TRINOMIAL BENTUK X ^ 2 + BX + C (DENGAN CONTOH) - MATEMATIK - 2025

Sebelum belajar menyelesaikan trinomial bentuk x ^ 2 + bx + c , dan bahkan sebelum mengetahui konsep trinomial, adalah penting untuk mengetahui dua konsep penting; iaitu, konsep monomial dan polinomial. Monomial adalah ungkapan jenis a * x ⁿ , di mana a adalah nombor rasional, n adalah nombor semula jadi dan x adalah pemboleh ubah.

Polinomial A adalah gabungan linear monomial dalam bentuk a _n * x ⁿ + a _n-1 * x ^n-1 + … + a ₂ * x ² + a ₁ * x + a ₀ , di mana setiap satu _i , dengan i = 0,…, n, adalah nombor rasional, n adalah nombor semula jadi dan a_n bukan nol. Dalam kes ini tahap polinomial dikatakan n.

Polinomial yang terbentuk dengan jumlah hanya dua istilah (dua monomial) dengan darjah yang berbeza dikenali sebagai binomial.

Trinomial

Polinomial yang terbentuk dengan jumlah hanya tiga istilah (tiga monomial) dengan darjah yang berbeza dikenali sebagai trinomial. Berikut adalah contoh trinomial:

• x ³ + x ² + 5x
• 2x ⁴ -x ³ +5
• x ² + 6x + 3

Terdapat beberapa jenis trinomial. Daripada jumlah ini, trinomial persegi yang sempurna menonjol.

Trinomial persegi sempurna

Trinomial persegi yang sempurna adalah hasil kuasa dua binomial. Sebagai contoh:

• (3x-2) ² = 9x ² -12x + 4
• (2x ³ + y) ² = 4x ⁶ + 4x ³ y + y ²
• (4x ² -2y ⁴ ) ² = 16x ⁴ -16x ² y ⁴ + 4y ⁸
• 1 / 16x ² y ⁸ -1 / 2xy ⁴ z + z ² = (1 / 4xy ⁴ ) ² -2 (1 / 4xy ⁴ ) z + z ² = (1 / 4xy ⁴ -z) ²

Ciri-ciri trinomial gred 2

Petak sempurna

Secara amnya, trinomial bentuk ax ² + bx + c adalah petak sempurna jika diskriminasinya sama dengan sifar; iaitu, jika b ² -4ac = 0, kerana dalam hal ini ia akan mempunyai satu akar dan dapat dinyatakan dalam bentuk a (xd) ² = (√a (xd)) ² , di mana d adalah akar yang telah disebutkan.

Akar polinomial adalah nombor di mana polinomial menjadi sifar; dengan kata lain, nombor yang, apabila menggantikan x dalam ungkapan polinomial, menghasilkan sifar.

Menyelesaikan formula

Formula umum untuk mengira akar polinomial darjah kedua dari bentuk ax ² + bx + c adalah formula pelarut, yang menyatakan bahawa akar ini diberikan oleh (–b ± √ (b ² -4ac)) / 2a, di mana b ² -4ac dikenali sebagai diskriminan dan biasanya dilambangkan dengan ∆. Dari formula ini menunjukkan bahawa ax ² + bx + c mempunyai:

- Dua punca sebenar yang berbeza jika ∆> 0.

- Satu punca sebenar jika ∆ = 0.

- Tidak mempunyai akar yang nyata jika ∆ <0.

Dalam apa yang berikut, hanya trinomial dengan bentuk x ² + bx + c yang akan dipertimbangkan, di mana dengan jelas c mesti nombor selain nol (jika tidak, ia adalah binomial). Jenis trinomial ini mempunyai kelebihan tertentu semasa membuat pemfaktoran dan operasi dengannya.

Tafsiran geometri

Geometri, yang trinomial x ² + bx + c ialah parabola yang membuka ke atas dan mempunyai bucu pada titik (-b / 2, -b ² /4 + c) pesawat Cartesian yang x ² + bx + c = ( x + b / 2) ² -b ² /4 + c.

Parabola ini memotong paksi Y pada titik (0, c) dan paksi X pada titik (d ₁ , 0) dan (d ₂ , 0); maka d ₁ dan d ₂ adalah akar trinomial. Ia boleh berlaku bahawa trinomial mempunyai akar tunggal d, dalam hal ini satu-satunya potongan dengan sumbu X adalah (d, 0).

Mungkin juga berlaku bahawa trinomial tidak mempunyai akar yang sebenarnya, dalam hal ini tidak akan memotong sumbu X pada titik mana pun.

Contohnya, x ² + 6x + 9 = (x + 3) ² -9 + 9 = (x + 3) ² adalah parabola dengan bucu pada (-3,0), yang memotong paksi-Y pada (0, 9) dan ke paksi X pada (-3,0).

Pemfaktoran trinomial

Alat yang sangat berguna ketika bekerja dengan polinomial adalah pemfaktoran, yang terdiri daripada menyatakan polinomial sebagai produk faktor. Secara amnya, diberi trinomial bentuk x ² + bx + c, jika ia mempunyai dua akar yang berbeza d ₁ dan d ₂ , ia boleh difaktorkan sebagai (xd ₁ ) (xd ₂ ).

Sekiranya ia mempunyai satu akar d, ia boleh difaktorkan sebagai (xd) (xd) = (xd) ² , dan jika ia tidak mempunyai akar yang sebenarnya, ia tetap sama; dalam kes ini, ia tidak mengakui faktorisasi sebagai produk faktor selain daripada dirinya sendiri.

Ini bermaksud bahawa, mengetahui akar trinomial dalam bentuk yang sudah ada, pemfaktorannya dapat dinyatakan dengan mudah, dan seperti yang telah disebutkan di atas, akar ini selalu dapat ditentukan dengan menggunakan pelarut.

Walau bagaimanapun, terdapat sejumlah besar trinomial jenis ini yang boleh difaktorkan tanpa mengetahui akarnya terlebih dahulu, yang mempermudah kerja.

Akarnya dapat ditentukan secara langsung dari pemfaktoran tanpa menggunakan formula pelarut; ini adalah polinomial bentuk x ² + (a + b) x + ab. Dalam kes ini kita mempunyai:

x ² + (a + b) x + ab = x ² + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

Dari ini dapat dilihat bahawa akarnya adalah –a dan –b.

Dengan kata lain, diberi trinomial x ² + bx + c, jika terdapat dua nombor u dan v sehingga c = uv dan b = u + v, maka x ² + bx + c = (x + u) (x + v).

Maksudnya, diberi trinomial x ² + bx + c, pertama ia disahkan jika ada dua nombor yang berlipat ganda sehingga mereka memberi istilah bebas (c) dan ditambahkan (atau dikurangkan, bergantung pada kasusnya), mereka memberikan istilah yang menyertai x ( b).

Tidak dengan semua trinomial dengan cara ini kaedah ini dapat digunakan; di mana tidak mungkin, resolusi digunakan dan yang disebutkan di atas berlaku.

Contoh

Contoh 1

Untuk memfaktorkan trinomial x ² + 3x + 2 berikut, lakukan seperti berikut:

Anda mesti mencari dua nombor sehingga apabila menambahkannya hasilnya adalah 3, dan ketika mengalikannya, hasilnya adalah 2.

Setelah membuat pemeriksaan dapat disimpulkan bahawa nombor yang dicari adalah: 2 dan 1. Oleh itu, x ² + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Contoh 2

Untuk memfaktorkan trinomial x ² -5x + 6, kami mencari dua nombor yang jumlahnya adalah -5 dan produknya adalah 6. Nombor yang memenuhi kedua-dua syarat ini adalah -3 dan -2. Oleh itu, pemfaktoran trinomial yang diberikan adalah x ² -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Rujukan

1. Fuentes, A. (2016). MATEMATIK ASAS. Pengenalan Kalkulus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematik: persamaan kuadratik: Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadratik. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik untuk pengurusan dan ekonomi. Pendidikan Pearson.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Ambang.
5. Preciado, CT (2005). Kursus Matematik ke-3. Progreso Editorial.
6. Rock, NM (2006). Algebra Saya Mudah! Begitu mudah. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra dan Trigonometri. Pendidikan Pearson.