KUADRILATERAL: UNSUR, SIFAT, KLASIFIKASI, CONTOH - MATEMATIK - 2025

A sisi empat ialah poligon dengan empat sisi dan empat bucu. Sisi-sisinya yang berlawanan adalah sisi yang tidak mempunyai simpul yang sama, sementara sisi yang bertentangan adalah yang mempunyai bucu yang sama.

Secara segiempat, sudut bersebelahan berkongsi satu sisi, sementara sudut berlawanan tidak mempunyai persamaan sisi. Satu lagi ciri penting segiempat adalah bahawa jumlah empat sudut dalamannya adalah dua kali sudut satah, iaitu, radian 360º atau 2π.

Rajah 1. Pelbagai segiempat. Sumber: F. Zapata.

Diagonal adalah segmen yang bergabung dengan bucu dengan yang berlawanan dan pada segiempat tertentu, satu pepenjuru dapat diambil dari setiap bucu. Jumlah pepenjuru dalam segi empat adalah dua.

Quadrilaterals adalah tokoh yang diketahui oleh manusia sejak zaman kuno. Rekod arkeologi, dan juga pembinaan yang bertahan hingga kini, membuktikan ini.

Begitu juga, hari ini kuadrilateral terus mempunyai kehadiran penting dalam kehidupan seharian setiap orang. Pembaca boleh mendapatkan borang ini di layar tempat dia membaca teks pada masa ini, di tingkap, pintu, bahagian automotif, dan banyak tempat lain.

Pengelasan kuadilateral

Menurut paralelisme sisi berlawanan, segiempat dikelaskan sebagai berikut:

1. Trapezoid, apabila tidak ada paralelisme dan segiempat sama cembung.
2. Trapezoid, apabila terdapat paralelisme antara sepasang sisi berlawanan.
3. Parallelogram, apabila sisi berlawanan selari dua dua.

Rajah 2. Klasifikasi dan subklasifikasi kuadrilateral. Sumber: Wikimedia Commons.

Jenis-jenis parallelogram

Pada gilirannya, parallelogram dapat diklasifikasikan mengikut sudut dan sisi mereka seperti berikut:

1. Segi empat tepat ialah parallelogram yang mempunyai empat sudut dalaman yang sama ukuran. Sudut dalaman segi empat tepat membentuk sudut tepat (90º).
2. Persegi, ia adalah segi empat tepat dengan empat sisi ukurannya sama.
3. Rhombus adalah parallelogram dengan empat sisinya sama, tetapi berbeza sudut bersebelahan.
4. Rhomboid, parallelogram dengan sudut bersebelahan yang berbeza.

Trapeze

Trapezoid adalah segiempat cembung dengan dua sisi selari.

Rajah 3. Pangkalan, sisi, tinggi dan median trapezoid. Sumber: Wikimedia Commons.

- Dalam trapezoid, sisi selari dipanggil asas dan sisi tidak selari disebut sisi.

- Ketinggian trapezoid adalah jarak antara dua asas, iaitu panjang segmen dengan hujung di dasar dan tegak lurus ke arahnya. Segmen ini juga disebut ketinggian trapezoid.

- Median adalah segmen yang bergabung dengan titik tengah lateral. Ia dapat ditunjukkan bahawa median selari dengan pangkal trapezoid dan panjangnya sama dengan semisum pangkalan.

- Luas trapezoid adalah ketinggiannya dikalikan dengan separuh jumlah asas:

Jenis trapezoid

-Rectangular trapezoid : ia adalah sisi dengan sisi tegak lurus ke pangkalan. Bahagian ini juga merupakan ketinggian trapezium.

-Isosceles trapezoid : satu dengan sisi sama panjang. Dalam trapesium isoskel sudut yang berdekatan dengan pangkalan adalah sama.

-Scalene trapezium : yang mempunyai sisi panjangnya berbeza. Sudut yang berlawanan boleh menjadi satu yang akut dan yang lain yang tidak jelas, tetapi juga boleh terjadi bahawa kedua-duanya tidak jelas atau kedua-duanya akut.

Rajah 4. Jenis trapezium. Sumber: F. Zapata.

Parallelogram

Paralelogram adalah segiempat sama yang sisi berlawanan selari dua dua. Dalam parallelogram sudut bertentangan sama dan sudut bersebelahan adalah tambahan, atau dengan cara lain, sudut bersebelahan menambah hingga 180º.

Sekiranya parallelogram mempunyai sudut yang tepat, maka semua sudut lain juga akan kelihatan, dan angka yang dihasilkan disebut segi empat tepat. Tetapi jika segi empat tepat juga mempunyai sisi bersebelahan dengan panjang yang sama, maka semua sisinya sama dan angka yang dihasilkan adalah segi empat sama.

Rajah 5. Parallelograms. Segi empat tepat, segiempat sama, dan rombus adalah parallelogram. Sumber: F. Zapata.

Apabila parallelogram mempunyai dua sisi bersebelahan dengan panjang yang sama, semua sisinya akan sama panjang, dan angka yang dihasilkan adalah rombus.

Ketinggian parallelogram adalah segmen dengan hujung di sisi berlawanan dan tegak lurus ke arahnya.

Luas suatu parallelogram

Luas sebuah parallelogram adalah produk dari pangkal kali ganda dari ketinggiannya, pangkal menjadi sisi tegak lurus dengan ketinggian (gambar 6).

Diagonal sebuah parallelogram

Kuadrat pepenjuru yang bermula dari bucu adalah sama dengan jumlah petak dua sisi yang bersebelahan dengan bucu tersebut ditambah hasil darab kedua sisi oleh kosinus sudut bucu itu:

f ² = a ² + d ² + 2 iklan Cos (α)

Rajah 6. Parallelogram. Sudut, tinggi, pepenjuru bertentangan. Sumber: F. Zapata.

Kuadrat pepenjuru yang bertentangan dengan bucu paralelogram sama dengan jumlah petak dua sisi yang bersebelahan dengan bucu tersebut dan mengurangkan produk berganda dari sisi tersebut dengan kosinus sudut bucu itu:

g ² = a ² + d ² - 2 iklan Cos (α)

Undang-undang parallelograms

Dalam sebarang paralelogram, jumlah segiempat sama dengan jumlah petak pepenjuru:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

semula ctángulo

Segi empat tepat adalah segiempat dengan sisi berlawanan selari dua dua dan yang juga mempunyai sudut tepat. Dengan kata lain, segi empat tepat adalah sejenis parallelogram dengan sudut tepat. Oleh kerana ia adalah parallelogram, segi empat tepat mempunyai sisi berlawanan dengan panjang sama a = c dan b = d.

Tetapi seperti pada paralelogram, sudut bersebelahan adalah tambahan dan sudut yang berlawanan sama, dalam segi empat kerana ia mempunyai sudut yang tepat, ia semestinya akan membentuk sudut tepat pada tiga sudut yang lain. Dengan kata lain, dalam segi empat tepat semua sudut dalaman mengukur 90º atau π / 2 radian.

Diagonal segi empat tepat

Dalam segi empat tepat pepenjuru sama panjang, seperti yang akan ditunjukkan di bawah. Sebabnya adalah seperti berikut; Segi empat tepat adalah sejajar dengan semua sudut tepat dan oleh itu mewarisi semua sifat paralelogram, termasuk formula yang memberikan panjang pepenjuru:

f ² = a ² + d ² + 2 iklan Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 iklan Cos (α)

dengan α = 90º

Oleh kerana Cos (90º) = 0, maka kebetulan:

f ² = g ² = a ² + d ²

Maksudnya, f = g, dan oleh itu panjang f dan g dari dua pepenjuru segiempat sama dan panjangnya diberikan oleh:

Selanjutnya, jika dalam segi empat tepat dengan sisi bersebelahan a dan b satu sisi diambil sebagai dasar, sisi yang lain akan menjadi tinggi dan akibatnya luas segi empat tepat akan:

Luas segiempat tepat = kapak b.

Perimeter adalah jumlah semua sisi segi empat tepat, tetapi kerana berlawanan sama, maka bagi segi empat dengan sisi a dan b perimeter diberikan oleh formula berikut:

Perimeter segiempat tepat = 2 (a + b)

Rajah 7. Segi empat tepat dengan sisi a dan b. Diagonal f dan g sama panjang. Sumber: F. Zapata.

Petak

Kotak adalah segi empat tepat dengan sisi bersebelahan dengan panjang yang sama. Sekiranya segi empat sama mempunyai sisi a, maka pepenjuru f dan gnya mempunyai panjang yang sama, iaitu f = g = (√2) a.

Luas sebuah segiempat sama dengan segi empat sama:

Luas segi empat sama = a ²

Perimeter segiempat sama dua kali dari sisi:

Perimeter segiempat sama = 4 a

Rajah 8. Petak dengan sisi a, menunjukkan luasnya, perimeternya dan panjang pepenjuru. Sumber: F. Zapata ..

Berlian

Rhombus adalah sejajar dengan sisi yang bersebelahan dengan panjang yang sama, tetapi kerana sisi berlawanan sama dengan parallelogram, maka semua sisi rhombus sama panjang.

Diagonal rhombus mempunyai panjang yang berbeza, tetapi mereka bersilang pada sudut tepat.

Rajah 9. Rombus sisi a, menunjukkan luasnya, perimeternya dan panjang pepenjuru. Sumber: F. Zapata.

Contoh

Contoh 1

Tunjukkan bahawa dalam segi empat (tidak bersilang) sudut dalaman bertambah hingga 360º.

Gambar 10: Ini ditunjukkan bagaimana jumlah sudut segiempat bertambah hingga 360º. Sumber: F. Zapata.

ABCD segiempat dipertimbangkan (lihat gambar 10) dan BD pepenjuru dilukis. Dua segitiga ABD dan BCD terbentuk. Jumlah sudut dalaman segitiga ABD adalah:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

Dan jumlah sudut dalaman segitiga BCD adalah:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Menambah dua persamaan yang kami dapat:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Pengumpulan:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Dengan mengelompokkan dan menamakan semula, akhirnya ditunjukkan bahawa:

α + β + δ + γ = 360º

Contoh 2

Tunjukkan bahawa median trapezoid selari dengan asasnya dan panjangnya adalah separuh dari asas.

Rajah 11. MN median trapezium ABCD. Sumber: F. Zapata.

Median trapezoid adalah segmen yang bergabung dengan titik tengah sisinya, iaitu sisi tidak selari. Dalam ABCD trapezoid yang ditunjukkan dalam rajah 11, mediannya adalah MN.

Oleh kerana M adalah titik tengah AD dan N adalah titik tengah SM, nisbah AM / AD dan BN / BC adalah sama.

Maksudnya, AM sebanding dengan BN dalam perkadaran yang sama dengan AD hingga SM, jadi syarat untuk penerapan teorema Thales (timbal balik) diberikan, yang menyatakan berikut:

"Sekiranya segmen berkadar ditentukan dalam tiga atau lebih garis yang dipotong oleh dua pemisah, maka garis-garis ini semuanya selari."

Dalam kes kami, disimpulkan bahawa garis MN, AB dan DC selari antara satu sama lain, oleh itu:

"Median trapezoid selari dengan asasnya."

Sekarang teorema Thales akan diterapkan:

"Satu set persamaan yang dipotong oleh dua atau lebih sekatan menentukan segmen berkadar."

Dalam kes kami AD = 2 AM, AC = 2 AO, jadi segitiga DAC serupa dengan segitiga MAO, dan akibatnya DC = 2 MO.

Hujah yang serupa membolehkan kita menegaskan bahawa CAB serupa dengan CON, di mana CA = 2 CO dan CB = 2 CN. Ini dengan serta-merta bahawa AB = 2 ON.

Ringkasnya, AB = 2 ON dan DC = 2 MO. Oleh itu, semasa menambah kita mempunyai:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Akhirnya MN dibersihkan:

MN = (AB + DC) / 2

Dan disimpulkan bahawa median trapezoid mengukur separuh jumlah asas, atau dengan cara lain: median mengukur jumlah asas, dibahagi dengan dua.

Contoh 3

Tunjukkan bahawa dalam rombus pepenjuru bersilang pada sudut tepat.

Rajah 12. Rhombus dan demonstrasi bahawa pepenjuru bersilang pada sudut tepat. Sumber: F. Zapata.

Papan hitam dalam gambar 12 menunjukkan pembinaan yang diperlukan. Mula-mula paralelogram ABCD dilukis dengan AB = BC, iaitu rombus. Diagonal AC dan DB menentukan lapan sudut yang ditunjukkan dalam gambar.

Dengan menggunakan teorema (aip) yang menyatakan bahawa sudut dalaman bergantian antara paralel yang dipotong oleh sebatang menentukan sudut yang sama, kita dapat menetapkan yang berikut:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ και δ2 = β2. (*)

Sebaliknya, kerana sisi rombus yang bersebelahan sama panjang, empat segitiga isoskala ditentukan:

DAB, BCD, CDA dan ABC

Sekarang teorema segitiga (isosceles) dipanggil, yang menyatakan bahawa sudut yang bersebelahan dengan pangkalan adalah ukuran yang sama, dari mana disimpulkan bahawa:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ και α ₁ = γ2 (**)

Sekiranya hubungan (*) dan (**) digabungkan, persamaan sudut berikut tercapai:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ di satu pihak dan β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 di sisi lain.

Mengingat teorema segitiga sama yang menyatakan bahawa dua segitiga dengan sisi yang sama antara dua sudut yang sama adalah sama, kita mempunyai:

AOD = AOB dan akibatnya juga sudut ∡AOD = ∡AOB.

Kemudian ODAOD + ∡AOB = 180º, tetapi kerana kedua sudut sama ukurannya, kita mempunyai 2 haveAOD = 180º yang menunjukkan bahawa implAOD = 90º.

Iaitu, ditunjukkan secara geometri bahawa pepenjuru sebuah rombus bersilang pada sudut tepat.

Latihan diselesaikan

- Latihan 1

Tunjukkan bahawa dalam trapezoid kanan, sudut bukan kanan adalah tambahan.

Penyelesaian

Rajah 13. trapezoid kanan. Sumber: F. Zapata.

Trapezoid ABCD dibina dengan asas AB dan DC selari. Sudut dalaman bucu A betul (berukuran 90º), jadi kita mempunyai trapezoid kanan.

Sudut α dan δ adalah sudut dalaman antara dua persamaan AB dan DC, oleh itu ia sama, iaitu δ = α = 90º.

Sebaliknya, telah ditunjukkan bahawa jumlah sudut dalaman segiempat bertambah hingga 360º, yaitu:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Perkara di atas membawa kepada:

β + δ = 180º

Mengesahkan apa yang ingin ditunjukkan, bahawa sudut β dan δ adalah tambahan.

- Latihan 2

Paralelogram ABCD mempunyai AB = 2 cm dan AD = 1 cm, di samping itu sudut BAD adalah 30º. Tentukan luas paralelogram ini dan panjang dua pepenjuru.

Penyelesaian

Luas suatu parallelogram adalah hasil panjang pangkalnya dan ketinggiannya. Dalam kes ini, panjang segmen b = AB = 2 cm akan diambil sebagai dasar, sisi lain mempunyai panjang a = AD = 1 cm dan ketinggian h akan dikira seperti berikut:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Jadi: Luas = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

Rujukan

1. CEA (2003). Unsur geometri: dengan latihan dan geometri kompas. Universiti Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. (2007). Cari Poligon. Syarikat Pendidikan Penanda Aras.
4. Hendrik, V. (2013). Poligon Umum. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Semester Pertama Matematik Tacaná. IGER.
6. Geometri Jr. (2014). Poligon. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. (2006). Matematik: Penaakulan Dan Aplikasi (Edisi Kesepuluh). Pendidikan Pearson.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Progreso Editorial.
9. Wikipedia. Kuadrilateral. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com