KAEDAH AKSIOMATIK: CIRI, LANGKAH, CONTOH - PERBENDAHARAAN KATA BUDAYA - 2025

The kaedah disangkal atau juga dikenali sebagai aksiom adalah satu prosedur formal yang digunakan oleh sains dengan cara yang kenyataan atau cadangan dipanggil aksiom digubal, berkaitan antara satu sama lain melalui hubungan potongan dan adalah asas hipotesis atau syarat sistem tertentu.

Definisi umum ini mesti dirangka dalam evolusi yang telah dimiliki metodologi ini sepanjang sejarah. Di tempat pertama, terdapat kaedah kuno atau kandungan, lahir di Yunani Kuno dari Euclid dan kemudian dikembangkan oleh Aristotle.

Kedua, seawal abad ke-19, kemunculan geometri dengan aksioma berbeza dengan Euclid. Dan akhirnya, kaedah aksiomatik formal atau moden, yang eksponen terbesarnya adalah David Hilbert.

Di luar perkembangannya dari masa ke masa, prosedur ini telah menjadi asas kaedah deduktif, yang digunakan dalam geometri dan logik dari mana asalnya. Ini juga telah digunakan dalam fisika, kimia, dan biologi.

Bahkan telah diterapkan dalam sains hukum, sosiologi dan ekonomi politik. Walau bagaimanapun, pada masa ini bidang penerapannya yang paling penting adalah matematik dan logik simbolik dan beberapa cabang fizik seperti termodinamik, mekanik, antara disiplin lain.

ciri-ciri

Walaupun ciri asas kaedah ini adalah perumusan aksioma, kaedah ini tidak selalu dipertimbangkan dengan cara yang sama.

Terdapat beberapa yang boleh didefinisikan dan dibina dengan cara sewenang-wenangnya. Dan yang lain, menurut model di mana kebenarannya yang dijamin dipertimbangkan secara intuitif.

Untuk memahami secara khusus apa perbezaan ini dan akibatnya, perlu melalui evolusi kaedah ini.

Kaedah kuno atau kandungan aksiomatik

Ia adalah yang ditubuhkan di Yunani Kuno menjelang abad ke-5 SM Bidang aplikasinya adalah geometri. Karya asas tahap ini adalah Elemen Euclid, walaupun dianggap bahawa sebelum dia, Pythagoras, telah melahirkan kaedah aksiomatik.

Oleh itu, orang Yunani mengambil fakta tertentu sebagai aksioma, tanpa memerlukan bukti logik, iaitu, tanpa memerlukan bukti, kerana bagi mereka itu adalah kebenaran yang dapat dibuktikan sendiri.

Bagi pihaknya, Euclid mengemukakan lima aksioma untuk geometri:

1-Diberikan dua titik terdapat garis yang mengandungi atau bergabung dengannya.

2-Segmen mana pun boleh dilanjutkan secara berterusan dalam garisan tanpa had di kedua-dua belah pihak.

3-Anda boleh melukis bulatan yang mempunyai pusat pada setiap titik dan radius mana pun.

4-Sudut tepat semuanya sama.

5-Mengambil garis lurus dan titik yang tidak ada di dalamnya, terdapat garis lurus yang selari dengannya dan yang mengandungi titik itu. Aksioma ini kemudian dikenal sebagai aksioma persamaan dan juga disebut sebagai: satu selari dapat diambil dari titik di luar garis.

Walau bagaimanapun, kedua-dua ahli matematik Euclid dan kemudiannya bersetuju bahawa aksioma kelima tidak begitu jelas secara intuitif seperti yang lain 4. Walaupun semasa Renaissance, usaha dibuat untuk menyimpulkan yang kelima dari 4 yang lain, tetapi itu tidak mungkin.

Ini menunjukkan bahawa pada abad XIX, mereka yang mempertahankan kelima-lima itu menyokong geometri Euclidean dan mereka yang menolak kelima, adalah mereka yang membuat geometri bukan Euclidean.

Kaedah aksiomatik Bukan Euclidean

Justru Nikolai Ivanovich Lobachevski, János Bolyai dan Johann Karl Friedrich Gauss yang melihat kemungkinan membina, tanpa percanggahan, geometri yang berasal dari sistem aksioma selain daripada Euclid. Ini merosakkan kepercayaan pada kebenaran mutlak atau apriori aksioma dan teori yang bersumber dari mereka.

Akibatnya, aksioma mula difahami sebagai titik permulaan teori tertentu. Juga pilihannya dan masalah kesahihannya dari satu segi atau yang lain, mula berkaitan dengan fakta di luar teori aksiomatik.

Dengan cara ini, teori geometri, algebra dan aritmetik kelihatan dibina dengan kaedah aksiomatik.

Tahap ini memuncak dalam penciptaan sistem aksiomatik untuk aritmetik seperti Giuseppe Peano pada tahun 1891; Geometri David Hubert pada tahun 1899; penyataan dan pengiraan predikat Alfred North Whitehead dan Bertrand Russell, di England pada tahun 1910; Teori aksiomatik Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo pada tahun 1908.

Kaedah aksiomatik moden atau formal

David Hubert inilah yang memulai konsepsi kaedah aksiomatik formal dan yang membawa kepada kemuncaknya, David Hilbert.

Justru Hilbert yang memformalkan bahasa ilmiah, menganggap pernyataannya sebagai formula atau urutan tanda yang tidak mempunyai makna dalam diri mereka. Mereka hanya memperoleh makna dalam tafsiran tertentu.

Dalam "Asas-asas geometri" dia menerangkan contoh pertama metodologi ini. Mulai sekarang, geometri menjadi sains akibat logik tulen, yang diambil dari sistem hipotesis atau aksioma, lebih baik diartikulasikan daripada sistem Euclidean.

Ini kerana dalam sistem kuno teori aksiomatik berdasarkan bukti aksioma. Semasa dalam landasan teori formal itu diberikan oleh demonstrasi mengenai ketidak percanggahan aksioma-aksioma.

Langkah-langkah

Prosedur yang menjalankan penstrukturan aksiomatik dalam teori saintifik mengakui:

a-pilihan sebilangan aksioma tertentu, iaitu sejumlah proposisi teori tertentu yang diterima tanpa perlu dibuktikan.

b-konsep yang merupakan sebahagian daripada cadangan ini tidak ditentukan dalam kerangka teori yang diberikan.

c-peraturan definisi dan pemotongan teori yang diberikan ditetapkan dan memungkinkan pengenalan konsep baru dalam teori dan secara logik menyimpulkan beberapa cadangan dari yang lain.

d-proposisi teori lain, iaitu teorema, disimpulkan dari a berdasarkan c.

Contoh

Kaedah ini dapat disahkan melalui bukti dua teorema Euclid yang paling terkenal: teorema kaki dan teorema ketinggian.

Kedua-duanya timbul dari pengamatan geometer Yunani ini bahawa ketika ketinggian berkenaan dengan hipotenus diplot dalam segitiga kanan, dua segitiga lagi muncul. Segitiga ini serupa antara satu sama lain dan pada masa yang sama serupa dengan segi tiga asal. Ini menganggap bahawa sisi homolog masing-masing adalah berkadar.

Dapat dilihat bahawa sudut kongruen dalam segitiga dengan cara ini mengesahkan persamaan yang ada di antara ketiga segitiga yang terlibat mengikut kriteria kesamaan AAA. Kriteria ini menyatakan bahawa apabila dua segitiga mempunyai semua sudut yang sama, mereka serupa.

Setelah ditunjukkan bahawa segitiga serupa, perkadaran yang ditentukan dalam teorema pertama dapat ditentukan. Pernyataan yang sama bahawa dalam segitiga kanan, ukuran setiap kaki adalah min berkadar geometri antara hipotenus dan unjuran kaki di atasnya.

Teorema kedua adalah mengenai ketinggian. Ini menentukan bahawa segitiga yang betul ketinggian yang dilukis mengikut hipotenus adalah min berkadar geometri antara segmen yang ditentukan oleh min geometri tersebut pada hipotenus.

Sudah tentu, kedua-dua teori mempunyai banyak aplikasi di seluruh dunia tidak hanya dalam pengajaran, tetapi juga dalam bidang kejuruteraan, fizik, kimia, dan astronomi.

Rujukan

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometri, formalisme dan intuisi: David Hilbert dan kaedah aksiomatik formal (1895-1905). Revista de Filosofía, Jilid 39 No. 2, hlm.121-146. Diambil dari majalah.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Pemikiran aksiomatik. Dalam W. Ewald, penyunting, dari Kant hingga Hilbert: sebuah buku sumber dalam asas matematik. Jilid II, hlm 1105-1114. Akhbar Universiti Oxford. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Apakah kaedah aksiomatik? Synthese, November 2011, jilid 189, hlm.69-85. Diambil dari link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Pengenalan Falsafah Undang-undang kontemporari. (hlm.48-49). Diambil dari books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Kaedah Aksiomatik, bacaan oleh Ricardo Nirenberg, Fall 1996, University di Albany, Project Renaissance. Diambil dari Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert antara sisi Matematik formal dan tidak formal. Manuskrip vol. 38 No. 2, Campinas Julai / Augusto 2015. Diambil dari scielo.br.