SIMETRI PUSAT: SIFAT, CONTOH DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2025

Dua titik A dan A 'mempunyai simetri pusat sehubungan dengan titik O ketika segmen AA' melaluinya dan itu juga titik tengah AA '. Titik O dipanggil pusat simetri.

Simetri pusat segitiga ABC berkenaan dengan titik O, adalah segitiga lain A'B'C 'yang mempunyai ciri-ciri berikut:

- Segmen homologi sama panjang

-Sudut sepadan mereka mempunyai ukuran yang sama.

Rajah 1. Segitiga ABC dan simetri A'B'C '. Sumber: F. Zapata.

Rajah 1 menunjukkan segitiga ABC (merah) dan simetri pusatnya A'B'C '(hijau), berkenaan dengan pusat simetri O.

Dalam gambar yang sama ini, seorang pemerhati yang penuh perhatian akan menyedari bahawa hasil yang sama diperoleh dengan menerapkan putaran segitiga asal, asalkan 180º dan berpusat pada O.

Oleh itu, simetri pusat bersamaan dengan putaran 180º sehubungan dengan pusat simetri.

Sifat simetri pusat

Simetri pusat mempunyai sifat berikut:

-Pusat simetri adalah titik tengah segmen yang bergabung dengan titik dengan simetri.

- Titik simetri yang lain yang terletak di pusat simetri, bertepatan dengan pusat simetri.

-Simetri pusat segitiga ialah segitiga kongruen (sama dengan yang asal).

-Gambar oleh simetri pusat bulatan adalah lingkaran lain dengan jejari yang sama.

- Lilitan mempunyai simetri pusat sehubungan dengan pusatnya sendiri.

Rajah 2. Reka bentuk dengan simetri pusat. Sumber: Pixabay.

-Elips mempunyai simetri pusat sehubungan dengan pusatnya.

-Segmen mempunyai simetri pusat sehubungan dengan titik tengahnya.

- Segitiga sama sisi tidak mempunyai simetri pusat sehubungan dengan pusatnya, kerana simetri, walaupun sepadan dengan yang pertama, memberikan segitiga sama sisi berputar.

-Paket mempunyai simetri pusat sehubungan dengan pusatnya.

-Pentagon tidak mempunyai simetri pusat sehubungan dengan pusatnya.

-Poligon sekata mempunyai simetri pusat apabila mereka mempunyai bilangan sisi yang sama rata.

Contoh

Kriteria simetri mempunyai banyak aplikasi dalam sains dan kejuruteraan. Simetri pusat terdapat di alam, misalnya kristal ais dan jaring laba-laba mempunyai simetri seperti ini.

Selanjutnya, banyak masalah dapat diselesaikan dengan mudah apabila memanfaatkan kewujudan simetri pusat dan simetri jenis lain. Oleh itu, lebih mudah untuk mengenal pasti dengan cepat bila ia berlaku.

Rajah 3. Kristal ais mempunyai simetri pusat. Sumber: Pixabay.

Contoh 1

Dengan titik koordinat P (a, b), kita mesti mencari koordinat P 'simetriknya berkenaan dengan asal koordinat O (0, 0).

Perkara pertama ialah membina titik P ', yang mana garis dilukis yang melewati titik asal O dan melalui titik P. Persamaan garis ini ialah y = (b / a) x.

Sekarang mari kita sebut (a ', b') koordinat titik simetri P '. Titik P 'mesti terletak di garis yang melewati O dan oleh itu benar: b' = (b / a) a '. Selanjutnya, jarak OP mestilah sama dengan OP ', yang dalam bentuk analisis ditulis seperti ini:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Berikut ini adalah untuk menggantikan b '= dalam ungkapan sebelumnya dan kuadrat kedua-dua sisi persamaan untuk menghilangkan punca kuasa dua: (a ² + b ² ) =

Dengan mengekstrak faktor sepunya dan mempermudah, kita mendapat ' ² = a ² . Persamaan ini mempunyai dua penyelesaian sebenar: a '= + a atau a' = -a.

Untuk mendapatkan b ', kami sekali lagi menggunakan b' = (b / a) a '. Sekiranya penyelesaian positif a 'diganti, kita sampai pada b' = b. Dan apabila penyelesaian negatif diganti, maka b '= -b.

Penyelesaian positif memberikan P 'titik P yang sama, jadi ia dibuang. Penyelesaian negatif pasti memberikan koordinat titik simetri:

P ': (-a, -b)

Contoh 2

Diperlukan untuk menunjukkan bahawa segmen AB dan pusatnya simetri A'B 'mempunyai panjang yang sama.

Bermula dengan koordinat titik A, iaitu (Ax, Ay) dan titik B: (Bx, By), panjang segmen AB diberikan oleh:

d (AB) = √ ((Bx - Kapak) ² + (Oleh - Ay) ² )

Secara analogi, segmen simetri A'B 'mempunyai panjang yang diberikan oleh:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (Oleh' - Ay ') ² )

Koordinat titik simetri A 'ialah Ax' = -Ax dan Ay '= -Ay. Begitu juga dengan B 'adalah Bx' = -Bx dan By '= -By. Sekiranya koordinat ini diganti dalam persamaan jarak d (A'B ') kita mempunyai:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ) yang bersamaan dengan:

√ ((Bx - Kapak) ² + (Oleh - Ay) ² ) = d (AB)

Oleh itu ditunjukkan bahawa kedua-dua segmen mempunyai panjang yang sama.

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Tunjukkan secara analitis bahawa O simetri pusat bulatan jejari R dan pusat O adalah bulatan asal yang sama.

Penyelesaian

Persamaan bulatan dengan jejari R dan pusat O (0,0) adalah:

x ² + y ² = R ² (Persamaan lilitan C)

Sekiranya pada setiap titik P lilitan y koordinat (x, y) koordinat P 'simetrisnya (x', y ') dijumpai, persamaan lilitan simetri adalah:

x ' ² + y' ² = R ² (Persamaan bulatan simetri C ')

Sekarang kita merujuk kepada hasil contoh 1, di mana disimpulkan bahawa koordinat titik P ', simetri ke P dan dengan koordinat (a, b), adalah (-a, -b).

Tetapi dalam latihan ini, titik P mempunyai koordinat (x, y), maka simetri Pnya akan mempunyai koordinat x '= -xe y' = -y. Mengganti ini dalam persamaan bulatan simetri yang kita ada:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Yang bersamaan dengan: x ² + y ² = R ² , menyimpulkan bahawa pusat simetri bulatan berkenaan dengan pusatnya adalah bulatan itu sendiri.

- Latihan 2

Tunjukkan dalam bentuk geometri bahawa simetri pusat mengekalkan sudut.

Penyelesaian

Rajah 4. Pembinaan titik simetri untuk latihan 2. Sumber: F. Zapata.

Terdapat tiga titik A, B dan C di satah. Simetriknya A ', B' dan C 'dibina berkenaan dengan pusat simetri O, seperti yang ditunjukkan pada gambar 4.

Sekarang kita mesti menunjukkan bahawa sudut ∡ABC = β mempunyai ukuran yang sama dengan sudut ∡A'B'C '= β'.

Oleh kerana C dan C 'adalah simetrik, maka OC = OC'. Begitu juga OB = OB 'dan OA = OA'. Sebaliknya, sudut ∡BOC = ∡B'OC 'kerana mereka ditentang oleh bucu.

Oleh itu segitiga BOC dan B'OC 'adalah sepadan kerana mereka mempunyai sudut yang sama antara dua sisi yang sama.

Oleh kerana BOC sepadan dengan B'OC 'maka sudut γ dan γ' adalah sama. Tetapi sudut ini, selain memenuhi γ = γ ', adalah gantian dalaman antara garis BC dan B'C', yang menunjukkan bahawa garis BC selari dengan B'C '.

Begitu juga BOA yang sesuai dengan B'OA 'dari mana ia mengikuti bahawa α = α'. Tetapi α dan α 'adalah sudut dalaman bergantian antara garis BA dan B'A', dari mana disimpulkan bahawa garis BA selari dengan B'A '.

Oleh kerana sudut ∡ABC = β mempunyai sisi yang selari dengan sudut ∡A'B'C '= β' dan juga keduanya akut, maka disimpulkan bahawa:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Dengan membuktikan dengan cara ini, bahawa simetri pusat mengekalkan ukuran sudut.

Rujukan

1. Baldor, JA 1973. Geometri Pesawat dan Angkasa. Budaya Amerika Tengah.
2. Undang-undang dan formula matematik. Sistem pengukuran sudut. Dipulihkan dari: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Geometri Plane. Dipulihkan dari: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Simetri pusat. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Penghantar. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Gabungkan sudut dalaman dan luaran. Dipulihkan dari: lifeder.com