- Contohnya
- Cara untuk menetapkan kebarangkalian
- Peraturan Laplace
- Frekuensi relatif
- Kaedah subjektif
- Latihan diselesaikan
- Penyelesaian untuk
- Penyelesaian b
- Penyelesaian c
- Penyelesaian d
- Rujukan
The aksiom kebarangkalian adalah usul matematik merujuk kepada teori kebarangkalian, yang tidak bukti merit. Aksioma ini dibentuk pada tahun 1933 oleh ahli matematik Rusia Andrei Kolmogorov (1903-1987) dalam bukunya The Foundations of Probability Theory dan meletakkan asas bagi kajian kebarangkalian matematik.
Semasa menjalankan eksperimen rawak tertentu ξ, ruang sampel E adalah kumpulan semua kemungkinan hasil eksperimen, juga disebut peristiwa. Sebarang peristiwa dilambangkan sebagai A dan P (A) adalah kebarangkalian kejadiannya. Kemudian Kolmogorov menetapkan bahawa:
Rajah 1. Aksioma kebarangkalian membolehkan kita mengira kebarangkalian memukul permainan peluang seperti rolet. Sumber: Pixabay.
- Aksioma 1 (bukan negatif) : kebarangkalian peristiwa A berlaku selalu positif atau sifar, P (A) ≥0. Apabila kebarangkalian peristiwa adalah 0, ia disebut peristiwa mustahil.
- Aksioma 2 (kepastian) : setiap kali sesuatu peristiwa milik E, kebarangkalian kejadiannya adalah 1, yang dapat kita nyatakan sebagai P (E) = 1. Ini dikenali sebagai peristiwa tertentu, kerana ketika melakukan eksperimen, pasti ada hasilnya.
- Aksioma 3 (penambahan) : sekiranya berlaku dua atau dua peristiwa yang tidak serasi dua demi dua, yang disebut A 1 , A 2 , A 3 …, kebarangkalian peristiwa A 1 plus A 2 plus A 3 akan berlaku dan seterusnya berturut-turut, itu adalah jumlah kebarangkalian masing-masing berlaku secara berasingan.
Ini dinyatakan sebagai: P (A 1 AU 2 AU 3 U…) = P (A 1 ) + P (A 2 ) + P (A 3 ) +…
Gambar 2. Ahli matematik Rusia yang luar biasa Andrei Kolmogorov (1903-1987), yang meletakkan asas untuk kebarangkalian aksiomatik. Sumber: Wikimedia Commons.
Contohnya
Aksioma kebarangkalian digunakan secara meluas dalam banyak aplikasi. Sebagai contoh:
Jempol atau jempol dilemparkan ke udara, dan ketika jatuh ke lantai ada pilihan untuk mendarat dengan titik ke atas (U) atau dengan titik ke bawah (D) (kami tidak akan mempertimbangkan kemungkinan lain). Ruang sampel untuk eksperimen ini terdiri daripada peristiwa ini, kemudian E = {U, D}.
Rajah 3. Dalam eksperimen melempar pukulan terdapat dua peristiwa kebarangkalian yang berbeza: mendarat dengan titik ke atas atau menuju ke tanah. Sumber: Pixabay.
Dengan menerapkan aksioma yang kita ada:
Sekiranya sama besarnya mendarat ke atas atau ke bawah, P (U) = P (D) = ½ (Aksioma 1). Walau bagaimanapun, pembinaan dan reka bentuk thumbtack mungkin menjadikannya cenderung jatuh satu atau lain cara. Sebagai contoh, mungkin P (U) = ¾ sementara P (D) = ¼ (Aksioma 1).
Perhatikan bahawa dalam kedua-dua kes, jumlah kebarangkalian memberikan 1. Walau bagaimanapun, aksioma tidak menunjukkan cara menetapkan kebarangkalian, sekurang-kurangnya tidak sepenuhnya. Tetapi mereka menyatakan bahawa mereka adalah nombor antara 0 dan 1 dan bahawa, seperti dalam kes ini, jumlah semua adalah 1.
Cara untuk menetapkan kebarangkalian
Aksioma kebarangkalian bukanlah kaedah menetapkan nilai kebarangkalian. Untuk ini terdapat tiga pilihan yang sesuai dengan aksioma:
Peraturan Laplace
Setiap peristiwa diberikan kebarangkalian yang sama, maka kebarangkalian kejadian ditakrifkan sebagai:
Sebagai contoh, apakah kebarangkalian menggambar ace dari setumpuk kad Perancis? Dek mempunyai 52 kad, 13 dari setiap sut dan ada 4 sut. Setiap pakaian mempunyai 1 ace, jadi secara total ada 4 aces:
P (as) = 4/52 = 1/13
Peraturan Laplace terhad pada ruang sampel yang terbatas, di mana setiap acara sama besarnya kemungkinan.
Frekuensi relatif
Di sini eksperimen harus diulang, kerana kaedahnya berdasarkan menjalankan sebilangan besar pengulangan.
Mari buat pengulangan eksperimen ξ, di mana kita dapati n adalah berapa kali peristiwa A berlaku, maka kebarangkalian peristiwa ini berlaku adalah:
P (A) = lim i → ∞ (n / i)
Di mana n / i adalah kekerapan relatif suatu peristiwa.
Mendefinisikan P (A) dengan cara ini memenuhi aksioma Kolmogorov, tetapi mempunyai kelemahan bahawa banyak ujian harus dilakukan agar kebarangkalian sesuai.
Kaedah subjektif
Seseorang atau sekumpulan orang boleh bersetuju untuk memberikan kebarangkalian untuk suatu peristiwa, melalui penilaian mereka sendiri. Kaedah ini mempunyai kelemahan bahawa orang yang berbeza dapat memberikan kebarangkalian yang berbeza untuk peristiwa yang sama.
Latihan diselesaikan
Dalam eksperimen membuang 3 duit syiling yang jujur, dapatkan kebarangkalian peristiwa yang dijelaskan:
a) 2 kepala dan ekor.
b) 1 kepala dan dua ekor
c) 3 salib.
d) Sekurang-kurangnya 1 muka.
Penyelesaian untuk
Kepala dilambangkan dengan C dan ekornya dengan X. Tetapi ada beberapa cara untuk mendapatkan dua kepala dan ekor. Contohnya, dua syiling pertama dapat mendarat kepala dan yang ketiga dapat mendarat ekor. Atau yang pertama boleh jatuh kepala, ekor kedua dan kepala ketiga. Dan akhirnya yang pertama boleh menjadi ekor dan kepala yang tinggal.
Untuk menjawab soalan, perlu mengetahui semua kemungkinan, yang dijelaskan dalam alat yang disebut rajah pokok atau pohon kebarangkalian:
Gambar 4. Gambar rajah pokok untuk melambung tiga syiling jujur secara serentak. Sumber: F. Zapata.
Kebarangkalian duit syiling adalah kepalanya adalah the, sama berlaku untuk ekor, kerana duit syiling itu jujur. Lajur kanan menyenaraikan semua kemungkinan yang dilemparkan, iaitu ruang sampel.
Dari ruang sampel, kombinasi yang bertindak balas terhadap peristiwa yang diminta dipilih, kerana urutan penampilan wajah tidak penting. Terdapat tiga acara yang menggembirakan: CCX, CXC dan XCC. Kebarangkalian setiap peristiwa berlaku adalah:
P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8
Perkara yang sama berlaku untuk acara CXC dan XCC, masing-masing mempunyai 1/8 kebarangkalian berlaku. Oleh itu, kebarangkalian untuk mendapatkan tepat 2 kepala adalah jumlah kebarangkalian semua peristiwa yang menggembirakan:
P (2-sisi) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0.375
Penyelesaian b
Mencari kebarangkalian bahawa betul-betul dua salib berlaku adalah masalah yang serupa dengan yang sebelumnya, terdapat juga tiga peristiwa yang baik diambil dari ruang sampel: CXX, XCX dan XXC. Oleh itu:
P (2 salib) = 3/8 = 0.375
Penyelesaian c
Secara intuitif kita tahu bahawa kemungkinan mendapat 3 ekor (atau 3 ekor) lebih rendah. Dalam kes ini, peristiwa yang dicari adalah XXX, di hujung lajur kanan, yang kemungkinannya adalah:
P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0.125.
Penyelesaian d
Diminta untuk mendapatkan sekurang-kurangnya 1 wajah, ini bermaksud 3 wajah, 2 wajah atau 1 wajah dapat keluar. Satu-satunya peristiwa yang tidak sesuai dengan ini adalah peristiwa di mana 3 ekor keluar, yang kebarangkalian adalah 0.125. Oleh itu, kebarangkalian yang dicari adalah:
P (sekurang-kurangnya 1 kepala) = 1 - 0.125 = 0.875.
Rujukan
- Canavos, G. 1988. Kebarangkalian dan Statistik: Aplikasi dan kaedah. Bukit McGraw.
- Devore, J. 2012. Kebarangkalian dan Statistik untuk Kejuruteraan dan Sains. 8hb. Edisi. Cengage.
- Lipschutz, S. 1991. Siri Schaum: Kebarangkalian. Bukit McGraw.
- Obregón, I. 1989. Teori kebarangkalian. Pengarang Limusa.
- Walpole, R. 2007. Kebarangkalian dan Statistik untuk Kejuruteraan dan Sains. Pearson.