ASAS ORTONORMAL: SIFAT, CONTOH DAN LATIHAN - FIZIKAL - 2025

An asas orthonormal terbentuk dengan vektor serenjang antara satu sama lain dan yang modulus juga 1 (vektor unit). Mari kita ingat bahawa asas B dalam ruang vektor V didefinisikan sebagai satu set vektor bebas linear yang mampu menghasilkan ruang tersebut.

Sebaliknya, ruang vektor adalah entiti matematik abstrak di antara unsur-unsurnya adalah vektor, yang umumnya dikaitkan dengan kuantiti fizikal seperti kelajuan, daya dan anjakan atau juga dengan matriks, polinomial dan fungsi.

Rajah 1. Pangkalan ortonormal dalam satah. Sumber: Wikimedia Commons. Kuarl.

Vektor mempunyai tiga elemen khas: magnitud atau modulus, arah, dan akal. Asas ortonormal sangat berguna untuk mewakili dan beroperasi dengan mereka, kerana mana-mana vektor yang tergolong dalam ruang vektor tertentu V boleh ditulis sebagai gabungan linear vektor yang membentuk asas ortonormal.

Dengan cara ini, operasi antara vektor, seperti penambahan, pengurangan dan pelbagai jenis produk yang ditentukan dalam ruang tersebut, dilaksanakan secara analitik.

Antara asas yang paling banyak digunakan dalam fizik ialah asas yang dibentuk oleh vektor unit i , j dan k yang mewakili tiga arah khas ruang tiga dimensi: tinggi, lebar dan kedalaman. Vektor ini juga dikenali sebagai vektor kanonik unit.

Sekiranya, sebaliknya, vektor dikerjakan dalam satah, dua dari tiga komponen ini akan mencukupi, sementara untuk vektor satu dimensi hanya diperlukan satu.

Sifat asas

1- A base B adalah sekumpulan vektor terkecil yang menghasilkan ruang vektor V.

2- Unsur-unsur B bebas secara linear.

3- Mana-mana asas B ruang vektor V, memungkinkan untuk menyatakan semua vektor V sebagai gabungan linear daripadanya dan bentuk ini unik untuk setiap vektor. Atas sebab ini, B juga dikenali sebagai sistem penjanaan.

4- Ruang vektor yang sama V boleh mempunyai asas yang berbeza

Contoh pangkalan

Berikut adalah beberapa contoh asas dan asas ortonormal secara umum:

Asas kanonik dalam ℜ

Juga disebut asas semula jadi atau asas piawai ℜ ⁿ , di mana ℜ ⁿ adalah ruang n-dimensi, misalnya ruang tiga dimensi adalah ℜ ³ . Nilai n disebut dimensi ruang vektor dan dilambangkan sebagai malap (V).

Semua vektor yang tergolong dalam ℜ ⁿ diwakili oleh iklan n yang diperintahkan. Untuk ruang ℜ ⁿ , asas kanonik adalah:

e ₁ = <1,0 ,. . . , 0>; e ₂ = <0.1,. . . , 0>; …… .. e _n = <0.0,. . . , 1>

Dalam contoh ini kita telah menggunakan notasi dengan tanda kurung atau "tanda kurung" dan tebal untuk vektor unit e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Asas kanonik dalam ℜ

Vektor vektor i , j dan k mengakui perwakilan yang sama dan ketiga-tiganya cukup untuk mewakili vektor dalam ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Ini bermaksud bahawa asas boleh dinyatakan seperti ini:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

Untuk mengesahkan bahawa mereka bebas secara linear, penentu yang terbentuk dengannya tidak sifar dan juga sama dengan 1:

Anda juga boleh menulis mana-mana vektor milik ℜ ³ sebagai gabungan linear dari mereka. Sebagai contoh, daya yang komponen segi empat tepatnya adalah F _x = 4 N, F _y = -7 N dan F _z = 0 N akan ditulis dalam bentuk vektor seperti ini:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Oleh itu , i , j dan k membentuk sistem penjana ℜ ³ .

Pangkalan ortonormal lain di ℜ

Pangkalan standard yang dijelaskan di bahagian sebelumnya bukan satu-satunya pangkalan ortonormal di ℜ ³ . Di sini kita mempunyai asas:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Ini dapat ditunjukkan bahawa pangkalan ini adalah ortonormal, untuk ini kita ingat syarat-syarat yang mesti dipenuhi:

-Vektor yang membentuk pangkalan mesti saling ortogonal.

-Setiap dari mereka mesti bersatu.

Kita dapat mengesahkannya dengan mengetahui bahawa penentu yang dibentuk oleh mereka mestilah tidak sifar dan sama dengan 1.

Asas B ₁ adalah tepat dari koordinat silinder ρ, φ dan z, cara lain untuk menyatakan vektor di ruang angkasa.

Rajah 2. Koordinat silinder. Sumber: Wikimedia Commons. Ahli matematik.

Latihan yang diselesaikan

- Latihan 1

Tunjukkan bahawa asas B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} adalah ortonormal.

Penyelesaian

Untuk menunjukkan bahawa vektor saling tegak lurus antara satu sama lain, kita akan menggunakan produk skalar, juga disebut produk dalaman atau titik dua vektor.

Biarkan mana-mana dua vektor u dan v , produk titik mereka ditentukan oleh:

u • v = uv cosθ

Untuk membezakan vektor modul mereka, kita akan menggunakan huruf tebal untuk huruf pertama dan huruf biasa untuk kedua. θ adalah sudut antara u dan v, oleh itu jika mereka tegak lurus, itu bermakna θ = 90º dan produk skalar adalah sifar.

Sebagai alternatif, jika vektor diberikan dari segi komponennya: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, produk skalar keduanya, yang bersifat komutatif, dikira dengan cara ini:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

Dengan cara ini, produk skalar antara setiap pasangan vektor masing-masing:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

Untuk keadaan kedua, modul setiap vektor dikira, yang diperoleh dengan:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Oleh itu, modul setiap vektor adalah:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0.1> │ = √ = 1

Oleh itu ketiga-tiganya adalah vektor unit. Akhirnya, penentu yang mereka bentuk bukan sifar dan sama dengan 1:

- Latihan 2

Tuliskan koordinat vektor w = <2, 3,1> dari segi asas di atas.

Penyelesaian

Untuk melakukan ini, teorema berikut digunakan:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

Ini bermaksud bahawa kita dapat menulis vektor di pangkalan B, menggunakan pekali < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n >, yang mana kita mesti mengira produk skalar yang ditunjukkan:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Dengan produk skalar yang diperoleh, matriks dibina, yang disebut matriks koordinat w.

Oleh itu, koordinat vektor w di dasar B dinyatakan dengan:

_B =

Matriks koordinat bukan vektor, kerana vektor tidak sama dengan koordinatnya. Ini hanya sekumpulan angka yang berfungsi untuk mengekspresikan vektor dalam pangkalan yang diberikan, bukan vektor seperti itu. Mereka juga bergantung pada pangkalan yang dipilih.

Akhir sekali, berikut teorem, vektor w akan dinyatakan sebagai berikut :

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Dengan: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, iaitu vektor pangkalan B.

Rujukan

1. Larson, R. Yayasan Algebra Linear. Ke-6. Edisi. Pembelajaran Cengage.
2. Larson, R. 2006. Kalkulus. Ke-7. Edisi. Jilid 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Algebra Linear. Unit 10. Pangkalan ortonormal. Dipulihkan dari: ocw.uc3m.es.
4. Universiti Sevilla. Koordinat silinder. Pangkalan vektor. Dipulihkan dari: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Pangkalan ortonormal. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org.