TEOREMA STEINER: PENJELASAN, APLIKASI, LATIHAN - FIZIKAL - 2025

The Steiner 's teorem , juga dikenali sebagai Teorem paksi selari, untuk menilai momen sifat tekun sebuah badan yang panjang, kira-kira satu paksi yang selari dengan pemergian lain melalui pusat jisim objek.

Ia telah ditemui oleh Swiss matematik Jakob Steiner (1796 -1863) dan negeri-negeri berikut: mari saya _{CM menjadi} momen inersia objek berkenaan dengan paksi yang melalui pusatnya jisim CM dan saya _z momen sifat tekun terhadap paksi lain selari dengan ini.

Gambar 1. Pintu segi empat yang berputar pada engselnya mempunyai momen inersia yang dapat dikira dengan menerapkan teorem Steiner. Sumber: Pixabay.

Mengetahui jarak D yang memisahkan kedua paksi dan jisim M badan yang dimaksudkan, momen inersia berkenaan dengan paksi yang tidak diketahui adalah:

Momen inersia menunjukkan betapa mudahnya objek berpusing di sekitar paksi tertentu. Ia tidak hanya bergantung pada jisim badan, tetapi bagaimana ia diedarkan. Atas sebab ini ia juga dikenali sebagai inersia putaran, menjadi unitnya di Sistem Antarabangsa Kg. m ² .

Teorema menunjukkan bahawa momen inersia I _z selalu lebih besar daripada momen inersia I _CM dengan kuantiti yang diberikan oleh MD ² .

Permohonan

Oleh kerana objek mampu berputar di sekitar banyak paksi, dan dalam jadual biasanya hanya momen inersia diberikan berkenaan dengan sumbu yang melewati pusat, teorema Steiner memudahkan pengiraan apabila perlu memutarkan badan mengenai paksi yang tidak sepadan dengan ini.

Sebagai contoh, pintu biasanya tidak berputar mengenai sumbu melalui pusat jisimnya, tetapi mengenai paksi sisi, di mana engselnya melekat.

Dengan mengetahui momen inersia adalah mungkin untuk mengira tenaga kinetik yang berkaitan dengan putaran mengenai paksi tersebut. Sekiranya K adalah tenaga kinetik, saya adalah momen inersia di sekitar paksi yang dimaksudkan dan ω halaju sudut, ia mengikuti bahawa:

Persamaan ini sangat serupa dengan formula tenaga kinetik yang sangat biasa bagi objek jisim M yang bergerak pada kelajuan v: K = ½ Mv ² . Dan inilah momen inersia atau inersia putaran saya memainkan peranan yang sama dalam putaran dengan jisim M dalam terjemahan.

Bukti teorema Steiner

Momen inersia objek yang diperpanjang didefinisikan sebagai:

I = ∫ r ² dm

Di mana dm adalah bahagian jisim yang sangat kecil dan r adalah jarak antara dm dan paksi putaran z. Pada rajah 2 paksi ini melintasi pusat CM jisim, namun ia boleh menjadi mana-mana.

Rajah 2. Objek yang dipanjangkan secara berpusing di sekitar dua paksi selari. Sumber: F. Zapata.

Di sekitar paksi z 'yang lain, momen inersia adalah:

I _z = ∫ (r ') ² dm

Sekarang, mengikut segitiga yang dibentuk oleh vektor D , r dan r ' (lihat gambar 2 di sebelah kanan), terdapat jumlah vektor:

r + r ' = D → r' = D - r

Ketiga-tiga vektor terletak di satah objek, yang boleh menjadi xy. Asal sistem koordinat (0,0) dipilih dalam CM untuk memudahkan pengiraan yang mengikuti.

Dengan cara ini modul kuasa dua vektor r ' adalah:

Sekarang perkembangan ini diganti dalam integral momen inersia I _z dan juga definisi kepadatan dm = ρ.dV digunakan:

Istilah M. D ² yang muncul dalam teorema Steiner berasal dari kamiran pertama, yang kedua adalah momen inersia berkenaan dengan paksi yang melewati CM.

Bagi bahagian mereka, integrasi ketiga dan keempat bernilai 0, kerana secara definisi mereka membentuk kedudukan CM, yang telah dipilih sebagai asal sistem koordinat (0,0).

Latihan yang diselesaikan

-Latihan senaman 1

Pintu segi empat tepat dalam Rajah 1 mempunyai jisim 23 kg, lebar 1.30 dan tinggi 2.10 m. Tentukan momen inersia pintu berkenaan dengan sumbu yang melewati engsel, dengan anggapan pintu itu tipis dan seragam.

Gambar 3. Skema untuk Contoh Kerja 1. Sumber: diubah suai dari Pixabay.

Penyelesaian

Dari jadual momen inersia, untuk plat segi empat tepat berjisim M dan dimensi a dan b, momen inersia berkenaan dengan paksi yang melewati pusat jisimnya adalah: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Gerbang homogen akan dianggap (perkiraan, kerana gerbang dalam gambar mungkin tidak begitu). Dalam kes sedemikian, pusat jisim melewati pusat geometri. Pada rajah 3 paksi yang melewati pusat jisim telah dilukis dan juga selari dengan paksi yang melewati engsel.

I _CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 Kg.m ²

Menerapkan teorema Steiner untuk paksi putaran hijau:

I = I _CM + MD ² = 11.7 Kg.m ² + 23 Kg x 0.652 m ² = 21.4 Kg.

-Latihan senaman 2

Cari momen inersia batang nipis yang homogen apabila berputar mengenai paksi yang melewati salah satu hujungnya, lihat gambar. Adakah lebih besar atau lebih kecil daripada momen inersia ketika berputar di sekitar pusatnya? Kenapa?

Gambar 4. Skema untuk contoh yang telah diselesaikan 2. Sumber: F. Zapata.

Penyelesaian

Mengikut jadual momen inersia, momen inersia I _CM batang jisim nipis M dan panjang L adalah: I _CM = (1/12) ML ²

Dan teorema Steiner menyatakan bahawa apabila diputar di sekitar paksi yang melewati satu hujung D = L / 2 ia tetap:

Itu lebih besar, walaupun tidak hanya dua kali, tetapi 4 kali lebih banyak, kerana separuh batang yang lain (tidak berlorek dalam gambar) berputar menggambarkan radius yang lebih besar.

Pengaruh jarak ke paksi putaran tidak linear, tetapi kuadratik. Jisim yang jaraknya dua kali ganda daripada yang lain akan mempunyai momen inersia berkadar dengan (2D) ² = 4D ² .

Rujukan

1. Bauer, W. 2011. Fizik untuk Kejuruteraan dan Sains. Jilid 1. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Universiti Negeri Georgia. Gerakan Putaran. Dipulihkan dari: phys.nthu.edu.tw.
3. Teorem Paksi Selari. Dipulihkan dari: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Asas Fizik. Pearson. 190-200.
5. Wikipedia. Teorema paksi selari. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org