ALGEBRA BOOLEAN: SEJARAH, TEORI DAN POSTULAT, CONTOH - MATEMATIK - 2025

The algebra Boolean atau algebra Boolean adalah notasi algebra digunakan untuk rawatan pembolehubah binari. Ini merangkumi kajian tentang sebarang pemboleh ubah yang hanya mempunyai 2 kemungkinan hasil, saling melengkapi dan saling eksklusif. Sebagai contoh, pemboleh ubah yang satu-satunya kemungkinan adalah benar atau salah, betul atau salah, hidup atau mati adalah asas kajian algebra Boolean.

Algebra Boolean merupakan asas elektronik digital, yang menjadikannya cukup jelas sekarang. Ini diatur oleh konsep pintu logik, di mana operasi yang diketahui dalam aljabar tradisional sangat terpengaruh.

Sumber: pexels.com

Sejarah

Aljabar Boolean diperkenalkan pada tahun 1854 oleh ahli matematik Inggeris George Boole (1815 - 1864), yang merupakan seorang sarjana yang belajar sendiri pada masa itu. Kebimbangannya timbul dari perselisihan yang ada antara Augustus De Morgan dan William Hamilton, mengenai parameter yang menentukan sistem logik ini.

George Boole berpendapat bahawa definisi nilai berangka 0 dan 1 sesuai, dalam bidang logik, dengan interpretasi Tidak ada dan Alam Semesta masing-masing.

Tujuan George Boole adalah untuk menentukan, melalui sifat-sifat aljabar, ungkapan logik proposisi yang diperlukan untuk menangani pemboleh ubah jenis binari.

Pada tahun 1854 bahagian algebra Boolean yang paling penting diterbitkan dalam buku "Penyelidikan undang-undang pemikiran yang berdasarkan teori logik dan kebarangkalian matematik."

Tajuk ingin tahu ini akan diringkas kemudian sebagai "Undang-undang pemikiran" ("Undang-undang pemikiran"). Judul ini menjadi terkenal kerana perhatian segera yang diterima dari komuniti matematik pada masa itu.

Pada tahun 1948 Claude Shannon menerapkannya pada reka bentuk litar pensuisan elektrik bistable. Ini berfungsi sebagai pengenalan kepada penerapan algebra Boolean dalam keseluruhan skema elektronik-digital.

Struktur

Nilai asas dalam aljabar jenis ini adalah 0 dan 1, yang masing-masing sesuai dengan SALAH dan BENAR. Operasi asas dalam algebra Boolean adalah 3:

- DAN operasi atau gabungan. Diwakili oleh noktah (.). Sinonim produk.

- ATAU operasi atau gangguan. Diwakili oleh tanda silang (+). Sinonim jumlahnya.

- BUKAN operasi atau penolakan. Diwakili oleh awalan TIDAK (BUKAN A). Ia juga dikenali sebagai pelengkap.

Sekiranya dalam satu set A 2 undang-undang komposisi dalaman ditakrifkan sebagai produk dan jumlah (. +), Triple (A. +) dikatakan sebagai algebra Boolean jika dan hanya jika triple tersebut memenuhi syarat menjadi kisi pengagihan.

Untuk menentukan kisi distributif, syarat pengedaran mesti dipenuhi antara operasi yang diberikan:

. bersifat distributif berkenaan dengan jumlah + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ bersifat distributif berkenaan dengan produk. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Unsur-unsur yang membentuk set A mestilah binari, sehingga mempunyai nilai semesta atau kekosongan.

Permohonan

Senario aplikasi utamanya adalah cabang digital, di mana ia berfungsi untuk menyusun litar yang membentuk operasi logik yang terlibat. Kesederhanaan seni litar yang memihak kepada proses mengoptimumkan adalah hasil penerapan dan amalan algebra Boolean yang betul.

Dari penjelasan panel elektrik, melalui transmisi data, hingga mencapai pengaturcaraan dalam berbagai bahasa, kita sering dapat menemukan aljabar Boolean dalam semua jenis aplikasi digital.

Pemboleh ubah boolean sangat umum dalam struktur pengaturcaraan. Bergantung pada bahasa pengaturcaraan yang digunakan, akan ada operasi struktur dalam kod yang menggunakan pemboleh ubah ini. Syarat dan hujah setiap bahasa mengakui pemboleh ubah Boolean untuk menentukan prosesnya.

Postulat

Terdapat teorema yang mengatur undang-undang logik struktur algebra Boolean. Dengan cara yang sama, terdapat postulat untuk mengetahui kemungkinan hasil dalam kombinasi pemboleh ubah binari yang berbeza, bergantung pada operasi yang dilakukan.

Jumlah (+)

Operator OR yang unsur logiknya adalah penyatuan (U) ditakrifkan untuk pemboleh ubah binari seperti berikut:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produk (.)

Operator AND yang elemen logiknya adalah persimpangan (∩) ditakrifkan untuk pemboleh ubah binari seperti berikut:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

satu. 0 = 0

satu. 1 = 1

Berlawanan (BUKAN)

Operator NOT yang elemen logiknya adalah pelengkap (X) 'ditakrifkan untuk pemboleh ubah binari seperti berikut:

BUKAN 0 = 1

BUKAN 1 = 0

Sebilangan besar postulat berbeza dengan yang lain dalam aljabar konvensional. Ini disebabkan oleh domain pemboleh ubah. Sebagai contoh, menambahkan elemen alam semesta dalam algebra Boolean (1 + 1) tidak dapat memberikan hasil konvensional dari 2, kerana itu bukan tergolong dalam elemen kumpulan binari.

Teorema

Peraturan sifar dan perpaduan

Sebarang operasi mudah yang melibatkan elemen dengan pemboleh ubah binari, ditentukan:

0 + A = A

1 + A = 1

0. A = 0

satu. A = A

Kuasa yang sama atau idempotensi

Operasi antara pemboleh ubah yang sama didefinisikan sebagai:

A + A = A

KE. A = A

Pelengkap

Sebarang operasi antara pemboleh ubah dan pelengkap ditakrifkan sebagai:

A + BUKAN A = 1

KE. BUKAN A = 0

Involusi atau penolakan berganda

Sebarang penolakan berganda akan dianggap sebagai pemboleh ubah semula jadi.

BUKAN (BUKAN A) = A

Komutatif

A + B = B + A; Komutatif jumlah.

KE. B = B. KE; Kebolehpasaran produk.

Bersekutu

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Keterkaitan jumlah.

KE. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Perkaitan produk.

Distributif

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Keagihan jumlah berkenaan dengan produk.

KE. (B + C) = (A. B) + (A + C); Keagihan produk berkenaan dengan jumlahnya.

Undang-undang penyerapan

Terdapat banyak undang-undang penyerapan di antara pelbagai rujukan, beberapa yang paling terkenal adalah:

KE. (A + B) = A

KE. (BUKAN A + B) = A. B

NOT A (A + B) = BUKAN A. B

(A + B). (A + BUKAN B) = A

A + A. B = A

A + BUKAN A. B = A + B

BUKAN A + A. B = BUKAN A + B

KE. B + A. BUKAN B = A

Teorema Morgan

Mereka adalah undang-undang transformasi, yang menangani pasangan pemboleh ubah yang berinteraksi antara operasi yang ditentukan dari algebra Boolean (+.).

NOT (A. B) = BUKAN A + BUKAN B

NOT (A + B) = BUKAN A. BUKAN B

A + B = TIDAK (BUKAN A + BUKAN B)

KE. B = TIDAK (BUKAN A. BUKAN B)

Dualitas

Semua postulat dan teorema mempunyai kemampuan dualitas. Ini menunjukkan bahawa dengan menukar pemboleh ubah dan operasi, cadangan yang dihasilkan disahkan. Iaitu, ketika menukar 0 untuk 1 dan AND dengan OR atau sebaliknya; ungkapan dibuat yang juga akan benar-benar berlaku.

Contohnya jika postulat diambil

satu. 0 = 0

Dan dualitas diterapkan

0 + 1 = 1

Postulat lain yang betul-betul sah diperolehi.

Peta Karnaugh

Peta Karnaugh adalah gambarajah yang digunakan dalam algebra Boolean untuk mempermudah fungsi logik. Ini terdiri daripada susunan dua dimensi yang serupa dengan jadual kebenaran logik proposisi. Data dari jadual kebenaran dapat diambil secara langsung di peta Karnaugh.

Peta Karnaugh dapat menampung proses hingga 6 pemboleh ubah. Untuk fungsi dengan jumlah pemboleh ubah yang lebih tinggi, penggunaan perisian disarankan untuk mempermudah prosesnya.

Diusulkan pada tahun 1953 oleh Maurice Karnaugh, alat ini ditetapkan sebagai alat tetap dalam bidang aljabar Boolean, kerana pelaksanaannya menyinkronkan potensi manusia dengan keperluan untuk mempermudah ekspresi Boolean, aspek penting dalam kelancaran proses digital.

Contoh

Algebra boolean digunakan untuk mengurangkan gerbang logik dalam litar, di mana keutamaannya adalah membawa kerumitan atau tahap litar ke ungkapan serendah mungkin. Ini disebabkan oleh kelewatan komputasi yang disangka oleh setiap gerbang.

Dalam contoh berikut, kita akan melihat penyederhanaan ungkapan logik ke ungkapan minimumnya, dengan menggunakan teorema dan postulat algebra Boolean.

BUKAN (AB + A + B). BUKAN (A + BUKAN B)

TIDAK. BUKAN (A + BUKAN B); Pemfaktoran A dengan faktor sepunya.

TIDAK. BUKAN (A + BUKAN B); Oleh teorema A + 1 = 1.

BUKAN (A + B). BUKAN (A + BUKAN B); oleh teorem A. 1 = A

(BUKAN A. BUKAN B). ;

Oleh teorema Morgan NOT (A + B) = NOT A. BUKAN B

(BUKAN A. BUKAN B). (BUKAN A. B); Dengan teorema penolakan berganda NOT (NOT A) = A

BUKAN A. BUKAN B. BUKAN A. B; Pengelompokan algebra.

BUKAN A. BUKAN A. BUKAN B. B; Kekuatan produk A. B = B. KE

BUKAN A. BUKAN B. B; Oleh teorem A. A = A

BUKAN A. 0; Oleh teorem A. BUKAN A = 0

0; Oleh teorem A. 0 = 0

KE. B. C + BUKAN A + A. BUKAN B. C

KE. C. (B + BUKAN B) + BUKAN A; Pemfaktoran (A. C) dengan faktor sepunya.

KE. C. (1) + BUKAN A; Oleh teorema A + BUKAN A = 1

KE. C + BUKAN A; Dengan peraturan teorema sifar dan perpaduan 1. A = A

BUKAN A + C ; Mengikut undang-undang Morgan A + NOT A. B = A + B

Untuk penyelesaian ini, undang-undang Morgan mesti diperluas untuk menentukan:

BUKAN (BUKAN A). C + NOT A = BUKAN A + C

Kerana TIDAK (BUKAN A) = A dengan penglibatan.

Permudahkan fungsi logik

BUKAN A. BUKAN B. BUKAN C + BUKAN A. BUKAN B. C + BUKAN A. TIDAK C ke ungkapan minimumnya

BUKAN A. BUKAN B. (BUKAN C + C) + BUKAN A. BUKAN C; Pemfaktoran (BUKAN A. BUKAN B) dengan faktor sepunya

BUKAN A. BUKAN B. (1) + BUKAN A. BUKAN C; Oleh teorema A + BUKAN A = 1

(BUKAN A. BUKAN B) + (BUKAN A. BUKAN C); Dengan peraturan teorema sifar dan perpaduan 1. A = A

BUKAN A (BUKAN B + BUKAN C); Pemfaktoran BUKAN A dengan faktor sepunya

BUKAN A. BUKAN (B. C); Oleh undang-undang Morgan TIDAK (A. B) = BUKAN A + BUKAN B

BUKAN oleh undang-undang Morgan TIDAK (A. B) = BUKAN A + BUKAN B

Mana-mana daripada 4 pilihan dengan huruf tebal menunjukkan penyelesaian yang mungkin untuk mengurangkan tahap litar

Permudahkan fungsi logik ke bentuk termudah

(A. TIDAK B. C + A. BUKAN B. B. D + BUKAN A. BUKAN B). C

(A. TIDAK B. C + A. 0. D + BUKAN A. BUKAN B). C; Oleh teorem A. BUKAN A = 0

(A. TIDAK B. C + 0 + BUKAN A. BUKAN B). C; Oleh teorem A. 0 = 0

(A. TIDAK B. C + BUKAN A. BUKAN B). C; Oleh teorema A + 0 = A

KE. BUKAN B. C. C + BUKAN A. BUKAN B. C; Dengan pengedaran produk sehubungan dengan jumlahnya

KE. BUKAN B. C + BUKAN A. BUKAN B. C; Oleh teorem A. A = A

BUKAN B. C (A + BUKAN A) ; Pemfaktoran (BUKAN B. C) dengan faktor sepunya

BUKAN B. C (1); Oleh teorema A + BUKAN A = 1

BUKAN B. C; Dengan peraturan teorema sifar dan perpaduan 1. A = A

Rujukan

1. Aljabar Boolean dan aplikasinya J. Eldon Whitesitt. Syarikat Penerbitan Kontinental, 1980.
2. Matematik dan Kejuruteraan dalam Sains Komputer. Christopher J. Van Wyk. Institut Sains dan Teknologi Komputer. Biro Piawaian Negara. Washington, DC 20234
3. Matematik untuk Sains Komputer. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Jabatan Matematik dan Makmal Sains Komputer dan AI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Elemen Analisis Abstrak. Mícheál O'Searcoid PhD. Jabatan matematik. Kolej universiti Dublin, Beldfield, Dublind.
5. Pengenalan Logik dan Metodologi Sains Deduktif. Alfred Tarski, New York Oxford. Akhbar Universiti Oxford.