SIMETRI AKSIAL: SIFAT, CONTOH DAN LATIHAN - MATEMATIK - 2025

The simetri paksi adalah apabila tempat yang serentak angka dengan mata angka lain oleh pembahagi dua lurus dipanggil paksi simetri. Ia juga disebut simetri radial, putaran, atau silinder.

Biasanya diterapkan dalam bentuk geometri, tetapi dapat dilihat dengan mudah di alam, kerana ada binatang seperti kupu-kupu, kalajengking, kumbang kecil atau manusia yang menunjukkan simetri paksi.

Simetri aksial dipamerkan dalam foto cakrawala kota Toronto ini dan pantulannya di air. (Sumber: pixabay)

Cara mencari simetri paksi

Untuk mencari simetri paksi P 'titik P berkenaan dengan garis (L), operasi geometri berikut dilakukan:

1.- Yang berserenjang dengan garis (L) yang melalui titik P.

2.- Pemintasan dua garis menentukan titik O.

3.- Panjang segmen PO diukur, kemudian panjang ini disalin ke garis (PO) bermula dari O dalam arah dari P ke O, menentukan titik P '.

4.- Titik P 'adalah simetri aksial titik P berkenaan dengan sumbu (L), kerana garis (L) adalah pembelahan segmen PP', menjadi O titik tengah segmen tersebut.

Rajah 1. Dua titik P dan P 'adalah simetri paksi ke paksi (L) jika paksi tersebut adalah pembagi bagi segmen PP'

Sifat simetri paksi

- Simetri aksial adalah isometrik, iaitu jarak angka geometri dan simetri yang sesuai dipelihara.

- Ukuran sudut dan simetriknya sama.

- Simetri paksi titik pada paksi simetri adalah titik itu sendiri.

- Garis simetri garis selari dengan paksi simetri juga garis selari dengan paksi tersebut.

- Garis pemisah ke paksi simetri mempunyai garis simetri garis pemisah lain yang, pada gilirannya, memotong paksi simetri pada titik yang sama pada garis asal.

- Imej garis simetri adalah garis lain yang membentuk sudut dengan paksi simetri ukuran yang sama dengan garis asal.

- Imej simetri garis yang berserenjang dengan paksi simetri adalah garis lain yang bertindih dengan yang pertama.

- Garisan dan garis simetri aksialnya membentuk sudut yang pembaginya adalah paksi simetri.

Rajah 2. Simetri aksial mengekalkan jarak dan sudut.

Contoh simetri paksi

Alam menunjukkan banyak contoh simetri paksi. Sebagai contoh, anda dapat melihat simetri wajah, serangga seperti rama-rama, pantulan pada permukaan dan cermin air yang tenang atau daun tumbuhan, antara lain.

Rajah 3. Rama-rama ini menunjukkan simetri paksi yang sempurna. (Sumber: pixabay)

Gambar 4. Wajah gadis ini mempunyai simetri paksi. (Sumber: pixabay)

Latihan simetri paksi

Latihan 1

Kami mempunyai segitiga bucu A, B dan C yang koordinat Cartesian masing-masing A = (2, 5), B = (1, 1) dan C = (3,3). Cari koordinat Cartesian simetri segitiga mengenai paksi Y (paksi ordinat).

Penyelesaian: Sekiranya titik P mempunyai koordinat (x, y) maka simetri mengenai paksi ordinat (paksi Y) ialah P '= (- x, y). Dengan kata lain, nilai absesnya berubah tanda, sementara nilai ordinatinya tetap sama.

Dalam kes ini, segitiga simetri dengan bucu A ', B' dan C 'akan mempunyai koordinat:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) dan C' = (- 3, 3) seperti yang dapat dilihat pada rajah 6.

Rajah 6. Sekiranya titik mempunyai koordinat (x, y), simetri berkenaan dengan paksi Y (paksi ordinat) akan mempunyai koordinat (-x, y).

Latihan 2

Dengan merujuk kepada segitiga ABC dan simetrisnya A'B'C 'dari latihan 1, periksa sama ada sisi segitiga asal dan simetriknya mempunyai panjang yang sama.

Penyelesaian: Untuk mencari jarak atau panjang sisi, kami menggunakan formula jarak Euclidean:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (Oleh - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1 ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Panjang sisi simetri A'B 'yang sesuai dikira di bawah:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Dengan cara ini, disahkan bahawa simetri paksi mengekalkan jarak antara dua titik. Prosedur boleh diulang untuk dua sisi segitiga yang lain dan simetriknya untuk memeriksa panjang invarians. Contohnya -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Latihan 3

Berkaitan dengan segitiga ABC dan simetrisnya A'B'C 'dari Latihan 1, periksa bahawa sudut segitiga asal dan simetriknya mempunyai ukuran sudut yang sama.

Penyelesaian: Untuk menentukan ukuran sudut BAC dan B'A'C ', pertama kita akan mengira produk skalar vektor AB dengan AC dan kemudian produk skalar A'B' dengan A'C ' .

Mengingat bahawa:

A = (2, 5), B = (1, 1) dan C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) dan C' = (- 3, 3).

Ia ada:

AB = <1-2, 1-5> dan AC = <3-2, 3-5>

sama

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> dan AC = <-3 + 2, 3-5>

Kemudian produk skalar berikut dijumpai:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Begitu juga

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Ukuran sudut BAC adalah:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123-2,236)) = 40.6º

Begitu juga, ukuran sudut B'A'C 'adalah:

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- - A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123-2,236)) = 40.6º

Menyimpulkan bahawa simetri paksi mengekalkan ukuran sudut.

Latihan 4

Biarkan titik P adalah koordinat (a, b). Cari koordinat simetri paksi P 'berkenaan dengan garis y = x.

Penyelesaian: Kami akan memanggil (a ', b') koordinat titik simetri P 'berkenaan dengan garis y = x. Titik tengah M segmen PP 'mempunyai koordinat ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) dan juga berada di garis y = x, jadi persamaan berikut berlaku:

a + a '= b + b'

Sebaliknya, segmen PP 'mempunyai kemiringan -1 kerana berserenjang dengan garis y = x cerun 1, jadi persamaan berikut berlaku:

b - b '= a' -a

Menyelesaikan dua persamaan sebelumnya 'dan b' disimpulkan bahawa:

a '= oleh itu b' = a.

Maksudnya, diberi titik P (a, b), simetri aksialnya berkenaan dengan garis y = x adalah P '(b, a).

Rujukan

1. Arce M., Blázquez S dan lain-lain. Transformasi kapal terbang. Dipulihkan dari: educutmxli.files.wordpress.com
2. Pengiraan cc. Simetri aksial. Dipulihkan dari: calculo.cc
3. Superprof. Simetri aksial. Dipulihkan dari: superprof.es
4. wikipedia. Simetri aksial. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com
5. wikipedia. Simetri Pekeliling. Dipulihkan dari: en.wikipedia.com