TEOREMA VARIGNON: CONTOH DAN LATIHAN YANG DISELESAIKAN - MATEMATIK - 2025

The teorem Varignon menyatakan bahawa jika mana-mana sisi empat disambungkan titik tengah sisi secara berterusan, selari dihasilkan. Teorema ini dirumuskan oleh Pierre Varignon dan diterbitkan pada tahun 1731 dalam buku Elemen Matematik ”.

Penerbitan buku itu berlaku bertahun-tahun setelah kematiannya. Oleh kerana Varignon yang memperkenalkan teorema ini, parallelogram diberi nama selepasnya. Teorema ini didasarkan pada geometri Euclidean dan memaparkan hubungan geometri dari segiempat sama.

Apakah teorema Varignon?

Varignon menyatakan bahawa angka yang ditentukan oleh titik tengah segiempat akan selalu menghasilkan parallelogram, dan luas parallelogram akan selalu menjadi separuh luas segiempat jika ia rata dan cembung. Sebagai contoh:

Dalam gambar tersebut anda dapat melihat segiempat dengan luas X, di mana titik tengah sisi diwakili oleh E, F, G dan H dan, apabila bergabung, membentuk sebuah parallelogram. Luas segiempat akan menjadi jumlah luas segitiga yang terbentuk, dan separuh daripadanya sesuai dengan luas selari.

Oleh kerana luas paralelogram adalah separuh dari luas segiempat, perimeter paralelogram itu dapat ditentukan.

Oleh itu, perimeternya sama dengan jumlah panjang pepenjuru segiempat sama; ini kerana median segiempat akan menjadi pepenjuru dari parallelogram.

Sebaliknya, jika panjang pepenjuru segiempat sama persis, paralelogram akan menjadi rombus. Sebagai contoh:

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahawa, dengan bergabung dengan titik tengah sisi sisi segiempat, rombus diperoleh. Sebaliknya, jika pepenjuru segiempat sama tegak lurus, parallelogram akan menjadi segi empat tepat.

Paralelogram juga akan menjadi segi empat sama apabila segiempat sama mempunyai pepenjuru dengan panjang yang sama dan mereka juga tegak lurus.

Teorem ini tidak hanya dipenuhi dalam bidang segiempat satah, tetapi juga dilaksanakan dalam geometri spasial atau dalam dimensi besar; iaitu, pada kuadrilateral yang tidak cembung. Contohnya ialah oktahedron, di mana titik tengahnya adalah pusat setiap wajah dan membentuk paralel.

Dengan cara ini, dengan menggabungkan titik tengah angka yang berbeza, paralelogram dapat diperoleh. Cara mudah untuk memeriksa sama ada ini benar adalah bahawa sisi yang bertentangan mesti selari ketika dilanjutkan.

Contoh

Contoh pertama

Peluasan sisi berlawanan untuk menunjukkan bahawa ia adalah parallelogram:

Contoh kedua

Dengan bergabung dengan titik tengah rhombus, sebuah segi empat tepat diperoleh:

Teorema digunakan dalam penyatuan titik-titik yang terletak di tengah sisi sisi segiempat, dan ia juga boleh digunakan untuk jenis titik lain, seperti segi tiga, bahagian penta, atau bahkan sejumlah bahagian yang tidak terbatas ( nth), untuk membahagikan sisi segiempat sama menjadi segmen yang berkadar.

Latihan yang diselesaikan

Latihan 1

Dalam gambar tersebut, kita mempunyai ABCD segiempat sama kawasan Z, di mana titik tengah sisi ini adalah PQSR. Periksa bahawa paralelogram Varignon terbentuk.

Penyelesaian

Ini dapat dilihat bahawa dengan menggabungkan titik PQSR, sebuah paralelogram Varignon terbentuk, tepatnya kerana titik tengah segiempat diberikan dalam pernyataan tersebut.

Untuk menunjukkan ini, pertama titik tengah PQSR digabungkan, sehingga dapat dilihat bahawa segiempat sama lain terbentuk. Untuk menunjukkan bahawa ia adalah parallelogram, anda hanya perlu melukis garis lurus dari titik C ke titik A, sehingga dapat dilihat bahawa CA selari dengan PQ dan RS.

Dengan cara yang sama, ketika memanjangkan sisi PQRS dapat dilihat bahawa PQ dan RS adalah selari, seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut:

Latihan 2

Kami mempunyai segi empat tepat sehingga panjang semua sisinya sama. Dengan bergabung dengan titik tengah sisi-sisi ini, ABCD rhombus terbentuk, yang dibahagi dengan dua pepenjuru AC = 7cm dan BD = 10cm, yang bertepatan dengan ukuran sisi segi empat. Tentukan kawasan rombus dan segi empat tepat.

Penyelesaian

Mengingat bahawa luas paralelogram yang dihasilkan adalah separuh dari segiempat sama, luasnya dapat ditentukan dengan mengetahui bahawa ukuran pepenjuru bertepatan dengan sisi segi empat tepat. Oleh itu, anda mesti:

AB = D

CD = d

A _rectangle = (AB _* CD) = (10cm _* 7cm) = 70cm ²

A _rombus = A _rectangle / 2

A _rombus = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

Latihan 3

Dalam rajah tersebut terdapat segiempat sama yang mempunyai kesatuan titik EFGH, panjang segmen diberikan. Tentukan sama ada penyatuan EFGH adalah parallelogram.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

HR = 3.94 HA = 2.77

Penyelesaian

Oleh kerana panjang segmen diberikan, ia dapat disahkan jika terdapat perkadaran antara segmen tersebut; iaitu, anda dapat mengetahui apakah itu selari, menghubungkan segmen segiempat seperti berikut:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37

Kemudian perkadaran diperiksa, kerana:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Begitu juga, ketika melukis garis dari titik B ke titik D, dapat dilihat bahawa EH selari dengan BD, sama seperti BD selari dengan FG. Sebaliknya, EF selari dengan GH.

Oleh itu dapat ditentukan bahawa EFGH adalah parallelogram, kerana sisi yang berlawanan adalah selari.

Rujukan

1. Andres, T. (2010). Tresure Olimpik Matematik. Pemecut. New York.
2. Barbosa, JL (2006). Geometri Euclidean satah. SBM. Rio de Janeiro.
3. Howar, E. (1969). Kajian Geometri. Mexico: Hispanik - Amerika.
4. Ramo, GP (1998). Penyelesaian yang tidak diketahui untuk masalah Fermat-Torricelli. ISBN - Karya bebas.
5. Vera, F. (1943). Unsur Geometri. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Beberapa Pengembaraan dalam Geometri Euclidean. Afrika Selatan.