The Green 's teorem adalah kaedah pengiraan yang digunakan untuk kamiran garis sambung kamiran ganda dua atau kawasan permukaan. Fungsi yang terlibat mesti dilambangkan sebagai medan vektor dan ditakrifkan dalam jalan C.
Sebagai contoh, ungkapan integral garis sangat sukar untuk diselesaikan; namun dengan menerapkan teorema Green, integrasi berganda menjadi sangat asas. Selalu penting untuk menghormati arah positif lintasan, ini merujuk kepada arah lawan jam.
Teorema Green adalah kes tertentu dari teorema Stokes, di mana unjuran fungsi vektor dilakukan dalam satah xy.
Definisi
Ungkapan Teorema Green adalah seperti berikut:
Istilah pertama menunjukkan garis integral yang ditentukan oleh jalan "C", dari produk skalar antara fungsi vektor "F" dan vektor "r".
C: Ini adalah jalan yang ditentukan di mana fungsi vektor akan diproyeksikan selagi ditentukan untuk satah itu.
F: Fungsi vektor, di mana setiap komponennya ditentukan oleh fungsi seperti itu (f, g).
r: Ini adalah tangen vektor ke rantau R di mana kamiran ditentukan. Dalam kes ini, kita beroperasi dengan pembezaan vektor ini.
Pada istilah kedua kita melihat teorema Green berkembang, di mana integral berganda yang ditentukan di rantau R perbezaan turunan separa g dan f diperhatikan, masing-masing berkenaan dengan x dan y. Dengan pembezaan kawasan yang tidak lebih dari produk kedua-dua perbezaan dua dimensi (dx.dy).
Teorema ini sangat sesuai untuk perpaduan ruang dan permukaan.
Demonstrasi
Untuk membuktikan teorema Green dengan cara yang mudah, tugas ini akan dibahagikan kepada 2 bahagian. Pertama sekali, kita akan menganggap bahawa fungsi vektor F hanya mempunyai definisi dalam versor i. Manakala fungsi "g" yang sepadan dengan versor j akan sama dengan sifar.
Pengarang
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Mula-mula kita mengembangkan garis integral di atas jalur C, yang mana jalan telah dikategorikan menjadi 2 bahagian yang pertama dari a ke b dan kemudian dari b ke a.
Definisi teorem asas kalkulus digunakan untuk kamiran yang pasti.
Ungkapan disusun kembali menjadi satu integral, yang negatif dijadikan faktor umum, dan urutan faktor dibalikkan.
Ketika memerhatikan ungkapan ini secara terperinci, menjadi jelas bahawa ketika menerapkan kriteria fungsi primitif, kita berada di hadapan integral ungkapan yang berasal dari f sehubungan dengan y. Dinilai dalam parameter
Sekarang sudah cukup untuk menganggap bahawa fungsi vektor F ditakrifkan hanya untuk g (x, y) j . Apabila beroperasi dengan cara yang serupa dengan kes sebelumnya, perkara berikut diperoleh:
Untuk menyelesaikan, 2 bukti diambil dan bergabung dalam kes di mana fungsi vektor mengambil nilai untuk kedua-dua versore. Dengan cara ini, ditunjukkan bagaimana garis integral setelah ditakrifkan dan dianggap sebagai lintasan satu dimensi, dapat dikembangkan sepenuhnya untuk satah dan ruang.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Dengan cara ini, teorema Green dibuktikan.
Permohonan
Aplikasi teorema Green adalah luas dalam cabang fizik dan matematik. Ini meliputi semua aplikasi atau penggunaan yang dapat diberikan untuk integrasi baris.
Kerja mekanik yang dilakukan oleh gaya F melalui jalur C, dapat dikembangkan oleh garis integral yang dinyatakan sebagai penggabungan ganda suatu kawasan oleh teorema Green.
Momen inersia banyak badan yang dikenakan daya luaran pada titik aplikasi yang berbeza juga bertindak balas terhadap integrasi garis yang dapat dikembangkan dengan teorem Green.
Ini mempunyai pelbagai fungsi dalam kajian ketahanan terhadap bahan yang digunakan. Di mana nilai luaran dapat dihitung dan dipertimbangkan sebelum pengembangan pelbagai elemen.
Secara umum, teorema Green memudahkan pemahaman dan definisi kawasan di mana fungsi vektor didefinisikan berkenaan dengan wilayah di sepanjang jalan.
Sejarah
Ia diterbitkan pada tahun 1828 dalam karya Analisis matematik untuk teori elektrik dan magnet, yang ditulis oleh ahli matematik Britain George Green. Di dalamnya, bahagian-bahagian yang sangat menentukan dalam penerapan kalkulus dalam fizik diterokai, seperti konsep fungsi potensial, fungsi Green dan penerapan teoremnya yang bertajuk sendiri.
George Green memformalkan kerjaya pelajarnya pada usia 40 tahun, sehingga kini menjadi ahli matematik yang mengajar diri. Setelah belajar di University of Cambridge, dia melanjutkan penyelidikannya, memberikan sumbangan dalam bidang akustik, optik dan hidrodinamik yang masih berlaku hingga kini.
Hubungan dengan teorema lain
Teorema Green adalah kes khas, dan timbul dari 2 teorema lain yang sangat penting dalam bidang kalkulus. Ini adalah teorema Kelvin-Stokes dan teorema perbezaan atau Gauss Ostrogradski.
Bermula dari salah satu daripada dua teorema, seseorang boleh sampai di teorema Green. Definisi dan cadangan tertentu diperlukan untuk mengembangkan bukti tersebut.
Latihan
- Latihan berikut menunjukkan cara mengubah integral garis menjadi integral berganda berkenaan dengan kawasan R.
Ungkapan asalnya adalah seperti berikut:
Dari mana fungsi dan af yang sesuai diambil
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Tidak ada satu cara untuk menentukan had integrasi ketika menerapkan teorema Green. Tetapi ada cara-cara di mana gabungan selepas ditakrifkan dapat lebih mudah. Oleh itu, pengoptimuman had integrasi perlu diberi perhatian.
Di mana ketika menyelesaikan integrasi kita memperoleh:
Nilai ini sepadan dalam unit kubik ke kawasan di bawah fungsi vektor dan di atas kawasan segitiga yang ditentukan oleh C.
Dalam hal garis integral tanpa melakukan metode Green, diperlukan parameterisasi fungsi di setiap bagian wilayah. Maksudnya, lakukan 3 integral parameter untuk resolusi. Ini adalah bukti yang cukup mengenai kecekapan yang dibawa oleh Robert Green dengan teorinya kepada kalkulus.
Rujukan
- Pengenalan kepada Mekanik Continuum. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 Jul. 2009
- Kalkulus Berbilang. James Stewart. Pembelajaran Cengage, 22 Mac 2011
- Sejarah Tidak formal Teorema Hijau dan Idea Berkaitan. James Joseph Salib. Jabatan Matematik, Universiti Melbourne, 1975
- Pengaliran Haba Menggunakan Fungsi Hijau. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16 Jul 2010
- Penerapan Teorema Hijau untuk Memperluas Integrasi Linear. Pusat Maklumat Teknikal Pertahanan, 1961