KEBARANGKALIAN BERSYARAT: FORMULA DAN PERSAMAAN, SIFAT, CONTOH - DUDAS - 2025

The kebarangkalian bersyarat adalah kemungkinan berlakunya peristiwa tertentu, memandangkan lain berlaku sebagai syarat. Maklumat tambahan ini mungkin (atau mungkin tidak) mengubah persepsi bahawa sesuatu akan berlaku.

Sebagai contoh, kita dapat bertanya kepada diri kita sendiri: "Apakah kemungkinan hujan turun hari ini, memandangkan sudah dua hari hujan tidak turun?" Peristiwa yang ingin kita ketahui kemungkinannya adalah hujan hari ini, dan maklumat tambahan yang akan menentukan jawapannya adalah "tidak hujan selama dua hari."

Rajah 1. Kebarangkalian hujan hari ini memandangkan hujan semalam juga merupakan contoh kebarangkalian bersyarat. Sumber: Pixabay.

Biarkan ruang kebarangkalian terdiri daripada Ω (ruang sampel), ℬ (peristiwa rawak) dan P (kebarangkalian setiap peristiwa), ditambah dengan peristiwa A dan B yang termasuk dalam ℬ.

Kebarangkalian bersyarat bahawa A terjadi, mengingat B terjadi, yang dilambangkan sebagai P (A│B), ditakrifkan sebagai berikut:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A dan B) / P (B)

Di mana: P (A) adalah kebarangkalian terjadinya A, P (B) adalah kebarangkalian peristiwa B dan berbeza dari 0, dan P (A∩B) adalah kebarangkalian persimpangan antara A dan B, iaitu, , kebarangkalian kedua-dua peristiwa itu berlaku (kebarangkalian bersama).

Ini adalah ungkapan untuk teorema Bayes yang diterapkan pada dua peristiwa, yang diusulkan pada tahun 1763 oleh ahli teologi Inggeris dan ahli matematik Thomas Bayes.

Hartanah

-Semua kebarangkalian bersyarat adalah antara 0 dan 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Kemungkinan peristiwa A berlaku, memandangkan peristiwa tersebut berlaku, jelas 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Jika dua peristiwa bersifat eksklusif, iaitu peristiwa yang tidak dapat berlaku secara serentak, maka kebarangkalian bersyarat salah satu daripadanya berlaku adalah 0, kerana persimpangan adalah sifar:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Jika B adalah subset A, maka kebarangkalian bersyarat juga 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Penting

P (A│B) umumnya tidak sama dengan P (B│A), oleh itu kita harus berhati-hati untuk tidak menukar peristiwa ketika mencari kebarangkalian bersyarat.

Peraturan am pendaraban

Berkali-kali anda ingin mencari kebarangkalian sendi P (A∩B), dan bukannya kebarangkalian bersyarat. Kemudian, melalui teorema berikut kita mempunyai:

P (A∩B) = P (A dan B) = P (A│B). P (B)

Teorema dapat diperluas untuk tiga acara A, B dan C:

P (A∩B∩C) = P (A dan B dan C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

Dan juga untuk pelbagai acara, seperti A ₁ , A ₂ , A ₃ dan banyak lagi, ia dapat dinyatakan seperti berikut:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ ) … P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩ … A _n-1 )

Apabila berlaku peristiwa yang berlaku secara berurutan dan melalui tahap yang berbeza, lebih mudah untuk mengatur data dalam rajah atau jadual. Ini menjadikannya lebih mudah untuk memvisualisasikan pilihan untuk mencapai kebarangkalian yang diminta.

Contohnya ialah rajah pokok dan jadual kontingensi. Dari satu daripadanya anda boleh membina yang lain.

Contoh kebarangkalian bersyarat

Mari kita lihat beberapa keadaan di mana kebarangkalian satu peristiwa diubah oleh kejadian yang lain:

- Contoh 1

Dua jenis kek dijual di kedai manis: strawberi dan coklat. Dengan mendaftarkan pilihan 50 pelanggan kedua-dua jantina, nilai-nilai berikut ditentukan:

-27 wanita, di mana 11 lebih suka kek strawberi dan 16 coklat.

-23 lelaki: 15 memilih coklat dan 8 strawberi.

Kebarangkalian pelanggan memilih kek coklat dapat ditentukan dengan menerapkan peraturan Laplace, yang mana kebarangkalian kejadiannya adalah:

P = bilangan acara yang digemari / jumlah keseluruhan acara

Dalam kes ini, daripada 50 pelanggan, seramai 31 orang memilih coklat, jadi kebarangkalian adalah P = 31/50 = 0.62. Maksudnya, 62% pelanggan lebih suka kek coklat.

Tetapi adakah berbeza jika pelanggan adalah wanita? Ini adalah kes kebarangkalian bersyarat.

Jadual kontingensi

Dengan menggunakan jadual kontingensi seperti ini, jumlahnya mudah dipaparkan:

Kemudian kes-kes yang baik diperhatikan dan peraturan Laplace diterapkan, tetapi pertama-tama kita menentukan peristiwa:

-B adalah acara "pelanggan wanita".

-A adalah acara "prefer chocolate cake" sebagai wanita.

Kami pergi ke ruangan berlabel "wanita" dan di sana kami melihat bahawa jumlahnya adalah 27.

Kemudian kes yang baik dicari di barisan "coklat". Terdapat 16 peristiwa ini, oleh itu kebarangkalian yang dicari adalah, secara langsung:

P (A│B) = 16/27 = 0.5924

59.24% pelanggan wanita lebih suka kek coklat.

Nilai ini sepadan apabila kita membezakannya dengan definisi kebarangkalian bersyarat yang diberikan pada mulanya:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Kami memastikan menggunakan peraturan Laplace dan nilai jadual:

P (B) = 27/50

P (A dan B) = 16/50

Di mana P (A dan B) adalah kebarangkalian pelanggan lebih suka coklat dan wanita. Sekarang nilai diganti:

P (A│B) = P (A dan B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.

Dan terbukti bahawa hasilnya sama.

- Contoh 2

Dalam contoh ini, peraturan pendaraban berlaku. Katakan ada seluar dalam tiga ukuran yang dipamerkan di kedai: kecil, sederhana, dan besar.

Sebanyak 24 seluar, yang masing-masing ada 8 ukuran dan semuanya bercampur, apakah kemungkinan mengeluarkan dua daripadanya dan kedua-duanya kecil?

Jelas bahawa kebarangkalian menanggalkan seluar kecil pada percubaan pertama adalah 8/24 = 1/3. Sekarang, pengekstrakan kedua adalah bersyarat pada acara pertama, kerana ketika melepaskan sepasang seluar, tidak ada lagi 24, tetapi 23. Dan jika seluar kecil dikeluarkan, ada 7 dan bukan 8.

Acara A menarik satu seluar kecil, setelah menarik satu lagi seluar pada percubaan pertama. Dan acara B adalah yang pertama dengan seluar kecil. Oleh itu:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Akhirnya, menggunakan peraturan pendaraban:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0.097

Latihan diselesaikan

Dalam kajian ketepatan waktu penerbangan udara komersial, data berikut tersedia:

-P (B) = 0.83, adalah kebarangkalian pesawat terbang tepat pada waktunya.

-P (A) = 0.81, adalah kebarangkalian mendarat tepat pada waktunya.

-P (B∩A) = 0.78 adalah kebarangkalian penerbangan tiba tepat pada masanya berlepas tepat pada waktunya.

Ia diminta untuk mengira:

a) Apakah kebarangkalian kapal terbang akan mendarat tepat pada waktunya kerana ia terbang tepat pada waktunya?

b) Adakah kebarangkalian di atas sama dengan kebarangkalian yang anda tinggalkan tepat pada waktunya sekiranya anda berjaya mendarat tepat pada waktunya?

c) Dan akhirnya: apakah kebarangkalian ia tiba tepat pada waktunya memandangkan ia tidak keluar tepat pada waktunya?

Gambar 2. Ketepatan masa dalam penerbangan komersial adalah penting, kerana kelewatan menghasilkan kerugian berjuta-juta dolar. Sumber: Pixabay.

Penyelesaian untuk

Untuk menjawab soalan, definisi kebarangkalian bersyarat digunakan:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A dan B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0.9398

Penyelesaian b

Dalam kes ini peristiwa dalam definisi ditukar:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A dan B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0.9630

Perhatikan bahawa kebarangkalian ini sedikit berbeza dari yang sebelumnya, seperti yang telah kita nyatakan sebelumnya.

Penyelesaian c

Kebarangkalian untuk tidak pergi tepat pada waktunya adalah 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, kita akan memanggilnya P (B ^C ), kerana ini adalah peristiwa pelengkap untuk melancarkan tepat pada waktunya. Kebarangkalian bersyarat yang dicari adalah:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A dan B ^C ) / P (B ^C )

Selain itu:

P (A∩B ^C ) = P (mendarat tepat waktu) - P (mendarat tepat waktu dan lepas landas tepat waktu) = 0.81-0.78 = 0.03

Dalam kes ini, kebarangkalian bersyarat yang dicari adalah:

P (A│B ^C ) = 0.03 / 0.17 = 0.1765

Rujukan

1. Canavos, G. 1988. Kebarangkalian dan Statistik: Aplikasi dan kaedah. Bukit McGraw.
2. Devore, J. 2012. Kebarangkalian dan Statistik untuk Kejuruteraan dan Sains. 8hb. Edisi. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Siri Schaum: Kebarangkalian. Bukit McGraw.
4. Obregón, I. 1989. Teori kebarangkalian. Pengarang Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Kebarangkalian dan Statistik untuk Kejuruteraan dan Sains. Pearson.
6. Wikipedia. Kebarangkalian bersyarat. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org.