- Rumusan dan sifat
- Kawasan di bawah lengkung
- Latihan yang diselesaikan
- - Latihan 1
- Penyelesaian
- - Latihan 2
- Penyelesaian
- Rujukan
Jumlah Riemann adalah nama yang diberikan untuk pengiraan anggaran suatu integral yang pasti, dengan penjumlahan diskrit dengan sebilangan istilah. Aplikasi biasa adalah penghampiran luas fungsi pada grafik.
Ahli matematik Jerman, Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) yang pertama kali memberikan definisi yang tegas mengenai penggabungan fungsi dalam selang waktu tertentu. Dia membuatnya dalam sebuah artikel yang diterbitkan pada tahun 1854.
Rajah 1. Jumlah Riemann didefinisikan pada fungsi f dan pada partisi dalam selang waktu. Sumber: Fanny Zapata.
Jumlah Riemann ditentukan pada fungsi y = f (x), dengan x tergolong dalam selang tertutup. Pada selang waktu ini, partisi P unsur n dibuat:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Ini bermaksud bahawa selang dibahagikan seperti berikut:
x k-1 ≤ t k ≤ x k
Gambar 1 secara grafik menunjukkan jumlah Riemann fungsi f dalam selang pada partisi empat subinterval, segi empat tepat kelabu.
Jumlahnya mewakili luas luas segi empat tepat dan hasil penjumlahan ini menghitung luas di bawah lengkung f, antara abses x = x 0 dan x = x 4 .
Sudah tentu, penghampiran kawasan di bawah lengkung bertambah baik kerana bilangan partisi lebih besar. Dengan cara ini jumlahnya menyatu ke kawasan di bawah lengkung, apabila bilangan n partisi cenderung hingga tak terhingga.
Rumusan dan sifat
Jumlah Riemann fungsi f (x) pada partition:
P = {x 0 = a, x 1 , x 2 ,…, x n = b}
Ditakrifkan selang waktu, ia diberikan oleh:
S (P, f) = ∑ k = 1 n f (t k ) (x k - x k-1 )
Di mana t k adalah nilai dalam selang masa. Dalam jumlah Riemann, selang selang berkala lebar Δx = (b - a) / n biasanya digunakan, di mana a dan b adalah nilai minimum dan maksimum abses, sementara n adalah bilangan subdivisi.
Dalam kes tersebut, jumlah tepat Riemann adalah:
Sd (f, n) = * Δx
Rajah 2. Riemann jumlah yang betul. Sumber: Wikimedia Commons. 09glasgow09.
Sementara jumlah kiri Riemann dinyatakan sebagai:
Sekiranya (f, n) = * Δx
Rajah 3. Jumlah Riemann kiri. Sumber: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Akhirnya jumlah Riemann pusat adalah:
Original text
Sc (f, n) = * Δx
Rajah 4. Jumlah Riemann pertengahan. Sumber: Wikimedia Commons. 09glasgow09
Bergantung pada titik titik t k berada dalam selang waktu, jumlah Riemann dapat melebih-lebihkan atau meremehkan nilai tepat kawasan di bawah lengkung fungsi y = f (x). Dengan kata lain, segi empat tepat boleh menonjol dari lekukan atau berada sedikit di bawahnya.
Kawasan di bawah lengkung
Harta utama dari jumlah Riemann dan dari mana kepentingannya berasal, adalah bahawa jika jumlah subdivisi cenderung hingga tak terhingga, hasil dari jumlah tersebut akan menjadi integral pasti fungsi:
Latihan yang diselesaikan
- Latihan 1
Hitung nilai kamiran pasti antara a = -2 hingga b = +2 fungsi:
f (x) = x 2
Manfaatkan jumlah Riemann. Untuk melakukan ini, pertama-tama cari jumlah untuk n partisi biasa selang dan kemudian ambil had matematik untuk kes bahawa bilangan partisi cenderung hingga tak terhingga.
Penyelesaian
Ini adalah langkah-langkah untuk diikuti:
-Pertama, selang partisi ditakrifkan sebagai:
Δx = (b - a) / n.
-Jadi jumlah Riemann di sebelah kanan yang sesuai dengan fungsi f (x) kelihatan seperti ini:
-Dan kemudian diganti dengan berhati-hati dalam jumlah:
-Langkah seterusnya adalah untuk memisahkan jumlah dan mengambil jumlah tetap sebagai faktor biasa bagi setiap jumlah. Adalah perlu untuk mengambil kira bahawa indeks adalah i, oleh itu nombor dan istilah dengan n dianggap tetap:
-Setiap jumlah dinilai, kerana untuk masing-masing terdapat ungkapan yang sesuai. Contohnya, jumlah pertama memberikan n:
-Akhirnya, kamiran yang akan dikira adalah:
Pembaca dapat memastikan bahawa ini adalah hasil yang tepat, yang dapat diperoleh dengan menyelesaikan integral yang tidak tentu dan menilai had integrasi oleh peraturan Barrow.
- Latihan 2
Kira-kira menentukan kawasan di bawah fungsi:
f (x) = (1 / √ (2π)) e (x 2 /2)
Masukkan x = -1 dan x = + 1, menggunakan jumlah Riemann tengah dengan 10 partisi. Bandingkan dengan hasil yang tepat dan anggarkan perbezaan peratusan.
Penyelesaian
Langkah atau kenaikan antara dua nilai diskrit berturut-turut adalah:
Δx = (1 - (-1) / 10 = 0.2
Jadi partisi P di mana segi empat tepat ditentukan seperti ini:
P = {-1.0; -0.8; -0.6; -0.4; -0.2; 0.0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}
Tetapi kerana apa yang diinginkan adalah jumlah pusat, fungsi f (x) akan dinilai pada titik tengah subinterval, yaitu, dalam set:
T = {-0.9; -0.7; -0.5; -0.3; -0.1; 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9}.
Jumlah (tengah) Riemann kelihatan seperti ini:
S = f (-0.9) * 0.2 + f (-0.7) * 0.2 + f (-0.5) * 0.2 +… + f (0.7) * 0.2 + f (0.9) * 0.2
Oleh kerana fungsi f adalah simetri, mungkin untuk mengurangkan jumlahnya kepada hanya 5 istilah dan hasilnya dikalikan dengan dua:
S = 2 * 0.2 * {f (0.1) + f (0.3) + f (0.5) + f (0.7) + f (0.9)}
S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683
Fungsi yang diberikan dalam contoh ini tidak lain adalah loceng Gaussian yang terkenal (dinormalisasi, dengan min sama dengan sifar dan satu sisihan piawai). Kawasan di bawah lengkung dalam selang untuk fungsi ini diketahui 0,6827.
Gambar 5. Kawasan di bawah loceng Gauss yang dihitung dengan jumlah Riemann. Sumber: F. Zapata.
Ini bermaksud bahawa penyelesaian anggaran dengan hanya 10 istilah sepadan dengan penyelesaian tepat untuk tiga tempat perpuluhan. Kesalahan peratusan antara anggaran dan kamiran tepat ialah 0,07%.
Rujukan
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Kalkulus integral (Illustrated ed.). Madrid: Pengarang ESIC.
- Unican. Sejarah konsep kamiran. Dipulihkan dari: repositorio.unican.es
- UIS. Riemann merumuskan. Dipulihkan dari: matematicas.uis.edu.co
- Wikipedia. Jumlah Riemann. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Integrasi Riemann. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com