- Bagaimana cara mendapatkan vektor normal ke satah?
- Vektor normal dari produk vektor
- Contohnya
- Penyelesaian
- Pengiraan produk vektor
- Persamaan satah
- Rujukan
The vektor normal adalah salah satu yang menentukan arah yang berserenjang dengan beberapa entiti geometri dalam pertimbangan, yang boleh dengan keluk, kapal terbang atau permukaan yang, sebagai contoh.
Ini adalah konsep yang sangat berguna dalam kedudukan zarah bergerak atau beberapa permukaan di angkasa. Dalam grafik berikut adalah mungkin untuk melihat seperti apa vektor normal ke keluk C sewenang-wenangnya:
Rajah 1. Lengkung C dengan vektor normal ke lengkung pada titik P. Sumber: Svjo
Pertimbangkan titik P pada lengkung C. Titik dapat mewakili zarah bergerak yang bergerak di sepanjang jalan berbentuk C. Garis tangen ke lengkung pada titik P dilukis dengan warna merah.
Perhatikan bahawa vektor T bersinggungan dengan C pada setiap titik, sementara vektor N berserenjang dengan T dan menunjuk ke tengah bulatan khayalan yang busurnya adalah segmen C. Vektor dilambangkan dengan huruf tebal dalam teks bercetak, untuk membezakannya dengan kuantiti bukan vektor lain.
Vektor T selalu menunjukkan di mana zarah bergerak, oleh itu menunjukkan kelajuan zarah. Sebaliknya, vektor N selalu menunjuk ke arah di mana zarah berputar, dengan cara ini menunjukkan kesimpulan dari lengkung C.
Bagaimana cara mendapatkan vektor normal ke satah?
Vektor normal tidak semestinya vektor unit, iaitu vektor yang modulus adalah 1, tetapi jika demikian, ia dipanggil vektor unit normal.
Rajah 2. Di sebelah kiri satah P dan dua vektor normal ke satah tersebut. Di sebelah kanan unit vektor dalam tiga arah yang menentukan ruang. Sumber: Wikimedia Commons. Lihat halaman untuk pengarang
Dalam banyak aplikasi, perlu mengetahui vektor normal ke satah dan bukannya lengkung. Vektor ini mendedahkan orientasi satah tersebut di angkasa. Sebagai contoh, pertimbangkan satah P (kuning) pada rajah:
Terdapat dua vektor normal ke satah ini: n 1 dan n 2 . Penggunaan satu atau yang lain akan bergantung pada konteks di mana pesawat tersebut dijumpai. Mendapatkan vektor normal ke satah sangat mudah jika anda mengetahui persamaannya:
Di sini vektor N dinyatakan dalam bentuk vektor unit tegak lurus i , j dan k , yang diarahkan sepanjang tiga arah yang menentukan ruang xyz, lihat gambar 2 di sebelah kanan.
Vektor normal dari produk vektor
Prosedur yang sangat mudah untuk mencari vektor normal memanfaatkan sifat produk vektor antara dua vektor.
Seperti yang diketahui, tiga titik yang berbeza, tidak bersama antara satu sama lain, menentukan satah P. Sekarang, adalah mungkin untuk mendapatkan dua vektor u dan v yang termasuk dalam satah tersebut yang mempunyai tiga titik ini.
Setelah vektor diperoleh, produk vektor u x v adalah operasi yang hasilnya pada gilirannya vektor, yang mempunyai sifat tegak lurus dengan satah yang ditentukan oleh u dan v .
Dikenal vektor ini, ia dilambangkan sebagai N , dan dari situ mungkin untuk menentukan persamaan satah berkat persamaan yang ditunjukkan pada bahagian sebelumnya:
N = u x v
Gambar berikut menggambarkan prosedur yang dijelaskan:
Rajah 3. Dengan dua vektor dan produk vektor atau salibnya, persamaan satah yang mengandungi dua vektor ditentukan. Sumber: Wikimedia Commons. Tidak ada pengarang yang boleh dibaca mesin. M.Romero Schmidtke menganggap (berdasarkan tuntutan hak cipta).
Contohnya
Cari persamaan satah yang ditentukan oleh titik A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).
Penyelesaian
Latihan ini menggambarkan prosedur yang dinyatakan di atas. Dengan mempunyai 3 titik, salah satunya dipilih sebagai asal umum dua vektor yang tergolong dalam bidang yang ditentukan oleh titik-titik ini. Contohnya, titik A ditetapkan sebagai asal dan vektor AB dan AC dibina .
Vektor AB adalah vektor yang asalnya adalah titik A dan titik akhirnya adalah titik B. Koordinat vektor AB ditentukan dengan masing-masing mengurangkan koordinat B dari koordinat A:
Kami meneruskan dengan cara yang sama untuk mencari vektor AC :
Pengiraan produk vektor
Terdapat beberapa prosedur untuk mencari produk silang antara dua vektor. Contoh ini menggunakan prosedur mnemonik yang menggunakan rajah berikut untuk mencari produk vektor antara vektor unit i , j dan k:
Rajah 4. Grafik untuk menentukan produk vektor antara vektor unit. Sumber: buatan sendiri.
Untuk memulakan, adalah baik untuk diingat bahawa produk vektor antara vektor selari adalah nol, oleh itu:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
Dan kerana produk vektor adalah vektor lain yang berserenjang dengan vektor yang mengambil bahagian, bergerak ke arah anak panah merah yang kita ada:
Sekiranya anda harus bergerak ke arah yang bertentangan dengan anak panah maka tambahkan tanda (-):
Secara keseluruhan adalah mungkin untuk membuat 9 produk vektor dengan vektor unit i , j dan k , yang mana 3 akan menjadi nol.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Persamaan satah
Vektor N telah ditentukan oleh produk vektor yang dikira sebelumnya:
N = 2 i -8 j -2 k
Oleh itu a = 2, b = -8, c = -2, satah yang dicari adalah:
Nilai d masih perlu ditentukan. Ini mudah jika nilai mana-mana titik A, B atau C yang ada diganti dalam persamaan satah. Memilih C sebagai contoh:
x = 4; y = 2; z = 1
Kekal:
Ringkasnya, peta yang dicari adalah:
Pembaca yang ingin tahu mungkin tertanya-tanya apakah hasil yang sama akan diperoleh sekiranya daripada melakukan AB x AC, ia telah dipilih untuk melakukan AC x AB. Jawapannya adalah ya, bidang yang ditentukan oleh tiga titik ini unik dan mempunyai dua vektor normal, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.
Bagi titik yang dipilih sebagai asal vektor, tidak ada masalah dalam memilih salah satu dari dua yang lain.
Rujukan
- Figueroa, D. (2005). Siri: Fizik untuk Sains dan Kejuruteraan. Jilid 1. Kinematik. Disunting oleh Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
- Mencari yang normal ke kapal terbang. Dipulihkan dari: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Geometri Kalkulus dan Analisis. Bukit Mc Graw. 616-647.
- Garisan dan satah di R 3. Dipulihkan dari: math.harvard.edu.
- Vektor normal. Dipulihkan dari mathworld.wolfram.com.