NOMBOR KOMPLEKS: SIFAT, CONTOH, OPERASI - MATEMATIK - 2025

Yang nombor kompleks adalah set berangka meliputi nombor nyata dan akar polinomial termasuk pasangan akar nombor negatif. Akar ini tidak wujud dalam kumpulan nombor nyata, tetapi dalam nombor kompleks ada penyelesaiannya.

Nombor kompleks terdiri daripada bahagian nyata dan bahagian yang disebut "khayalan". Bahagian sebenar dipanggil a, misalnya, dan bahagian khayalan ib, dengan nombor nyata a dan b dan "i" sebagai unit khayalan. Dengan cara ini nombor kompleks mengambil bentuk:

Rajah 1.- Perwakilan binomial bagi nombor kompleks dari segi bahagian nyata dan bahagian khayalan. Sumber: Pixabay.

Contoh nombor kompleks ialah 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Tetapi sebelum beroperasi dengan mereka, mari kita lihat dari mana unit khayalan saya berasal, dengan mempertimbangkan persamaan kuadratik ini:

x ² - 10x + 34 = 0

Di mana a = 1, b = -10 dan c = 34.

Semasa menggunakan formula penyelesaian untuk menentukan penyelesaiannya, kami dapati yang berikut:

Bagaimana untuk menentukan nilai √-36? Tidak ada nombor nyata yang kuasa dua menghasilkan kuantiti negatif. Maka disimpulkan bahawa persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian yang nyata.

Walau bagaimanapun, kita boleh menulis ini:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Sekiranya kita menentukan nilai tertentu x seperti:

x ² = -1

Jadi:

x = ± √-1

Dan persamaan di atas pasti ada jalan penyelesaian. Oleh itu, unit khayalan ditakrifkan sebagai:

i = √-1

Dan juga:

√-36 = 6i

Ramai ahli matematik zaman dahulu berusaha menyelesaikan masalah yang serupa, terutamanya Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) dan Raffaele Bombelli (1526-1572).

Bertahun-tahun kemudian René Descartes (1596-1650) menyebut jumlahnya "khayalan" seperti √-36 dalam contoh. Atas sebab ini √-1 dikenali sebagai unit khayalan.

Sifat nombor kompleks

-Set nombor kompleks dilambangkan sebagai C dan merangkumi nombor nyata R dan nombor khayalan Im. Kumpulan nombor ditunjukkan dalam rajah Venn, seperti yang ditunjukkan dalam gambar berikut:

Rajah 2. gambarajah Venn set nombor. Sumber: F. Zapata.

-Semua nombor kompleks terdiri daripada bahagian nyata dan bahagian khayalan.

-Jika bahagian khayalan nombor kompleks adalah 0, ia adalah nombor nyata murni.

-Jika bahagian sebenar nombor kompleks adalah 0, maka nombor itu adalah khayalan tulen.

-Dua nombor kompleks sama jika bahagian nyata dan bahagian khayalannya sama.

-Dengan bilangan kompleks, operasi penambahan, pengurangan, pendaraban, produk dan peningkatan yang diketahui dilakukan, menghasilkan nombor kompleks yang lain.

Perwakilan nombor kompleks

Nombor kompleks dapat ditunjukkan dalam pelbagai cara. Berikut adalah yang utama:

- Bentuk binomial

Ini adalah bentuk yang diberikan pada awalnya, di mana z adalah nombor kompleks, a adalah bahagian nyata, b adalah bahagian khayalan dan i adalah unit khayalan:

Atau juga:

Salah satu cara untuk membuat graf nombor kompleks adalah melalui satah kompleks yang ditunjukkan dalam gambar ini. Paksi khayalan Im adalah menegak, sementara paksi sebenar mendatar dan dilambangkan sebagai Re.

Nombor kompleks z diwakili dalam satah ini sebagai titik koordinat (x, y) atau (a, b), seperti yang dilakukan dengan titik satah sebenar.

Jarak dari titik asal ke titik z adalah modulus nombor kompleks, dilambangkan sebagai r, sementara φ adalah sudut yang r dibuat dengan paksi sebenar.

Rajah 3. Perwakilan nombor kompleks dalam satah kompleks. Sumber: Wikimedia Commons.

Perwakilan ini berkait rapat dengan vektor dalam satah sebenar. Nilai r sepadan dengan modulus nombor kompleks.

- Bentuk kutub

Bentuk kutub terdiri daripada menyatakan nombor kompleks dengan memberikan nilai r dan φ. Sekiranya kita melihat rajah tersebut, nilai r sepadan dengan hipotenus segitiga kanan. Kaki bernilai a dan b, atau x dan y.

Dari bentuk binomial atau binomial, kita boleh beralih ke bentuk kutub dengan:

Sudut φ adalah yang dibentuk oleh segmen r dengan paksi mendatar atau paksi khayalan. Ia dikenali sebagai argumen nombor kompleks. Dengan cara ini:

Argumen itu mempunyai nilai yang tidak terbatas, dengan mempertimbangkan bahawa setiap kali giliran dipusingkan, yang bernilai 2π radian, r menempati posisi yang sama sekali lagi. Dengan cara umum ini, argumen z, dilambangkan Arg (z), dinyatakan seperti ini:

Di mana k adalah bilangan bulat dan digunakan untuk menunjukkan bilangan putaran: 2, 3, 4…. Tanda menunjukkan arah putaran, jika mengikut arah jam atau lawan jam.

Rajah 4. Perwakilan kutub bagi nombor kompleks dalam satah kompleks. Sumber: Wikimedia Commons.

Dan jika kita mahu pergi dari bentuk kutub ke bentuk binomial, kita menggunakan nisbah trigonometri. Dari angka sebelumnya kita dapat melihat bahawa:

x = r cos φ

y = r sin φ

Dengan cara ini z = r (cos φ + i sin φ)

Yang disingkat seperti ini:

z = r cis φ

Contoh nombor kompleks

Nombor kompleks berikut diberikan dalam bentuk binomial:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Dan ini dalam bentuk pasangan tertib:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Akhirnya, kumpulan ini diberikan dalam bentuk polar atau trigonometri:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Untuk apa mereka?

Kegunaan nombor kompleks melebihi penyelesaian persamaan kuadratik yang ditunjukkan pada awalnya, kerana ia penting dalam bidang kejuruteraan dan fizik, terutama dalam:

-Kajian gelombang elektromagnetik

-Analisis arus ulang alik dan voltan

-Pemodelan semua jenis isyarat

-Teori relativiti, di mana masa dianggap sebagai magnitud khayalan.

Operasi nombor kompleks

Dengan nombor kompleks kita dapat melakukan semua operasi yang dilakukan dengan operasi yang sebenarnya. Sebilangannya lebih mudah dilakukan sekiranya nombor dalam bentuk binomial, seperti penambahan dan pengurangan. Sebaliknya, pendaraban dan pembahagian lebih mudah jika dilakukan dengan bentuk kutub.

Mari lihat beberapa contoh:

- Contoh 1

Tambah z ₁ = 2 + 5i dan z ₂ = -3 -8i

Penyelesaian

Bahagian sebenar ditambahkan secara berasingan dari bahagian khayalan:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Contoh 2

Darabkan z ₁ = 4 cis 45º dan z ₂ = 5 cis 120º

Penyelesaian

Dapat ditunjukkan bahawa produk dari dua nombor kompleks dalam bentuk polar atau trigonometri diberikan oleh:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Menurut Ini:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Permohonan

Aplikasi nombor kompleks yang mudah adalah mencari semua punca persamaan polinomial seperti yang ditunjukkan pada awal artikel.

Sekiranya persamaan x ² - 10x + 34 = 0, gunakan formula penyelesaian yang kita dapat:

Oleh itu penyelesaiannya adalah:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Rujukan

1. Earl, R. Nombor kompleks. Dipulihkan dari: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1st. Mempelbagaikan. Edisi CO-BO.
3. Hoffmann, J. 2005. Pemilihan topik Matematik. Penerbitan Monfort.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Dewan Prentice.
5. Wikipedia. Nombor kompleks. Dipulihkan dari: en.wikipedia.org