PRODUK SILANG: SIFAT, APLIKASI DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2024

Yang produk produk atau vektor silang adalah satu cara mendarabkan dua atau lebih vektor. Terdapat tiga cara untuk memperbanyak vektor, tetapi tidak satu pun adalah penggandaan dalam pengertian biasa kata. Salah satu bentuk ini dikenali sebagai produk vektor, yang menghasilkan vektor ketiga.

Produk silang, yang juga disebut produk silang atau produk luar, mempunyai sifat algebra dan geometri yang berbeza. Sifat-sifat ini sangat berguna, terutama dari segi kajian fizik.

Definisi

Definisi formal bagi produk vektor adalah yang berikut: jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3) adalah vektor, maka produk vektor A dan B, yang akan kita nyatakan sebagai AxB, adalah:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Oleh kerana notasi AxB, ia dibaca sebagai "A cross B".

Contoh cara menggunakan produk luar adalah jika A = (1, 2, 3) dan B = (3, -2, 4) adalah vektor, maka dengan menggunakan definisi produk vektor, kita mempunyai:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Kaedah lain untuk menyatakan produk vektor diberikan oleh notasi penentu.

Pengiraan penentu urutan kedua diberikan oleh:

Oleh itu, formula untuk produk silang yang diberikan dalam definisi dapat ditulis semula seperti berikut:

Ini biasanya disederhanakan menjadi penentu urutan ketiga seperti berikut:

Di mana i, j, k mewakili vektor yang membentuk asas R ³ .

Dengan menggunakan cara ini untuk menyatakan produk silang, kita mempunyai contoh sebelumnya yang boleh ditulis semula sebagai:

Hartanah

Beberapa sifat yang dimiliki produk vektor adalah seperti berikut:

Harta 1

Sekiranya A ada vektor dalam R ³ , kita mempunyai:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Sifat-sifat ini mudah diperiksa hanya dengan menggunakan definisi. Sekiranya A = (a1, a2, a3) kita mempunyai:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Sekiranya i, j, k mewakili asas unit R ³ , kita boleh menulisnya seperti berikut:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Oleh itu, kami mempunyai sifat berikut:

Sebagai peraturan mnemonik, lingkaran berikut sering digunakan untuk mengingat sifat-sifat ini:

Di sana kita harus perhatikan bahawa sebarang vektor dengan sendirinya memberikan vektor 0 sebagai hasilnya, dan selebihnya produk dapat diperoleh dengan peraturan berikut:

Hasil silang dua vektor berturut-turut mengikut arah jam memberikan vektor seterusnya; dan apabila dipusingkan mengikut arah jam, hasilnya adalah vektor berikut dengan tanda negatif.

Berkat sifat-sifat ini, kita dapat melihat bahawa produk vektor tidak bersifat komutatif; sebagai contoh, perhatikan bahawa ixj ≠ jx i. Harta berikut memberitahu kami bagaimana AxB dan BxA berkaitan secara umum.

Harta 2

Sekiranya A dan B adalah vektor R ³ , kita mempunyai:

AxB = - (BxA).

Demonstrasi

Sekiranya A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), mengikut definisi produk luaran kita mempunyai:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Kita juga dapat melihat bahawa produk ini tidak berkaitan dengan contoh berikut:

ix (ixj) = ixk = - j tetapi (ixi) xj = 0xj = 0

Dari ini kita dapat melihat bahawa:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Harta 3

Sekiranya A, B, C adalah vektor R ³ dan r adalah nombor nyata, berikut adalah benar:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Berkat sifat-sifat ini, kami dapat mengira produk vektor menggunakan undang-undang aljabar, dengan syarat pesanan dipatuhi. Sebagai contoh:

Sekiranya A = (1, 2, 3) dan B = (3, -2, 4), kita dapat menulis semula mereka dari segi asas kanonik R ³ .

Oleh itu, A = i + 2j + 3k dan B = 3i - 2j + 4k. Kemudian, menggunakan sifat sebelumnya:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Harta 4 (produk tiga titik)

Seperti yang kami sebutkan di awal, ada cara lain untuk memperbanyak vektor selain produk vektor. Salah satu cara ini adalah produk skalar atau produk dalaman, yang dilambangkan sebagai A-B dan yang definisinya adalah:

Sekiranya A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), maka A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Harta yang menghubungkan kedua-dua produk ini dikenali sebagai produk tiga skalar.

Sekiranya A, B, dan C adalah vektor R ³ , maka A ∙ BxC = AxB ∙ C

Sebagai contoh, mari kita lihat bahawa, memandangkan A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) dan C = (- 5, 1, - 4), harta ini berpuas hati.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Selain itu:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Produk triple lain ialah Ax (BxC), yang dikenali sebagai produk vektor tiga.

Harta 5 (produk vektor tiga)

Sekiranya A, B dan C adalah vektor R ³ , maka:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Sebagai contoh, mari kita lihat bahawa, memandangkan A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) dan C = (- 5, 1, - 4), harta ini berpuas hati.

Dari contoh sebelumnya kita tahu bahawa BxC = (- 18, - 22, 17). Mari hitung Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Sebaliknya, kita harus:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Oleh itu, kita harus:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

Harta 6

Ia adalah salah satu sifat geometri vektor. Sekiranya A dan B adalah dua vektor dalam R ³ dan ϴ adalah sudut yang terbentuk di antara mereka, maka:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), di mana - ∙ - menunjukkan modulus atau magnitud vektor.

Tafsiran geometri harta tanah ini adalah seperti berikut:

Biarkan A = PR dan B = PQ. Jadi sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B adalah sudut P segitiga RQP, seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut.

Oleh itu, luas paralelogram yang memiliki PR dan PQ sebagai sisi bersebelahan adalah --A ---- B - sin (ϴ), kerana kita dapat mengambil --A-- sebagai dasar dan tingginya diberikan oleh --B - sin (ϴ).

Oleh itu, kita dapat menyimpulkan bahawa --AxB-- adalah kawasan paralelogram tersebut.

Contohnya

Diberi bucu-bucu berikut dari segiempat P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) dan S (5,7, -3), tunjukkan bahawa segiempat ialah parallelogram dan cari kawasannya.

Untuk ini pertama kita menentukan vektor yang menentukan arah sisi sisi segiempat. Ini adalah:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Seperti yang kita lihat, A dan C mempunyai vektor pengarah yang sama, yang mana kita mempunyai kedua-duanya selari; perkara yang sama berlaku dengan B dan D. Oleh itu, kami menyimpulkan bahawa PQRS adalah sebuah parallelogram.

Untuk mempunyai luas selari ini, kami mengira BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Oleh itu, kawasan kuasa dua adalah:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Dapat disimpulkan bahawa kawasan parallelogram akan menjadi punca kuasa dua 89.

Harta tanah 7

Dua vektor A dan B selari dalam R ³ jika dan hanya jika AxB = 0

Demonstrasi

Jelas bahawa jika A atau B adalah vektor nol, maka terpenuhi bahawa AxB = 0. Oleh kerana vektor sifar selari dengan vektor lain, maka sifat itu sah.

Sekiranya kedua-dua vektor itu bukan vektor sifar, kita mempunyai magnitudnya berbeza dari sifar; iaitu, kedua --A-- ≠ 0 dan --B-- ≠ 0, jadi kita akan memiliki --AxB-- = 0 jika dan hanya jika sin (ϴ) = 0, dan ini berlaku jika dan hanya jika ϴ = π atau ϴ = 0.

Oleh itu, kita dapat menyimpulkan AxB = 0 jika dan hanya jika ϴ = π atau ϴ = 0, yang hanya berlaku apabila kedua-dua vektor itu selari antara satu sama lain.

Harta Tanah 8

Sekiranya A dan B adalah dua vektor dalam R ³ , maka AxB adalah tegak lurus kepada kedua-dua A dan B.

Demonstrasi

Untuk bukti ini, ingatlah bahawa dua vektor tegak lurus jika A ∙ B sama dengan sifar. Selanjutnya, kita tahu bahawa:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, tetapi AxA sama dengan 0. Oleh itu, kami mempunyai:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Dengan ini kita dapat menyimpulkan bahawa A dan AxB saling tegak lurus antara satu sama lain. Secara analogi, kita mesti:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Sejak BxB = 0, kami mempunyai:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Oleh itu, AxB dan B saling tegak lurus dan dengan ini sifatnya ditunjukkan. Ini sangat berguna bagi kita, kerana mereka membolehkan kita menentukan persamaan satah.

Contoh 1

Dapatkan persamaan satah yang melewati titik P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) dan R (2, 1, 3).

Biarkan A = QR = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) dan B = PR = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2). Kemudian A = - i + 3j + k dan B = i - 2j + k. Untuk mencari satah yang dibentuk oleh tiga titik ini, cukup untuk mencari vektor yang normal bagi satah, iaitu AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Dengan vektor ini, dan mengambil titik P (1, 3, 2), kita dapat menentukan persamaan satah seperti berikut:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Oleh itu, kita mempunyai persamaan satah ialah 5x + 2y - z - 9 = 0.

Contoh 2

Cari persamaan satah yang mengandungi titik P (4, 0, - 2) dan yang berserenjang dengan setiap satah x - y + z = 0 dan 2x + y - 4z - 5 = 0.

Mengetahui bahawa vektor normal ke satah kapak + oleh + cz + d = 0 adalah (a, b, c), kita mempunyai bahawa (1, -1,1) adalah vektor normal x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) adalah vektor normal 2x + y - 4z - 5 = 0.

Oleh itu vektor normal ke satah yang dicari mestilah tegak lurus ke (1, -1,1) dan ke (2, 1, - 4). Vektor ini adalah:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Kemudian, kita mempunyai bahawa satah yang dicari adalah satu yang mengandungi titik P (4,0, - 2) dan mempunyai vektor (3,6,3) sebagai vektor normal.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Permohonan

Pengiraan isipadu sejajar

Aplikasi yang mempunyai produk tiga skalar adalah untuk dapat menghitung isipadu paralel yang pinggirnya diberikan oleh vektor A, B dan C, seperti yang ditunjukkan pada gambar:

Kami dapat menyimpulkan aplikasi ini dengan cara berikut: seperti yang kami katakan sebelumnya, vektor AxB adalah vektor yang normal untuk satah A dan B. Kami juga mempunyai vektor - (AxB) adalah vektor lain yang normal untuk satah tersebut.

Kami memilih vektor normal yang membentuk sudut terkecil dengan vektor C; Tanpa kehilangan keluasan, biarkan AxB menjadi vektor yang sudut dengan C adalah terkecil.

Kami mempunyai kedua-dua AxB dan C mempunyai titik permulaan yang sama. Selanjutnya, kita tahu bahawa luas parallelogram yang membentuk pangkalan parallelepiped adalah --AxB--. Oleh itu, jika ketinggian parallelipiped diberikan oleh h, kita mempunyai volumnya adalah:

V = --AxB - h.

Sebaliknya, mari kita mempertimbangkan produk titik antara AxB dan C, yang dapat dijelaskan sebagai berikut:

Walau bagaimanapun, dengan sifat trigonometri kita mempunyai h = --C - cos (ϴ), jadi kita mempunyai:

Dengan cara ini, kita mempunyai:

Secara umum, kami berpendapat bahawa volume parallelepiped diberikan oleh nilai mutlak produk tiga skalar AxB ∙ C.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Memandangkan titik P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) dan S = (2, 6, 9), titik-titik ini membentuk pipa paralel yang tepinya mereka adalah PQ, PR dan PS. Tentukan isipadu parallelepiped tersebut.

Penyelesaian

Sekiranya kita mengambil:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Dengan menggunakan harta produk tiga skalar, kami mempunyai:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Oleh itu, kita berpendapat bahawa jumlah parallelepiped adalah 52.

Latihan 2

Tentukan isipadu parallelepiped yang tepinya diberikan oleh A = PQ, B = PR dan C = PS, di mana titik P, Q, R dan S adalah (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) dan (2, 2, 5), masing-masing.

Penyelesaian

Mula-mula kita mempunyai A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Kami mengira AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Kemudian kami mengira AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Oleh itu, kami menyimpulkan bahawa isi padu parallelepiped adalah 1 unit padu.

Rujukan

1. Leithold, L. (1992). Pengiraan dengan geometri analitik. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizik Vol. 1. Mexico: Kontinental.
3. Saenz, J. (nd). Vektor Kalkulus 1ed. Hypotenuse.
4. Spiegel, MR (2011). Analisis Vectorial 2ed. Bukit Mc Graw.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Pengiraan Beberapa Pembolehubah 4ed. Bukit Mc Graw.