Terdapat matriks ortogonal apabila matriks tersebut didarabkan dengan hasil peralihannya dalam matriks identiti. Sekiranya terbalik suatu matriks sama dengan peralihan maka matriks asal adalah ortogonal.
Matriks ortogonal mempunyai ciri bahawa bilangan baris sama dengan bilangan lajur. Selanjutnya, vektor baris adalah vektor unit ortogonal dan vektor baris transpos juga.
Rajah 1. Contoh matriks ortogonal dan bagaimana ia mengubah objek geometri. (Disediakan oleh Ricardo Pérez)
Apabila matriks ortogonal didarab dengan vektor ruang vektor, ia menghasilkan transformasi isometrik, iaitu transformasi yang tidak mengubah jarak dan mengekalkan sudut.
Perwakilan khas matriks ortogonal ialah matriks putaran. Transformasi matriks ortogonal pada ruang vektor disebut transformasi ortogonal.
Transformasi geometri putaran dan pantulan titik yang diwakili oleh vektor Cartesian mereka dilakukan dengan menggunakan matriks ortogonal pada vektor asal untuk mendapatkan koordinat vektor yang diubah. Atas sebab inilah matriks ortogonal banyak digunakan dalam pemprosesan grafik komputer.
Hartanah
A matriks M adalah ortogon jika didarab dengan alihan yang M T memberikan hasilnya matriks identiti saya . Begitu juga, produk transposisi matriks ortogonal oleh matriks asal menghasilkan matriks identiti:
MM T = M T M = I
Sebagai konsekuensi dari pernyataan sebelumnya, kami berpendapat bahawa peralihan matriks ortogonal sama dengan matriks terbalik:
M T = M -1 .
Kumpulan matriks ortogonal dimensi nxn membentuk kumpulan ortogonal O (n). Dan subset O (n) matriks ortogonal dengan penentu +1 membentuk Kumpulan Matriks Khas Uniter SU (n). Matriks kumpulan SU (n) adalah matriks yang menghasilkan transformasi putaran linear, juga dikenali sebagai kumpulan putaran.
Demonstrasi
Kami ingin menunjukkan bahawa matriks adalah ortogonal jika, dan hanya jika, vektor baris (atau vektor lajur) adalah ortogonal antara satu sama lain dan norma 1.
Katakan bahawa baris matriks ortogonal nxn adalah vektor ortonormal dimensi n. Sekiranya dilambangkan dengan v 1 , v 2 ,…., V n ke vektor n memegang:
Di mana terbukti bahawa set vektor baris adalah satu set vektor ortogonal dengan norma satu.
Contoh
Contoh 1
Tunjukkan bahawa matriks 2 x 2 yang pada baris pertama mempunyai vektor v1 = (-1 0) dan pada baris kedua vektor v2 = (0 1) adalah matriks ortogonal.
Penyelesaian: Matriks M dibina dan peralihannya M T dikira :
Dalam contoh ini, matriks M dialihkan sendiri, iaitu matriks dan transposnya sama. Darabkan M dengan peralihannya M T :
Telah disahkan bahawa MM T sama dengan matriks identiti:
Apabila matriks M dikalikan dengan koordinat vektor atau titik, koordinat baru diperoleh yang sesuai dengan transformasi yang dibuat oleh matriks pada vektor atau titik.
Rajah 1 menunjukkan bagaimana M mengubah vektor u menjadi u ' dan juga bagaimana M mengubah poligon biru menjadi poligon merah. Oleh kerana M adalah ortogonal, maka itu adalah transformasi ortogonal, yang mengekalkan jarak dan sudut.
Contoh 2
Katakan anda mempunyai matriks 2 x 2 yang ditentukan dalam kenyataan yang diberikan oleh ungkapan berikut:
Cari nilai sebenar a, b, c dan d sehingga matriks M adalah matriks ortogonal.
Penyelesaian: Secara definisi, matriks adalah ortogonal jika didarabkan dengan peralihannya matriks identiti diperoleh. Mengingat bahawa matriks transposed diperoleh dari asal, menukar baris dengan lajur, persamaan berikut diperoleh:
Melakukan pendaraban matriks kita mempunyai:
Menyamakan unsur matriks kiri dengan unsur matriks identiti di sebelah kanan, kita memperoleh sistem empat persamaan dengan empat tidak diketahui a, b, c dan d.
Kami mencadangkan a, b, c dan d ungkapan berikut dari segi nisbah trigonometri sinus dan kosinus:
Dengan cadangan ini dan kerana identiti trigonometri asas, persamaan pertama dan ketiga secara automatik puas dalam persamaan elemen matriks. Persamaan ketiga dan keempat adalah sama dan dalam persamaan matriks setelah menggantikan nilai yang dicadangkan kelihatan seperti ini:
yang membawa kepada penyelesaian berikut:
Akhirnya penyelesaian berikut diperoleh untuk matriks ortogonal M:
Perhatikan bahawa penyelesaian pertama mempunyai penentu +1 sehingga ia termasuk dalam kumpulan SU (2), sementara penyelesaian kedua mempunyai penentu -1 dan oleh itu tidak termasuk dalam kumpulan ini.
Contoh 3
Dengan matriks berikut, cari nilai a dan b sehingga kita mempunyai matriks ortogonal.
Penyelesaian: Untuk matriks tertentu menjadi ortogonal, produk dengan transposnya mestilah matriks identiti. Kemudian, produk matriks matriks yang diberikan dengan matriks transposed dijalankan, memberikan hasil berikut:
Seterusnya, hasilnya disamakan dengan matriks identiti 3 x 3:
Pada baris kedua, lajur ketiga mempunyai (ab = 0), tetapi tidak boleh menjadi sifar, kerana jika tidak, persamaan elemen baris kedua dan lajur kedua tidak akan terpenuhi. Maka semestinya b = 0. Menggantikan b untuk nilai 0 yang kita ada:
Kemudian persamaan diselesaikan: 2a ^ 2 = 1, yang penyelesaiannya adalah: + ½√2 dan -½√2.
Dengan mengambil penyelesaian positif untuk, matriks ortogonal berikut diperoleh:
Pembaca dapat dengan mudah mengesahkan bahawa vektor baris (dan juga vektor lajur) adalah ortogonal dan bersatu, iaitu ortonormal.
Contoh 4
Tunjukkan bahawa matriks A yang vektor barisnya adalah v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) dan v3 = (0 0 -1) adalah matriks ortogonal. Selain itu cari vektor diubah dari asas kanonik i, j, k ke vektor u1 , u2 dan u3 .
Penyelesaian: Perlu diingat bahawa elemen (i, j) matriks dikalikan dengan transposnya, adalah produk titik vektor baris (i) dengan lajur (j) transposisi. Selanjutnya, produk ini sama dengan Kronecker delta sekiranya matriks ortogonal:
Dalam kes kami kelihatan seperti ini:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Dengan itu ditunjukkan bahawa ia adalah matriks ortogonal.
Selanjutnya u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) dan akhirnya u3 = A k = (0, 0, -1)
Rujukan
- Anthony Nicolaides (1994) Penentu & Matriks. Penerbitan Lulus.
- Birkhoff dan MacLane. (1980). Algebra Moden, ed. Vicens-Vives, Madrid.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Pengenalan kepada aljabar linear. Pengarang ESIC.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Jenny Olive (1998) Matematik: Panduan Survival Pelajar. Akhbar Universiti Cambridge.
- Richard J. Brown (2012) 30-Matematik Matematik: 50 Teori Paling Berfokus dalam Matematik. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Matriks ortogonal. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Matriks ortogonal. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com