A fungsi surjective adalah apa-apa hubungan di mana setiap elemen yang dimiliki oleh codomain adalah imej sekurang-kurangnya satu elemen domain. Juga dikenal sebagai fungsi sampul surat , mereka adalah bagian dari klasifikasi fungsi sehubungan dengan cara elemen-elemennya berkaitan.

Contohnya fungsi F: A → B yang ditentukan oleh F (x) = 2x

Yang dibaca " F yang pergi dari A ke B ditakrifkan oleh F (x) = 2x"

Anda harus menentukan set permulaan dan penamat A dan B.

J: {1, 2, 3, 4, 5} Sekarang nilai atau gambar yang akan dihasilkan oleh setiap elemen ini ketika dinilai dalam F akan menjadi elemen codomain.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Oleh itu membentuk set B: {2, 4, 6, 8, 10}

Maka dapat disimpulkan bahawa:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} yang ditentukan oleh F (x) = 2x Ia adalah fungsi kata sifat

Setiap elemen codomain mesti dihasilkan dari sekurang-kurangnya satu operasi pemboleh ubah bebas melalui fungsi yang dimaksudkan. Tidak ada batasan gambar, elemen codomain boleh menjadi gambar lebih dari satu elemen domain dan masih mencuba fungsi kata sifat .

Dalam gambar 2 contoh dengan fungsi kata ganti ditunjukkan .

Sumber: Pengarang

Pada yang pertama, diperhatikan bahawa gambar dapat dirujuk ke elemen yang sama, tanpa menjejaskan kejutan fungsi.

Pada detik kita melihat pembahagian yang adil antara domain dan gambar. Ini menimbulkan fungsi bijektif , di mana kriteria fungsi suntikan dan fungsi kata sifat mesti dipenuhi .

Kaedah lain untuk mengenal pasti fungsi kata ganti adalah untuk mengesahkan sama ada codomain sama dengan peringkat fungsi. Ini bermaksud bahawa jika set kedatangan adalah sama dengan gambar yang disediakan oleh fungsi ketika menilai pemboleh ubah bebas, fungsi tersebut bersifat menduga.

Hartanah

Untuk mempertimbangkan fungsi yang bersifat mendasar , berikut mesti dipenuhi:

Biarkan F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Ini adalah cara aljabar untuk menetapkan bahawa untuk setiap "b" yang termasuk dalam C _f ada "a" milik D _f sehingga fungsi F yang dinilai pada "a" sama dengan "b".

Surjectivity adalah keanehan fungsi, di mana codomain dan range serupa. Oleh itu, elemen yang dinilai dalam fungsi membentuk set kedatangan.

Penyaman fungsi

Kadang-kadang fungsi yang tidak bersifat surjektif boleh dikenakan syarat-syarat tertentu. Keadaan baru ini dapat menjadikannya fungsi kata sifat.

Semua jenis pengubahsuaian pada domain dan codomain fungsi berlaku, di mana tujuannya adalah untuk memenuhi sifat-sifat kejutan dalam hubungan yang sesuai.

Contoh: latihan yang diselesaikan

Untuk memenuhi syarat keberanian , teknik pengkondisian yang berbeza mesti diterapkan, ini untuk memastikan bahawa setiap elemen codomain berada dalam kumpulan gambar fungsi tersebut.

Latihan 1

• Biarkan fungsi F: R → R ditakrifkan oleh garis F (x) = 8 - x

J:

Sumber: pengarang

Dalam kes ini, fungsi menerangkan garis berterusan, yang merangkumi semua nombor nyata dalam domain dan julatnya. Oleh kerana julat fungsi R _f sama dengan codomain R maka dapat disimpulkan bahawa:

F: R → R ditakrifkan oleh garis F (x) = 8 - x adalah fungsi kata sifat.

Ini berlaku untuk semua fungsi linier (Fungsi yang tahap tertinggi pemboleh ubahnya adalah satu).

Latihan 2

• Kaji fungsi F: R → R yang ditakrifkan oleh F (x) = x ² : Tentukan apakah itu adalah fungsi kata sifat . Sekiranya tidak, tunjukkan syarat-syarat yang diperlukan untuk menjadikannya tidak masuk akal.

Sumber: pengarang

Perkara pertama yang perlu diperhatikan adalah codomain F , yang terdiri dari bilangan nyata R. Tidak ada cara untuk fungsi tersebut menghasilkan nilai negatif, yang tidak termasuk real negatif dari gambar yang mungkin.

Mengatur codomain ke selang masa. Hal ini dielakkan untuk membiarkan unsur-unsur kodomain tidak berkaitan melalui F.

Gambar diulang untuk pasangan elemen pemboleh ubah bebas, seperti x = 1 dan x = - 1. Tetapi ini hanya mempengaruhi suntikan fungsi, bukan menjadi masalah untuk kajian ini.

Dengan cara ini dapat disimpulkan bahawa:

F: R → . Selang ini mesti menetapkan codomain untuk mencapai kejelasan fungsi.

F: R → ditakrifkan oleh F (x) = Sen (x) Ia adalah fungsi kata sifat

F: R → ditakrifkan oleh F (x) = Cos (x) Ia adalah fungsi kata sifat

Latihan 4

• Kaji fungsinya

F :) .push ({});

Sumber: Pengarang

Fungsi F (x) = ± √x mempunyai kekhususan bahawa ia menentukan 2 pemboleh ubah bersandar pada setiap nilai "x". Maksudnya, julat menerima 2 elemen untuk setiap elemen yang dibuat dalam domain. Nilai positif dan negatif mesti disahkan untuk setiap nilai "x".

Ketika mengamati set awal, diperhatikan bahawa domain telah dibatasi, ini untuk mengelakkan ketidakpastian yang dihasilkan ketika menilai angka negatif dalam akar genap.

Semasa memeriksa julat fungsi, diperhatikan bahawa setiap nilai codomain termasuk dalam julat.

Dengan cara ini dapat disimpulkan bahawa:

F: [0, ∞ ) → R ditakrifkan oleh F (x) = ± √x Ia adalah fungsi kata sifat

Latihan 4

• Kaji fungsi F (x) = Ln x menunjukkan jika ia adalah fungsi kata sifat . Tetapkan set ketibaan dan keberangkatan agar sesuai dengan kriteria keterpaksaan.

Sumber: Pengarang

Seperti yang ditunjukkan dalam grafik, fungsi F (x) = Ln x didefinisikan untuk nilai "x" lebih besar daripada sifar. Walaupun nilai "dan" atau gambar dapat mengambil nilai nyata.

Dengan cara ini kita dapat mengehadkan domain F (x) = ke selang waktu (0, ∞ )

Selagi julat fungsi dapat disimpan sebagai set nombor nyata R.

Dengan mempertimbangkan hal ini, dapat disimpulkan bahawa:

F: [0, ∞ ) → R ditakrifkan oleh F (x) = Ln x Ia adalah fungsi kata sifat

Latihan 5

• Kaji fungsi nilai mutlak F (x) = - x - dan tentukan set ketibaan dan keberangkatan yang memenuhi kriteria kejutan.

Sumber: Pengarang

Domain fungsi dipenuhi untuk semua nombor nyata R. Dengan cara ini, satu-satunya pengkondisian mesti dilakukan dalam codomain, dengan mengambil kira bahawa fungsi nilai mutlak hanya mengambil nilai positif.

Kami meneruskan untuk menetapkan codomain fungsi yang sama dengan peringkat yang sama

[0, ∞ )

Sekarang dapat disimpulkan bahawa:

F: [0, ∞ ) → R ditakrifkan oleh F (x) = - x - Ini adalah fungsi kata sifat

Latihan yang dicadangkan

1. Periksa sama ada fungsi berikut menduga:

• F: (0, ∞ ) → R ditentukan oleh F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R ditakrifkan oleh F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ) ditakrifkan oleh F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R ditentukan oleh F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R ditakrifkan oleh F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R ditentukan oleh F (x) = 1 / x

Rujukan

1. Pengenalan Logik dan Pemikiran Kritikal. Merrilee H. Salmon. Universiti Pittsburgh
2. Masalah dalam Analisis Matematik. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universiti Wroclaw. Poland.
3. Elemen Analisis Abstrak. Mícheál O'Searcoid PhD. Jabatan matematik. Kolej universiti Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Pengenalan Logik dan Metodologi Sains Deduktif. Alfred Tarski, New York Oxford. Akhbar Universiti Oxford.
5. Prinsip analisis matematik. Enrique Linés Escardó. Editor Reverté A. A 1991. Barcelona Sepanyol.