik melalui bucu gambar:

Jarak dari pusat (O) ke titik A ialah OA = 5; Dengan ini, jarak salah satu titik homotetik (OA ') dapat ditentukan, juga mengetahui bahawa k = 0.7:

OA '= kx OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5.

Prosesnya dapat dilakukan untuk setiap bucu, atau poligon homotetik juga dapat dilukis dengan mengingat kedua-dua poligon itu mempunyai sisi selari:

Akhirnya, transformasi kelihatan seperti ini:

Contoh kedua

Sapukan homothecy ke poligon yang diberikan dengan pusat (O), terletak 8.5 cm dari titik C dan nisbah ynya k = -2.

Penyelesaian

Jarak dari pusat (O) ke titik C ialah OC = 8.5; Dengan data ini adalah mungkin untuk menentukan jarak salah satu titik homotetik (OC '), juga mengetahui bahawa k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

Setelah melukis segmen bucu poligon yang diubah, kita mempunyai titik awal dan homotetisnya terletak di hujung yang bertentangan dengan pusat:

Rujukan

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Lukisan Teknikal: buku nota aktiviti.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Perkaitan, Homologi dan Homothecy.
3. Baer, ​​R. (2012). Algebra Linear dan Geometri Projektif. Syarikat Kurier.
4. Hebert, Y. (1980). Matematik am, kebarangkalian dan statistik.
5. Meserve, BE (2014). Konsep Asas Geometri. Syarikat Kurier.
6. Nachbin, L. (1980). Pengenalan kepada algebra. Reverte.