NOMBOR SEBENAR: SEJARAH, CONTOH, SIFAT, OPERASI - MATEMATIK - 2026

Yang nombor nyata membentuk set berangka yang termasuk nombor asli, integer, rasional dan tidak rasional. Mereka dilambangkan dengan simbol ℝ atau hanya R dan ruang lingkupnya dalam sains, kejuruteraan dan ekonomi sedemikian rupa sehingga ketika berbicara tentang "angka", hampir dipastikan bahawa ia adalah nombor nyata.

Angka sebenarnya telah digunakan sejak zaman kuno, walaupun mereka tidak diberi nama itu. Sejak Pythagoras mengembangkan teorinya yang terkenal, angka-angka muncul yang tidak dapat diperoleh sebagai pembahagi nombor semula jadi atau bilangan bulat.

Rajah 1. Gambarajah Venn menunjukkan bagaimana set nombor nyata mengandungi set nombor yang lain. Sumber> Wikimedia Commons.

Contoh nombor adalah √2, √3, dan π. Angka-angka ini disebut tidak rasional, bertentangan dengan nombor rasional, yang berasal dari rundingan nombor bulat. Oleh itu, diperlukan satu set angka yang merangkumi kedua kelas nombor.

Istilah "nombor nyata" diciptakan oleh ahli matematik hebat René Descartes (1596-1650), untuk membezakan antara dua jenis akar yang boleh timbul daripada menyelesaikan persamaan polinomial.

Sebahagian daripada akar ini boleh menjadi punca nombor negatif, Descartes menyebutnya "nombor khayalan" dan yang bukan, adalah nombor nyata.

Denominasi itu berlanjutan dari masa ke masa, menghasilkan dua set berangka besar: nombor nyata dan nombor kompleks, satu set lebih besar yang merangkumi nombor nyata, nombor khayalan, dan nombor yang sebahagian nyata dan sebahagian khayalan.

Evolusi nombor nyata meneruskan perjalanannya sehingga pada tahun 1872, ahli matematik Richard Dedekind (1831-1936) secara formal menentukan set nombor nyata melalui potongan Dedekind yang disebut. Sintesis karyanya diterbitkan dalam artikel yang melihat cahaya pada tahun yang sama.

Contoh nombor nyata

Jadual di bawah menunjukkan contoh nombor nyata. Set ini mempunyai subset nombor semula jadi, bilangan bulat, rasional dan tidak rasional. Sebilangan bilangan set ini, dengan sendirinya, adalah nombor nyata.

Oleh itu 0, negatif, positif, pecahan, dan perpuluhan adalah nombor nyata.

Rajah 2. Contoh nombor nyata adalah semula jadi, integer, rasional, tidak rasional, dan transenden. Sumber: F. Zapata.

Perwakilan nombor nyata pada garis nyata

Nombor nyata dapat ditunjukkan pada garis nyata R , seperti yang ditunjukkan dalam gambar. Tidak semestinya 0 selalu ada, namun lebih mudah untuk mengetahui bahawa real negatif berada di sebelah kiri dan positif di sebelah kanan. Itulah sebabnya ia menjadi titik rujukan yang sangat baik.

Pada garis nyata, skala diambil, di mana bilangan bulat dijumpai:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Anak panah menunjukkan bahawa garis meluas hingga tak terhingga. Tetapi itu tidak semua, dalam selang masa yang dipertimbangkan, kita juga akan selalu menemui bilangan nyata yang tidak terhingga.

Nombor sebenar ditunjukkan mengikut urutan. Sebagai permulaan, terdapat urutan bilangan bulat, di mana positif selalu lebih besar daripada 0, sedangkan negatifnya kurang.

Pesanan ini disimpan dalam nombor nyata. Ketidaksamaan berikut ditunjukkan sebagai contoh:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

Rajah 3.- Garisan sebenar. Sumber: Wikimedia Commons.

Sifat nombor nyata

-Nombor nyata merangkumi nombor semula jadi, nombor bulat, nombor rasional, dan nombor tidak rasional.

-Harga komutatif penambahan dipenuhi: susunan tambahan tidak mengubah jumlahnya. Sekiranya a dan b adalah dua nombor nyata, selalu benar bahawa:

a + b = b + a

-0 adalah unsur neutral dari jumlah: a + 0 = a

-Untuk jumlah harta persatuan dipenuhi. Sekiranya a, b dan c adalah nombor nyata: (a + b) + c = a + (b + c).

-Balikan nombor nyata dengan -a.

-Kurang ditakrifkan sebagai jumlah sebaliknya: a - b = a + (-b).

-Harga komutatif produk dipenuhi: urutan faktor tidak mengubah produk: ab = ba

-Dalam produk, harta bersekutu juga digunakan: (ab) .c = a. (Bc)

-1 adalah unsur neutral pendaraban: a.1 = a

-Harga pengagihan pendaraban berlaku berkenaan dengan penambahan: a. (b + c) = ab + ac

-Perbezaan dengan 0 tidak ditentukan.

-Setiap nombor nyata a, kecuali 0, mempunyai pembalikan darab ^-1 sehingga aa ^-1 = 1.

-Jika a adalah nombor nyata: ⁰ = 1 dan ¹ = a.

Nilai mutlak atau modulus nombor nyata adalah jarak antara nombor tersebut dan 0.

Operasi dengan nombor nyata

Dengan nombor nyata anda boleh melakukan operasi yang dilakukan dengan set nombor yang lain, termasuk penambahan, pengurangan, pendaraban, pembahagian, pemberdayaan, radikasi, logaritma dan banyak lagi.

Seperti biasa, pembahagian dengan 0 tidak didefinisikan, logaritma negatif nombor tidak juga 0, walaupun benar bahawa log 1 = 0 dan logaritma nombor antara 0 dan 1 adalah negatif.

Permohonan

Aplikasi nombor nyata untuk semua jenis situasi sangat bervariasi. Nombor nyata muncul sebagai jawapan kepada banyak masalah dalam sains tepat, sains komputer, kejuruteraan, ekonomi, dan sains sosial.

Semua jenis besaran dan ukuran seperti jarak, masa, daya, intensiti suara, wang dan banyak lagi, mempunyai ungkapan dalam bilangan nyata.

Penghantaran isyarat telefon, gambar dan suara video, suhu penghawa dingin, pemanas atau peti sejuk dapat dikendalikan secara digital, yang bermaksud mengubah kuantiti fizikal menjadi urutan berangka.

Perkara yang sama berlaku semasa membuat transaksi perbankan melalui Internet atau berunding dengan pesanan segera. Angka sebenarnya ada di mana-mana.

Latihan diselesaikan

Kita akan melihat dengan latihan bagaimana nombor ini berfungsi dalam situasi biasa yang kita hadapi setiap hari.

Latihan 1

Pejabat pos hanya menerima bungkusan yang panjangnya, ditambah ukuran lilitan, tidak melebihi 108 inci. Oleh itu, untuk pakej yang dipaparkan diterima, mesti dipenuhi bahawa:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Adakah bungkusan selebar 6 inci, tinggi 8 inci, dan panjang 5 kaki akan berjaya?

b) Bagaimana dengan ukuran 2 x 2 x 4 kaki ³ ?

c) Berapakah ketinggian tertinggi yang boleh diterima untuk pakej yang asasnya persegi dan berukuran 9 x 9 inci ² ?

Jawapan kepada

L = 5 kaki = 60 inci

x = 6 inci

y = 8 inci

Operasi yang perlu diselesaikan adalah:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) inci = 60 + 2 x 14 inci = 60 + 28 inci = 88 inci

Pakej diterima.

Jawapan b

Dimensi paket ini lebih kecil daripada paket a), sehingga keduanya berhasil menyelesaikannya.

Jawapan c

Dalam pakej ini:

x = L = 9 inci

Perlu diperhatikan bahawa:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

dan ≤ 40.5 inci

Rujukan

1. Carena, M. 2019. Manual Matematik Pra-Universiti. Universiti Kebangsaan Litoral.
2. Diego, A. Nombor sebenar dan sifatnya. Dipulihkan dari: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matematik ke-9. Ijazah. Edisi CO-BO.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Matematik untuk Kalkulus. 5hb. Edisi. Pembelajaran Cengage.