DERIVATIF BERTURUT-TURUT (DENGAN LATIHAN DISELESAIKAN) - MATEMATIK - 2025

Derivatif berturut - turut adalah yang berasal dari satu fungsi selepas terbitan kedua. Proses untuk mengira turunan berturut-turut adalah sebagai berikut: kita mempunyai fungsi f, yang dapat kita hasilkan dan dengan itu memperoleh fungsi terbitan f '. Kita dapat memperoleh turunan f ini lagi, memperoleh (f ')'.

Fungsi baru ini disebut terbitan kedua; semua derivatif yang dikira dari yang kedua berturut-turut; Ini, juga disebut susunan lebih tinggi, memiliki aplikasi yang bagus, seperti memberikan informasi tentang plot grafik fungsi, ujian turunan kedua untuk ekstrem relatif dan penentuan rangkaian tak terhingga.

Definisi

Dengan menggunakan notasi Leibniz, kita berpendapat bahawa turunan fungsi "y" berkenaan dengan "x" adalah dy / dx. Untuk menyatakan terbitan kedua "y" menggunakan notasi Leibniz, kami menulis seperti berikut:

Secara umum, kita dapat menyatakan turunan berturut-turut seperti berikut dengan notasi Leibniz, di mana n mewakili susunan turunannya.

Notasi lain yang digunakan adalah seperti berikut:

Beberapa contoh di mana kita dapat melihat notasi yang berbeza adalah:

Contoh 1

Dapatkan semua turunan fungsi f yang ditentukan oleh:

Dengan menggunakan teknik terbitan yang biasa, kita mempunyai bahawa terbitan f adalah:

Dengan mengulangi proses kita dapat memperoleh terbitan kedua, terbitan ketiga, dan seterusnya.

Perhatikan bahawa derivatif keempat adalah sifar dan terbitan sifar adalah sifar, jadi kami mempunyai:

Contoh 2

Hitungkan turunan keempat fungsi berikut:

Menjana fungsi yang kita ada sebagai hasilnya:

Kelajuan dan pecutan

Salah satu motivasi yang menyebabkan penemuan turunannya adalah mencari definisi halaju sekejap. Definisi formal adalah seperti berikut:

Biarkan y = f (t) menjadi fungsi yang grafnya menerangkan lintasan zarah pada waktu t, maka halaju pada waktu t diberikan oleh:

Setelah halaju zarah diperoleh, kita dapat menghitung pecutan seketika, yang ditakrifkan sebagai berikut:

Pecutan seketika zarah yang jalannya diberikan oleh y = f (t) adalah:

Contoh 1

Zarah bergerak di sepanjang garis mengikut fungsi kedudukan:

Di mana "y" diukur dalam meter dan "t" dalam beberapa saat.

- Pada pukul berapa kelajuannya 0?

- Pada pukul berapa pecutannya 0?

Semasa memperoleh fungsi kedudukan «dan» kita mempunyai bahawa kecepatan dan pecutannya masing-masing diberikan oleh:

Untuk menjawab soalan pertama, sudah cukup untuk menentukan bila fungsi v menjadi sifar; ini adalah:

Kami meneruskan soalan berikut dengan cara yang serupa:

Contoh 2

Zarah bergerak di sepanjang garis mengikut persamaan gerakan berikut:

Tentukan "t, y" dan "v" apabila a = 0.

Mengetahui bahawa kelajuan dan pecutan diberikan oleh

Kami terus memperoleh dan memperoleh:

Membuat = 0, kami mempunyai:

Dari mana kita dapat menyimpulkan bahawa nilai t untuk a sama dengan sifar adalah t = 1.

Kemudian, dengan menilai fungsi kedudukan dan fungsi halaju pada t = 1, kita mempunyai:

Permohonan

Derivasi eksplisit

Derivatif berturut-turut juga boleh diperoleh dengan derivasi tersirat.

Contohnya

Dengan elips berikut, cari "y":

Dengan memperoleh secara implisit berkenaan dengan x, kami mempunyai:

Kemudian secara tersirat menghasilkan semula berkenaan dengan x memberi kita:

Akhirnya, kami mempunyai:

Melampau relatif

Penggunaan lain yang dapat kita berikan kepada derivatif urutan kedua adalah dalam pengiraan relatif fungsi.

Kriteria terbitan pertama untuk ekstrem tempatan memberitahu kita bahawa, jika kita mempunyai fungsi berterusan f pada selang (a, b) dan ada c yang termasuk dalam selang tersebut sehingga f 'hilang dalam c (iaitu, itu c adalah titik kritikal), salah satu daripada tiga kes mungkin berlaku:

- Jika f´ (x)> 0 untuk x milik (a, c) dan f´ (x) <0 untuk x milik (c, b), maka f (c) adalah maksimum tempatan.

- Jika f´ (x) <0 untuk x milik (a, c) dan f´ (x)> 0 untuk x milik (c, b), maka f (c) adalah minimum tempatan.

- Sekiranya f´ (x) mempunyai tanda yang sama di (a, c) dan di (c, b), ini menyiratkan bahawa f (c) bukan ekstrem tempatan.

Dengan menggunakan kriteria terbitan kedua, kita dapat mengetahui apakah bilangan penting fungsi adalah maksimum atau minimum lokal, tanpa harus melihat tanda fungsi tersebut dalam selang waktu yang disebutkan sebelumnya.

Kriteria drift kedua memberitahu kita bahawa jika f´ (c) = 0 dan f´´ (x) itu berterusan di (a, b), kebetulan jika f´´ (c)> 0 maka f (c) adalah minimum tempatan dan jika f´´ (c) <0 maka f (c) adalah maksimum tempatan.

Sekiranya f´´ (c) = 0, kita tidak dapat menyimpulkan apa-apa.

Contohnya

Diberi fungsi f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , cari maksimum dan min relatif f dengan menggunakan kriteria terbitan kedua.

Mula-mula kita mengira f´ (x) dan f´´ (x) dan kita mempunyai:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Sekarang, f´ (x) = 0 if, dan hanya jika 4x (x + 2) (x - 1) = 0, dan ini berlaku apabila x = 0, x = 1 atau x = - 2.

Untuk menentukan sama ada angka kritis yang diperoleh adalah relatif ekstrem, cukup untuk menilai pada f´´ dan dengan itu memerhatikan tandanya.

f´´ (0) = - 8, jadi f (0) adalah maksimum tempatan.

f´´ (1) = 12, jadi f (1) adalah minimum tempatan.

f´´ (- 2) = 24, jadi f (- 2) adalah minimum tempatan.

Seri Taylor

Biarkan f menjadi fungsi yang ditentukan seperti berikut:

Fungsi ini mempunyai jejari penumpuan R> 0 dan mempunyai turunan dari semua pesanan di (-R, R). Derivatif berturut-turut f memberi kita:

Dengan mengambil x = 0, kita dapat memperoleh nilai c _n sebagai fungsi turunannya seperti berikut:

Jika kita mengambil = 0 sebagai fungsi f (yaitu, f ^ 0 = f), maka kita dapat menulis ulang fungsi tersebut sebagai berikut:

Sekarang mari kita fikirkan fungsi sebagai rangkaian kuasa di x = a:

Sekiranya kita melakukan analisis yang serupa dengan yang sebelumnya, kita akan dapat menulis fungsi f sebagai:

Siri ini dikenali sebagai siri Taylor dari f hingga a. Apabila = 0 kita mempunyai kes tertentu yang disebut siri Maclaurin. Jenis siri ini sangat penting dalam matematik terutamanya dalam analisis berangka, kerana berkat ini kita dapat menentukan fungsi dalam komputer seperti e ^x , sin (x) dan cos (x).

Contohnya

Dapatkan siri Maclaurin untuk e ^x .

Perhatikan bahawa jika f (x) = e ^x , maka f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x dan f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, maka siri Maclaurinnya adalah:

Rujukan

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). Pengiraan 5ed. Bukit Mc Graw.
2. Leithold, L. (1992). Pengiraan dengan geometri analitik. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Pengiraan. Mexico: Pendidikan Pearson.
4. Saenz, J. (2005). Kalkulus berbeza. Hypotenuse.
5. Saenz, J. (nd). Kalkulus integral. Hypotenuse.