NOMBOR TRANSENDEN: APAKAH ITU, FORMULA, CONTOH, LATIHAN - MATEMATIK - 2025

Yang nombor transenden adalah mereka yang tidak boleh dapat diperolehi sebagai satu hasil daripada persamaan polinomial. Sebaliknya dari nombor transenden adalah nombor algebra, yang merupakan penyelesaian persamaan polinomial jenis:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Iaitu pekali a _n , yang _n-1 , … .. a ₂ , a ₁ , a ₀ adalah nombor nisbah, yang dipanggil pekali polinomial. Sekiranya nombor x adalah penyelesaian untuk persamaan sebelumnya, maka nombor itu tidak transenden.

Rajah 1. Dua nombor yang sangat penting dalam sains adalah nombor transenden. Sumber: publicdomainpictures.net.

Kami akan menganalisis beberapa nombor dan melihat sama ada nombor transenden atau tidak:

a) 3 tidak transenden kerana ia adalah penyelesaian x - 3 = 0.

b) -2 tidak boleh transenden kerana ia adalah penyelesaian x + 2 = 0.

c) ⅓ ialah penyelesaian 3x - 1 = 0

d) Penyelesaian persamaan x ² - 2x + 1 = 0 ialah √2 -1, supaya nombor mengikut definisi tidak transenden.

e) Tidak satu pun √2 kerana ia adalah hasil persamaan x ² - 2 = 0. Kuadrat √2 memberikan hasil 2, yang ditolak dari 2 sama dengan sifar. Jadi √2 adalah nombor yang tidak rasional tetapi tidak transenden.

Apakah nombor transenden?

Masalahnya adalah bahawa tidak ada peraturan umum untuk mendapatkannya (kita akan mengatakannya kemudian), tetapi beberapa yang paling terkenal adalah nombor pi dan nombor Neper, masing-masing dilambangkan dengan: π dan e.

Nombor π

Nombor π muncul secara semula jadi dengan memerhatikan bahawa hasil matematik antara perimeter P bulatan dan diameternya D, tidak kira sama ada lingkaran kecil atau besar, selalu memberikan nombor yang sama, yang disebut pi:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

Ini bermaksud bahawa jika diameter lilitan diambil sebagai unit pengukuran, untuk semuanya, besar atau kecil, perimeter akan selalu P = 3.14… = π, seperti yang dapat dilihat dalam animasi pada gambar 2.

Rajah 2. Panjang perimeter bulatan adalah pi kali panjang diameter, dengan pi kira-kira 3.1416.

Untuk menentukan lebih banyak perpuluhan, perlu mengukur P dan D dengan ketepatan yang lebih besar dan kemudian mengira hasilnya, yang telah dilakukan secara matematik. Kesimpulannya adalah bahawa perpuluhan bagi hasil tidak mempunyai akhir dan tidak pernah mengulanginya sendiri, jadi angka π selain transenden juga tidak rasional.

Nombor tidak rasional adalah nombor yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembahagian dua nombor bulat.

Telah diketahui bahawa setiap nombor transenden tidak rasional, tetapi tidak benar bahawa semua nombor tidak rasional adalah transenden. Contohnya √2 tidak rasional, tetapi tidak transenden.

Rajah 3. Nombor transenden tidak rasional, tetapi sebaliknya adalah tidak benar.

Nombor e

Nombor transenden e adalah asas logaritma semula jadi dan anggaran perpuluhannya adalah:

dan ≈ 2.718281828459045235360….

Sekiranya anda ingin menuliskan nombor e dengan tepat, perlu menuliskan perpuluhan yang tidak terbatas, kerana setiap nombor transenden tidak rasional, seperti yang dikatakan sebelumnya.

Sepuluh digit pertama e mudah diingat:

2,7 1828 1828 dan walaupun sepertinya mengikuti pola berulang, ini tidak dapat dicapai dalam perpuluhan tertib lebih besar daripada sembilan.

Definisi e yang lebih formal adalah seperti berikut:

Ini bermaksud bahawa nilai tepat e diperoleh dengan melakukan operasi yang ditunjukkan dalam formula ini, ketika bilangan semula jadi n cenderung hingga tak terhingga.

Ini menjelaskan mengapa kita hanya dapat memperoleh perkiraan e, kerana tidak kira seberapa besar bilangan n ditempatkan, n yang lebih besar selalu dapat dijumpai.

Mari cari sendiri beberapa pendekatan:

-Ketika n = 100 maka (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 yang hampir tidak bertepatan dalam perpuluhan pertama dengan nilai "benar" e.

-Jika anda memilih n = 10,000, anda mempunyai (1 + 1 / 10,000) ^10,000 = 2,71815, yang bertepatan dengan nilai "tepat" e di tiga tempat perpuluhan pertama.

Proses ini harus diikuti tanpa batas untuk mendapatkan nilai "benar" dari e. Saya tidak fikir kita mempunyai masa untuk melakukannya, tetapi mari kita mencuba sekali lagi:

Mari gunakan n = 100,000:

(1 + 1 / 100,000) ^100,000 = 2.7182682372

Yang hanya mempunyai empat tempat perpuluhan yang sepadan dengan nilai yang dianggap tepat.

Yang penting adalah untuk memahami bahawa semakin tinggi nilai n yang dipilih untuk mengira e _n , semakin dekat dengan nilai yang sebenarnya. Tetapi nilai sebenarnya hanya akan ada apabila n tidak terhingga.

Gambar 4. Ini ditunjukkan secara grafik bagaimana semakin tinggi nilai n, semakin dekat dengan e, tetapi untuk mencapai nilai tepat n mesti tidak terbatas.

Nombor penting lain

Selain nombor terkenal ini ada nombor transenden lain, misalnya:

- 2 ^√2

-Nombor Champernowne di pangkalan 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Nombor Champernowne di pangkalan 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

-Nama Gamma γ atau pemalar Euler-Mascheroni:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Yang diperoleh dengan melakukan pengiraan berikut:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Sebab ketika n sangat besar. Untuk mempunyai nilai tepat nombor Gamma, perlu dilakukan pengiraan dengan n tak terhingga. Sesuatu yang serupa dengan yang kami lakukan di atas.

Dan ada banyak lagi nombor transenden. Ahli matematik hebat Georg Cantor, dilahirkan di Rusia dan tinggal antara tahun 1845 hingga 1918, menunjukkan bahawa set nombor transenden jauh lebih besar daripada set nombor algebra.

Rumus di mana nombor transenden π muncul

Perimeter lilitan

P = π D = 2 π R, di mana P adalah perimeter, D diameter, dan R jejari lilitan. Perlu diingat bahawa:

-Diameter lilitan adalah segmen terpanjang yang bergabung dengan dua titik yang sama dan yang selalu melewati pusatnya,

-Radius adalah separuh diameter dan merupakan segmen yang bergerak dari pusat ke tepi.

Luas bulatan

A = π R ² = ¼ π D ²

Permukaan sfera

S = 4 π R ^2.

Ya. Walaupun tidak seperti itu, permukaan sfera sama dengan empat bulatan dengan jejari yang sama dengan sfera.

Isipadu sfera

V = 4/3 π R ³

Latihan

- Latihan 1

Pizzeria "EXÓTICA" menjual pizza tiga diameter: kecil 30 cm, sederhana 37 cm dan besar 45 cm. Seorang kanak-kanak sangat lapar dan menyedari bahawa dua pizza kecil berharga sama dengan satu pizza besar. Apa yang lebih baik baginya, untuk membeli dua pizza kecil atau satu yang besar?

Gambar 5.- Luas pizza berkadaran dengan kuadrat jejari, pi menjadi pemalar berkadar. Sumber: Pixabay.

Penyelesaian

Semakin besar luasnya, semakin besar jumlah pizza, untuk alasan ini luas pizza besar akan dihitung dan dibandingkan dengan dua pizza kecil:

Luas pizza besar = ¼ π D ² = ¼3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Luas pizza kecil = ¼ π d ² = ¼3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

Oleh itu, dua pizza kecil akan mempunyai luas

2 x 706.86 = 1413.72 cm ² .

Sudah jelas: anda akan mempunyai lebih banyak pizza untuk membeli sebiji besar daripada dua yang kecil.

- Latihan 2

Pizzeria "EXÓTICA" juga menjual pizza belahan dengan radius 30 cm dengan harga yang sama dengan segi empat tepat berukuran 30 x 40 cm di setiap sisi. Mana yang anda pilih?

Rajah 6.- Permukaan hemisfera adalah dua kali permukaan bulat dari pangkal. Sumber: F. Zapata.

Penyelesaian

Seperti yang telah disebutkan di bagian sebelumnya, permukaan bola adalah empat kali dari lingkaran dengan diameter yang sama, jadi diameter belahan 30 cm akan memiliki:

Pizza hemisfera 30 cm: 1413.72 cm ² (dua kali bulat dengan diameter yang sama)

Pizza segi empat tepat: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Pizza hemisfera mempunyai kawasan yang lebih besar.

Rujukan

1. Fernández J. Nombor e. Asal dan rasa ingin tahu. Dipulihkan dari: soymatematicas.com
2. Nikmati matematik. Nombor Euler. Dipulihkan dari: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematik 1st. Mempelbagaikan. Edisi CO-BO.
4. García, M. Nombor e dalam kalkulus asas. Dipulihkan dari: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. Nombor PI. Dipulihkan dari: wikipedia.com
6. Wikipedia. Nombor transenden. Dipulihkan dari: wikipedia.com