SET TAK TERBATAS: SIFAT, CONTOH - MATEMATIK - 2026

Satu set tak terhingga adalah himpunan di mana bilangan elemennya tidak dapat dikira. Maksudnya, tidak kira seberapa banyak bilangan elemennya, selalu dapat mencari lebih banyak lagi.

Contoh yang paling biasa adalah sekumpulan nombor semula jadi N yang tidak terhingga . Tidak kira seberapa besar bilangannya, kerana anda selalu dapat memperoleh yang lebih besar dalam proses yang tidak mempunyai akhir:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Rajah 1. Simbol tak terhingga. (pixabay)

Kumpulan bintang di alam semesta pasti sangat besar, tetapi tidak diketahui dengan pasti sama ada ia terbatas atau tidak terbatas. Berbeza dengan jumlah planet dalam sistem suria yang diketahui sebagai satu set terhingga.

Sifat set tak terhingga

Di antara sifat set tak terhingga kita dapat menunjukkan perkara berikut:

1- Penyatuan dua set tak terhingga menimbulkan set tak terbatas baru.

2- Penyatuan satu set yang terbatas dengan yang tidak terhingga menimbulkan satu set yang tidak terbatas.

3- Sekiranya subset dari set tertentu tidak terbatas, maka set asal juga tidak terhingga. Pernyataan timbal balik tidak benar.

Anda tidak dapat mencari nombor semula jadi yang mampu menyatakan kardinaliti atau bilangan elemen dari set tak terhingga. Walau bagaimanapun, ahli matematik Jerman Georg Cantor memperkenalkan konsep nombor transfinite untuk merujuk kepada ordinal tak terbatas yang lebih besar daripada nombor semula jadi.

Contoh

N semula jadi

Contoh set tak terhingga yang paling kerap adalah nombor semula jadi. Nombor semula jadi adalah nombor yang digunakan untuk mengira, namun keseluruhan nombor yang ada tidak dapat dihitung.

Kumpulan nombor semula jadi tidak termasuk nol dan biasanya dilambangkan sebagai set N , yang dalam bentuk luas dinyatakan sebagai berikut:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Dan jelas merupakan set yang tidak terhingga.

Elipsis digunakan untuk menunjukkan bahawa selepas satu nombor, yang lain mengikuti dan kemudian yang lain dalam proses yang tidak berkesudahan atau yang tidak berkesudahan.

Kumpulan nombor semula jadi yang digabungkan dengan set yang mengandungi nombor sifar (0) dikenali sebagai set N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Yang merupakan hasil penyatuan set tak terbatas N dengan set terhingga O = {0}, menghasilkan set tak terbatas N + .

The integer Z

Kumpulan bilangan bulat Z terdiri daripada nombor semula jadi, nombor semula jadi dengan tanda negatif dan sifar.

Bilangan bulat Z dianggap sebagai evolusi berkenaan dengan nombor semula jadi N yang digunakan pada asalnya dan primitif dalam proses penghitungan.

Dalam set berangka Z bilangan bulat, sifar digabungkan untuk mengira atau menghitung apa-apa dan nombor negatif untuk mengira pengekstrakan, kehilangan atau kekurangan sesuatu.

Untuk menggambarkan idea tersebut, anggap baki negatif muncul di akaun bank. Ini bermaksud bahawa akaun di bawah sifar dan bukan sahaja akaun kosong tetapi juga mempunyai perbezaan yang hilang atau negatif, yang entah bagaimana harus diganti oleh bank.

Dalam bentuk luas , bilangan bulat Z tak terhingga ditulis seperti ini:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Rasionalnya Q

Dalam evolusi proses penghitungan, dan pertukaran barang, barang atau perkhidmatan, nombor pecahan atau rasional muncul.

Sebagai contoh, dalam pertukaran setengah roti dengan dua biji epal, pada masa merekod transaksi, berlaku kepada seseorang bahawa separuh harus ditulis sebagai satu dibahagi atau dibahagikan kepada dua bahagian: ½. Tetapi separuh daripada separuh roti akan dicatatkan dalam buku besar seperti berikut: ½ / ½ = ¼.

Sudah jelas bahawa proses pembelahan ini tidak dapat berakhir dalam teori, walaupun dalam praktiknya ia sampai partikel roti yang terakhir dicapai.

Kumpulan nombor rasional (atau pecahan) dilambangkan seperti berikut:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Elipsis antara dua nombor bulat bermaksud bahawa di antara kedua-dua nombor atau nilai tersebut terdapat pembahagian atau pembahagian yang tidak terhingga. Itulah sebabnya himpunan nombor rasional dikatakan sangat padat. Ini kerana tidak kira seberapa dekat dua nombor rasional antara satu sama lain, nilai tak terhingga dapat dijumpai.

Untuk menggambarkan perkara di atas, anggaplah kita diminta untuk mencari nombor rasional antara 2 dan 3. Nombor ini boleh menjadi 2⅓, yang dikenali sebagai nombor campuran yang terdiri daripada 2 keseluruhan bahagian ditambah satu pertiga unit, yang bersamaan dengan menulis 4/3.

Antara 2 dan 2⅓ nilai lain dapat dijumpai, misalnya 2⅙. Dan antara 2 dan 2⅙ nilai lain dapat dijumpai, misalnya 2⅛. Di antara kedua-duanya, dan di antara mereka yang lain, yang lain dan yang lain.

Rajah 2. Pembahagian tidak terbatas dalam bilangan rasional. (wikimedia commons)

Nombor tidak rasional I

Terdapat nombor yang tidak boleh ditulis sebagai pembahagian atau pecahan dua nombor bulat. Ini adalah set berangka yang dikenali sebagai set I nombor tidak rasional dan juga set tak terhingga.

Beberapa elemen penting atau wakil dari set angka ini adalah nombor pi (π), nombor Euler (e), nisbah emas atau nombor emas (φ). Nombor-nombor ini hanya boleh ditulis dengan nombor rasional:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (dan berterusan hingga tak terhingga dan seterusnya …)

e = 2.7182818284590452353602874713527 …… (dan berterusan di luar infiniti…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (hingga tak terhingga… ..dan seterusnya… ..)

Nombor tidak rasional lain muncul ketika berusaha mencari penyelesaian untuk persamaan yang sangat mudah, misalnya persamaan X ^ 2 = 2 tidak mempunyai penyelesaian rasional yang tepat. Penyelesaian yang tepat dinyatakan dengan simbologi berikut: X = √2, yang dibaca x sama dengan punca dua. Ungkapan rasional (atau perpuluhan) untuk √2 ialah:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Terdapat banyak nombor tidak rasional, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) untuk menamakan beberapa.

Kumpulan kenyataan R

Nombor sebenar adalah set nombor yang paling sering digunakan dalam kalkulus matematik, fizik, dan kejuruteraan. Kumpulan nombor ini adalah penyatuan nombor rasional Q dan nombor tidak rasional I :

R = Q U I

Infiniti lebih besar daripada infiniti

Antara set yang tidak terhingga ada yang lebih besar daripada yang lain. Contohnya, set nombor semula jadi N tidak terbatas tetapi merupakan subset bilangan bulat Z yang tidak terhingga, jadi set Z tak terhingga lebih besar daripada set N tak terhingga .

Begitu juga, set bilangan bulat Z adalah subset nombor nyata R , dan oleh itu set R adalah "tak terhingga" set Z yang tidak terhingga .

Rujukan

1. Celeberrima. Contoh set tak terhingga. Dipulihkan dari: celeberrima.com
2. Fuentes, A. (2016). MATEMATIK ASAS. Pengenalan Kalkulus. Lulu.com.
3. Garo, M. (2014). Matematik: persamaan kuadratik: Bagaimana menyelesaikan persamaan kuadratik. Marilù Garo.
4. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematik untuk pengurusan dan ekonomi. Pendidikan Pearson.
5. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Matematik 1 SEP. Ambang.
6. Preciado, CT (2005). Kursus Matematik ke-3. Progreso Editorial.
7. Rock, NM (2006). Algebra Saya Mudah! Begitu mudah. Team Rock Press.
8. Sullivan, J. (2006). Algebra dan Trigonometri. Pendidikan Pearson.
9. Wikipedia. Set yang tidak terhingga. Dipulihkan dari: es.wikipedia.com