- Formula
- Ciri-ciri taburan normal
- Selang keyakinan
- Aplikasi pengedaran normal
- Contohnya
- Latihan diselesaikan
- Rujukan
The taburan normal atau pengedaran Gaussian adalah taburan kebarangkalian dalam pembolehubah berterusan, di mana fungsi ketumpatan kebarangkalian digambarkan oleh fungsi eksponen hujah kuadratik dan negatif, yang menimbulkan bentuk loceng.
Nama taburan normal berasal dari kenyataan bahawa pengedaran ini adalah yang berlaku untuk sebilangan besar keadaan di mana beberapa pemboleh ubah rawak berterusan terlibat dalam kumpulan atau populasi tertentu.
Rajah 1. Taburan normal N (x; μ, σ) dan ketumpatan kebarangkaliannya f (s; μ, σ). (Penjelasan sendiri)
Contoh di mana taburan normal digunakan adalah: ketinggian lelaki atau wanita, variasi ukuran beberapa ukuran fizikal atau sifat psikologi atau sosiologi yang dapat diukur seperti kecerdasan intelektual atau tabiat penggunaan produk tertentu.
Sebaliknya, ia dipanggil sebaran Gauss atau loceng Gaussian, kerana genius matematik Jerman inilah yang dikreditkan dengan penemuannya untuk penggunaan yang dia berikan untuk menerangkan kesalahan statistik pengukuran astronomi pada tahun 1800.
Namun, dinyatakan bahawa sebaran statistik ini sebelumnya diterbitkan oleh ahli matematik hebat lain yang berasal dari Perancis, seperti Abraham de Moivre, pada tahun 1733.
Formula
Fungsi taburan normal dalam pemboleh ubah berterusan x, dengan parameter μ dan σ, dilambangkan dengan:
N (x; μ, σ)
dan ditulis secara eksplisit seperti ini:
N (x; μ, σ) = ∫ -∞ x f (s; μ, σ) ds
di mana f (u; μ, σ) adalah fungsi ketumpatan kebarangkalian:
f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) Exp (- s 2 / (2σ 2 ))
Pemalar yang menggandakan fungsi eksponensial dalam fungsi ketumpatan kebarangkalian disebut pemalar normalisasi, dan ia telah dipilih sedemikian rupa sehingga:
N (+ ∞, μ, σ) = 1
Ungkapan sebelumnya memastikan bahawa kebarangkalian bahawa pemboleh ubah rawak x berada di antara -∞ dan + ∞ adalah 1, iaitu, kemungkinan 100%.
Parameter μ adalah min aritmetik bagi pemboleh ubah rawak berterusan x dan σ sisihan piawai atau punca kuasa dua varians pemboleh ubah yang sama. Sekiranya µ = 0 dan σ = 1 maka kita mempunyai taburan normal standard atau taburan normal biasa:
N (x; μ = 0, σ = 1)
Ciri-ciri taburan normal
1- Sekiranya pemboleh ubah statistik rawak mengikuti taburan normal ketumpatan kebarangkalian f (s; μ, σ), kebanyakan data dikelompokkan di sekitar nilai min μ dan tersebar di sekitarnya sedemikian rupa sehingga sedikit lebih banyak daripada ⅔ data adalah antara μ - σ dan μ + σ.
2- Sisihan piawai σ selalu positif.
3- Bentuk fungsi ketumpatan f mirip dengan loceng, sebab itulah fungsi ini sering disebut loceng Gaussian atau fungsi Gaussian.
4- Dalam sebaran Gauss, rata-rata, median dan mod bertepatan.
5- Titik belokan fungsi ketumpatan kebarangkalian tepat pada μ - σ dan μ + σ.
6- Fungsi f adalah simetri mengenai paksi yang melewati nilai minnya μ dan mempunyai sifar sifar untuk x ⟶ + ∞ dan x ⟶ -∞.
7- Semakin tinggi nilai σ, semakin besar penyebaran, kebisingan atau jarak data di sekitar nilai min. Dengan kata lain, semakin tinggi bentuk loceng σ lebih terbuka. Sebaliknya, σ small menunjukkan bahawa dadu hampir dengan nilai rata dan bentuk loceng lebih tertutup atau runcing.
8- Fungsi taburan N (x; μ, σ) menunjukkan kebarangkalian bahawa pemboleh ubah rawak kurang dari atau sama dengan x. Sebagai contoh, dalam Rajah 1 (di atas) kebarangkalian P bahawa pemboleh ubah x kurang daripada atau sama dengan 1.5 adalah 84% dan sesuai dengan kawasan di bawah fungsi ketumpatan kebarangkalian f (x; μ, σ) dari -∞ hingga x.
Selang keyakinan
9- Jika data mengikuti taburan normal, maka 68,26% di antaranya adalah antara μ - σ dan μ + σ.
10- 95.44% data yang mengikuti taburan normal adalah antara μ - 2σ dan μ + 2σ.
11- 99.74% data yang mengikuti taburan normal adalah antara μ - 3σ dan μ + 3σ.
12- Sekiranya pemboleh ubah rawak x mengikuti taburan N (x; μ, σ), maka pemboleh ubahnya
z = (x - μ) / σ mengikuti taburan normal standard N (z; 0.1).
Mengubah pemboleh ubah x ke z disebut standardisasi atau menaip dan sangat berguna ketika menerapkan jadual taburan standard ke data yang mengikuti taburan normal yang tidak standard.
Aplikasi pengedaran normal
Untuk menggunakan taburan normal, perlu dilakukan pengiraan integral ketumpatan kebarangkalian, yang dari sudut analisis tidak mudah dan tidak selalu ada program komputer yang memungkinkan pengiraan berangka. Untuk tujuan ini, jadual nilai dinormalisasi atau standard digunakan, yang tidak lebih daripada taburan normal dalam μ = 0 dan σ = 1.
Jadual taburan normal standard (bahagian 1/2)
Jadual taburan normal standard (bahagian 2/2)
Harus diingat bahawa jadual ini tidak termasuk nilai negatif. Walau bagaimanapun, dengan menggunakan sifat simetri fungsi ketumpatan kebarangkalian Gauss, nilai yang sesuai dapat diperoleh. Latihan yang diselesaikan di bawah menunjukkan penggunaan jadual dalam kes-kes ini.
Contohnya
Katakan anda mempunyai satu set data rawak x yang mengikuti taburan normal min 10 dan sisihan piawai 2. Anda diminta untuk mencari kebarangkalian bahawa:
a) Pemboleh ubah rawak x kurang daripada atau sama dengan 8.
b) Kurang daripada atau sama dengan 10.
c) Bahawa pemboleh ubah x berada di bawah 12.
d) Kebarangkalian nilai-x adalah antara 8 dan 12.
Penyelesaian:
a) Untuk menjawab soalan pertama, anda hanya perlu mengira:
N (x; μ, σ)
Dengan x = 8, μ = 10 dan σ = 2. Kami menyedari bahawa itu adalah integral yang tidak memiliki penyelesaian analitik dalam fungsi dasar, tetapi penyelesaiannya dinyatakan sebagai fungsi fungsi kesalahan erf (x).
Sebaliknya, ada kemungkinan menyelesaikan kamiran dalam bentuk angka, seperti yang dilakukan oleh banyak kalkulator, spreadsheet dan program komputer seperti GeoGebra. Gambar berikut menunjukkan penyelesaian berangka yang sesuai dengan kes pertama:
Rajah 2. Ketumpatan kebarangkalian f (x; μ, σ). Kawasan berlorek mewakili P (x ≤ 8). (Penjelasan sendiri)
dan jawapannya ialah kebarangkalian x berada di bawah 8 adalah:
P (x ≤ 8) = N (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0.1587
b) Dalam kes ini, tujuannya adalah untuk mencari kebarangkalian bahawa pemboleh ubah rawak x berada di bawah rata-rata, yang dalam kes ini bernilai 10. Jawapannya tidak memerlukan pengiraan, kerana kita tahu bahawa separuh data berada di bawah purata dan separuh lagi di atas purata. Oleh itu, jawapannya adalah:
P (x ≤ 10) = N (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0.5
c) Untuk menjawab soalan ini, kita mesti mengira N (x = 12; μ = 10, σ = 2), yang dapat dilakukan dengan kalkulator yang mempunyai fungsi statistik atau melalui perisian seperti GeoGebra:
Rajah 3. Ketumpatan kebarangkalian f (x; μ, σ). Kawasan berlorek mewakili P (x ≤ 12). (Penjelasan sendiri)
Jawapan untuk bahagian c dapat dilihat pada gambar 3 dan adalah:
P (x ≤ 12) = N (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0.8413.
d) Untuk mencari kebarangkalian bahawa pemboleh ubah rawak x adalah antara 8 dan 12 kita dapat menggunakan hasil bahagian a dan c seperti berikut:
P (8 ≤ x ≤ 12) = P (x ≤ 12) - P (x ≤ 8) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 = 68.26%.
Latihan diselesaikan
Harga purata saham syarikat adalah $ 25 dengan sisihan piawai $ 4. Tentukan kebarangkalian bahawa:
a) Tindakan mempunyai kos kurang dari $ 20.
b) Kosnya lebih besar daripada $ 30.
c) Harganya antara $ 20 hingga $ 30.
Gunakan jadual taburan normal standard untuk mencari jawapannya.
Penyelesaian:
Untuk menggunakan jadual, perlu meneruskan ke pemboleh ubah z yang dinormalisasi atau ditaip:
$ 20 dalam pembolehubah dinormalisasi sama dengan z = ($ 20 - $ 25) / $ 4 = -5/4 = -1.25 dan
$ 30 dalam pembolehubah dinormalisasi sama dengan z = ($ 30 - $ 25) / $ 4 = +5/4 = +1.25.
a) $ 20 sama dengan -1.25 dalam pemboleh ubah dinormalisasi, tetapi jadual tidak mempunyai nilai negatif, jadi kami meletakkan nilai +1.25 yang menghasilkan nilai 0.8944.
Sekiranya 0,5 dikurangkan dari nilai ini, hasilnya adalah luas antara 0 dan 1,25 yang, dengan cara, sama (dengan simetri) dengan luas antara -1,25 dan 0. Hasil pengurangan adalah 0,8944 - 0.5 = 0.3944 yang merupakan luas antara -1.25 dan 0.
Tetapi kawasan dari -∞ hingga -1.25 menarik, yang akan menjadi 0.5 - 0.3944 = 0.1056. Oleh itu, disimpulkan bahawa kebarangkalian saham di bawah $ 20 adalah 10.56%.
b) $ 30 dalam pemboleh ubah yang ditaip z ialah 1.25. Untuk nilai ini, jadual menunjukkan nombor 0.8944, yang sesuai dengan luas dari -∞ hingga +1.25. Luas antara +1.25 dan + ∞ adalah (1 - 0.8944) = 0.1056. Dengan kata lain, kebarangkalian saham berharga lebih dari $ 30 adalah 10.56%.
c) Kebarangkalian tindakan mempunyai kos antara $ 20 dan $ 30 akan dikira seperti berikut:
100% -10.56% - 10.56% = 78.88%
Rujukan
- Statistik dan kebarangkalian. Taburan normal. Dipulihkan dari: projectdescartes.org
- Geogebra. Geogebra klasik, kalkulus kebarangkalian. Dipulihkan dari geogebra.org
- MathWorks. Pengedaran Gauss. Dipulihkan dari: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistik untuk Pengurusan dan Ekonomi. Ke-3. edisi. Pengarang Grupo Iberoamérica.
- Trek Stat. Ajar diri anda Statistik. Pembahagian Poisson. Dipulihkan dari: stattrek.com,
- Triola, M. 2012. Elemen Statistik. Ke-11. Ed. Pearson Pendidikan.
- Universiti Vigo. Pengedaran berterusan utama. Dipulihkan dari: anapg.webs.uvigo.es
- Wikipedia. Taburan normal. Dipulihkan dari: es.wikipedia.org