TRAPESIUM ISOSELES: SIFAT, HUBUNGAN DAN FORMULA, CONTOH - MATEMATIK - 2025

Yang sama kaki trapezoid ialah sisiempat di mana dua daripada pihak adalah selari antara satu sama lain dan di samping itu, kedua-dua sudut bersebelahan dengan salah satu sisi selari mempunyai ukuran yang sama.

Pada gambar 1 kita mempunyai ABCD segi empat, di mana sisi AD dan BC adalah selari. Selain itu, sudut ABDAB dan ∠ADC yang bersebelahan dengan sisi selari AD mempunyai ukuran yang sama α.

Rajah 1. Isoseles trapezium. Sumber: F. Zapata.

Oleh itu, poligon segi empat, atau empat sisi ini, sebenarnya merupakan trapesium isoskel.

Dalam trapezoid, sisi selari dipanggil asas dan sisi tidak selari disebut sisi. Ciri penting lain ialah ketinggian, iaitu jarak yang memisahkan sisi selari.

Selain trapezoid isoskel terdapat jenis trapezoid lain:

-T rapezoid scalene, yang mempunyai semua sudut dan sisi yang berbeza.

-Rapezoid segi empat tepat, di mana satu sisi mempunyai sudut bersebelahan tepat.

Bentuk trapezoid adalah umum dalam pelbagai bidang reka bentuk, seni bina, elektronik, pengiraan dan banyak lagi, seperti yang akan dilihat kemudian. Oleh itu pentingnya membiasakan diri dengan khasiatnya.

Hartanah

Eksklusif untuk trapesium isoseles

Sekiranya trapezoid adalah isoskel maka ia mempunyai sifat ciri berikut:

1.- Sisi mempunyai ukuran yang sama.

2.- Sudut yang berdekatan dengan pangkalan adalah sama.

3.- Sudut yang berlawanan adalah tambahan.

4.- Diagonal mempunyai panjang yang sama, dua segmen yang bergabung dengan bucu yang bertentangan sama.

5.- Sudut yang terbentuk di antara pangkalan dan pepenjuru adalah ukuran yang sama.

6.- Ia mempunyai lilitan yang ditentukan.

Sebaliknya, jika trapezoid memenuhi mana-mana sifat di atas, maka itu adalah trapesium isoseles.

Sekiranya dalam trapesium isoseles salah satu sudut betul (90º), maka semua sudut lain juga betul, membentuk sebuah segi empat tepat. Maksudnya, segi empat tepat adalah kes tertentu dari trapesium isoseles.

Gambar 2. Bekas popcorn dan meja sekolah dibentuk seperti trapesium isoseles. Sumber: Pxfuel (kiri) / McDowell Craig melalui Flickr. (betul)

Untuk semua trapeze

Kumpulan sifat berikut adalah sah untuk sebarang trapezoid:

7.- Median trapezoid, iaitu segmen yang bergabung dengan titik tengah sisi tidak selari, adalah selari dengan mana-mana pangkalan.

8.- Panjang median sama dengan semisum (jumlah dibahagi dengan 2) dari asasnya.

9.- Median trapezoid memotong pepenjuru pada titik tengah.

10.- Diagonal trapezoid bersilang pada titik yang membahagikannya kepada dua bahagian yang sebanding dengan kuota asas.

11.- Jumlah kuasa dua pepenjuru dari trapezoid sama dengan jumlah segiempat sama sisinya ditambah hasil darab asasnya.

12.- Segmen yang bergabung dengan titik tengah pepenjuru mempunyai panjang yang sama dengan separuh perbezaan asas.

13.- Sudut yang berdekatan dengan sisi adalah tambahan.

14.- Trapezoid mempunyai lilitan tertulis jika dan hanya jika jumlah asasnya sama dengan jumlah sisinya.

15.- Jika trapezoid mempunyai lilitan tertulis, maka sudut dengan bucu di tengah lilitan tersebut dan sisi yang melewati hujung sisi yang sama adalah sudut tepat.

Hubungan dan formula

Kumpulan hubungan dan formula berikut dirujuk pada gambar 3, di mana selain dari isosceles trapezoid segmen penting lain yang telah disebutkan ditunjukkan, seperti pepenjuru, tinggi dan median.

Gambar 3. Median, pepenjuru, tinggi, dan lilitan yang dibatasi pada trapesium isoseles. Sumber: F. Zapata.

Hubungan unik trapesium isoseles

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA dan ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º dan ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C dan D tergolong dalam bulatan yang dibatasi.

Hubungan untuk sebarang trapeze

1. Sekiranya AK = KB dan DL = LC ⇒ KL - AD dan KL - BC

8.- KL = (AD + SM) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 dan DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC dan DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - SM) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º dan ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Sekiranya AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R daripada jarak yang sama dari AD, BC, AB dan DC

15.- Sekiranya ∃ R sama dengan AD, BC, AB dan DC, maka:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Hubungan untuk isosceles trapezium dengan lilitan tertulis

Sekiranya dalam trapezoid isoskel jumlah pangkalannya sama dengan dua kali lipat dari sisi, maka lilitan tertulis ada.

Rajah 4. Trapezoid dengan lilitan tertulis. Sumber: F. Zapata.

Sifat berikut berlaku apabila trapesium isoseles mempunyai lilitan yang tertulis (lihat gambar 4 di atas):

16.- KL = AB = DC = (AD + SM) / 2

17.- Diagonal bersilang pada sudut tepat: AC ⊥ BD

18.- Ketinggian mengukur sama dengan median: HF = KL, iaitu, h = m.

19.- Kuadrat tinggi sama dengan produk pangkalan: h ² = BC⋅AD

20.- Di bawah keadaan khusus ini, luas trapezoid adalah sama dengan segiempat sama tinggi atau produk pangkalan: Luas = h ² = BC⋅AD.

Rumus untuk menentukan satu sisi, mengetahui sisi lain dan sudut

Mengetahui asas, sisi dan sudut, asas yang lain dapat ditentukan dengan:

a = b + 2c Cos α

b = a - 2c Cos α

Sekiranya panjang pangkal dan sudut diberikan sebagai data yang diketahui, maka panjang kedua sisi adalah:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Penentuan satu sisi, mengetahui yang lain dan pepenjuru

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

Di mana d ₁ ialah panjang pepenjuru.

Pangkalan dari ketinggian, luas dan pangkalan lain

a = (2 A) / j - b

b = (2 A) / j - a

Asas, luas dan sudut sisi yang dikenali

c = (2A) /

Median, luas dan sudut lateral yang dikenali

c = A / (m sin α)

Ketinggian yang diketahui sisi

h = √

Ketinggian yang diketahui sudut dan dua sisi

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. dosa α

Pepenjuru yang dikenali semua sisi, atau dua sisi dan sudut

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Perimeter segitiga isoseles

P = a + b + 2c

Kawasan trapezium Isosceles

Terdapat beberapa formula untuk mengira luas, bergantung pada data yang diketahui. Berikut adalah yang paling terkenal, bergantung pada asas dan ketinggian:

A = h⋅ (a + b) / 2

Anda juga boleh menggunakan yang lain:

-Jika sisi diketahui

A = √

-Apabila anda mempunyai dua sisi dan sudut

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Jika jejari bulatan yang tertulis dan sudut diketahui

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen β

-Apabila dasar dan sudut diketahui

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Jika trapezoid boleh ditulis keliling

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Ketahui pepenjuru dan sudut yang terbentuk antara satu sama lain

A = (d ₁ ² /2) γ = Sen (d ₁ ² /2) δ Sen

-Apabila anda mempunyai sisi, median dan sudut

A = mc.sen α = mc.sen β

Radius bulatan yang dibatasi

Hanya trapezoid isoskel yang mempunyai lilitan yang ditentukan. Sekiranya asas a yang lebih besar a, c lateral dan diagonal d _{1 diketahui} , maka jejari R bulatan yang melewati empat bucu trapezoid adalah:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Di mana p = (a + c + d ₁ ) / 2

Contoh penggunaan trapezoid isoseles

Trapesium isosceles muncul dalam bidang reka bentuk, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2. Dan berikut adalah beberapa contoh tambahan:

Dalam seni bina dan pembinaan

Orang-orang Inca kuno mengenal trapesium isoseles dan menggunakannya sebagai elemen bangunan di tingkap ini di Cuzco, Peru:

Gambar 5. Tetingkap trapezoid Coricancha, Cuzco. Sumber: Wikimedia Commons.

Dan di sini trapezoid muncul lagi dalam apa yang disebut helaian trapezoid, bahan yang sering digunakan dalam pembinaan:

Gambar 6. Kepingan logam trapezoid melindungi sementara tingkap bangunan. Sumber: Wikimedia Commons.

Dalam reka bentuk

Kami telah melihat bahawa trapesium isoskel muncul dalam objek sehari-hari, termasuk makanan seperti coklat bar ini:

Gambar 7. Batang coklat yang wajahnya berbentuk seperti trapesium isoseles. Sumber: Pxfuel.

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Trapesium isoskel mempunyai pangkalan lebih besar dari 9 cm, pangkalan kurang dari 3 cm, dan masing-masing pepenjuru 8 cm. Kira:

a) Sebelah

b) Ketinggian

c) Perimeter

d) Kawasan

Gambar 8. Skema latihan 1. Sumber: F. Zapata

Penyelesaian untuk

Tinggi CP = h diplot, di mana kaki ketinggian menentukan segmen:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Menggunakan teorema Pythagoras ke DPC segitiga kanan:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

Dan juga ke APC segitiga kanan:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Akhirnya, anggota demi anggota dikurangkan, persamaan kedua dari yang pertama dan dipermudahkan:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6.08 cm

Penyelesaian b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - 6 ² = 28

h = 2 √7 = 5.29 cm

Penyelesaian c

Perimeter = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6.083 = 24.166 cm

Penyelesaian d

Luas = h (a + b) / 2 = 5.29 (12) / 2 = 31.74 cm

- Latihan 2

Terdapat trapesium isoskel yang pangkalannya lebih besar dua kali lebih kecil dan pangkalannya yang lebih kecil sama dengan ketinggian, iaitu 6 cm. Tentukan:

a) Panjang sisi

b) Perimeter

c) Kawasan

d) Sudut

Gambar 8. Skema latihan 2. Sumber: F. Zapata

Penyelesaian untuk

Data: a = 12, b = a / 2 = 6 dan h = b = 6

Kami meneruskan seperti berikut: kami melukis ketinggian h dan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga hipotenus «c» dan kaki h dan x:

c ² = h ² + xc ²

Maka kita mesti mengira nilai ketinggian dari data (h = b) dan nilai kaki x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Menggantikan ungkapan sebelumnya yang kita ada:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Sekarang nilai berangka diperkenalkan dan dipermudahkan:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Memperolehi:

c = 3√5 = 6.71 cm

Penyelesaian b

Perimeter P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61.42 cm

Penyelesaian c

Kawasan sebagai fungsi ketinggian dan panjang pangkalan adalah:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Penyelesaian d

Sudut α yang terbentuk lateral dengan dasar yang lebih besar diperoleh dengan trigonometri:

Tan (α) = h / x = 6/3 = 2

α = ArcTan (2) = 63.44º

Sudut yang lain, yang membentuk sisi dengan pangkalan yang lebih kecil adalah β, yang merupakan tambahan kepada α:

β = 180º - α = 180º - 63.44º = 116.56º

Rujukan

1. EA 2003. Elemen geometri: dengan latihan dan geometri kompas. Universiti Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematik 2. Grupo Editorial Patria.
3. Freed, K. 2007. Cari Poligon. Syarikat Pendidikan Penanda Aras.
4. Hendrik, V. 2013. Poligon Umum. Birkhäuser.
5. IGER. Semester Pertama Matematik Tacaná. IGER.
6. Geometri Jr. 2014. Poligon. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heeren, & Hornsby. 2006. Matematik: Penaakulan Dan Aplikasi. 10hb. Edisi. Pendidikan Pearson.
8. Patiño, M. 2006. Matematik 5. Progreso Editorial.
9. Wikipedia. Trapeze. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com